北京市西城區(qū)魯迅中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精北京西城魯迅中學(xué)2016—2017學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)【理】第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列直線中，與直線垂直的是（）．A。B.C.D。【答案】C【解析】,，若，則，項(xiàng),符合條件，故選．2。平行線與之間的距離為（）．A。B。C。D。【答案】C【解析】，故選．3。設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）．A。B.C.D。【答案】A【解析】∵焦點(diǎn)，說(shuō)明其是開(kāi)口向左的拋物線,，∴．，故選．4.命題的值不超過(guò)，命題是無(wú)理數(shù)，則（）．A.命題“”是假命題B。命題“"是假命題C.命題“”是假命題D。命題“”是真命題【答案】B【解析】命題為假，，命題為真，是無(wú)理數(shù)，“”為真命題，“"為真命題,“”為假命題，“”為假命題．故選．點(diǎn)睛：若要判斷一個(gè)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假，需先判斷構(gòu)成這個(gè)命題的每個(gè)簡(jiǎn)單命題的真假，再依據(jù)“或”:一真即真,“且”：一假即假，“非"：真假相反,做出判斷即可.以命題真假為依據(jù)求參數(shù)的取值范圍時(shí)，首先要對(duì)兩個(gè)簡(jiǎn)單命題進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后依據(jù)“p∨q"“p∧q”“非p”形式命題的真假，列出含有參數(shù)的不等式（組)求解即可.5.圓與圓的位置關(guān)系是()．A.外離B。相交C.外切D.內(nèi)切【答案】C【解析】，，，，，即兩圓外切,故選．點(diǎn)睛：判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見(jiàn)方法(1)幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系．(2)切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定．（3)數(shù)形結(jié)合法:直接根據(jù)圖形確定6。若雙曲線的離心率是，則實(shí)數(shù)（）．A。B。C.D.【答案】B【解析】，，，∴，解得，故選．點(diǎn)睛:解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.7.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在軸,那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（)．A.B。C.D.【答案】D【解析】,,∴，或,設(shè),則在橢圓上,，解得，故選．8。若命題“對(duì)恒成立"是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（)．A。B。C。D。【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí),,解得，綜上，故選．點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問(wèn)題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的研究確定含參式子滿(mǎn)足的條件。二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類(lèi)討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過(guò)兩個(gè)函數(shù)圖像確定條件.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．9.若命題，使,則為_(kāi)_________．【答案】,【解析】特稱(chēng)命題，，它的否定，．點(diǎn)睛：命題的否定的注意點(diǎn)(1)注意命題是全稱(chēng)命題還是存在性命題，是正確寫(xiě)出命題的否定的前提；（2)注意命題所含的量詞，對(duì)于量詞隱含的命題要結(jié)合命題的含義顯現(xiàn)量詞，再進(jìn)行否定;(3）注意“或"“且"的否定，“或"的否定為“且”，且”的否定為“或”.10.雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】對(duì)于雙曲線,其漸近線方程為．11.圓，則圓心的坐標(biāo)為_(kāi)_________；若直線與圓相切,且切點(diǎn)在第四象限，則__________．【答案】（1)。(2）?！窘馕觥繄A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，,設(shè)切線傾斜角為，,∵，∴，．12.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】由題知．13.拋物線上一點(diǎn)與該拋物線的焦點(diǎn)的距離，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)__________．【答案】【解析】與焦點(diǎn)的距離，即代準(zhǔn)線的距離為,∵，，準(zhǔn)線為，∴的橫坐標(biāo)為．14。已知，，如果橢圓上存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，那么__________．【答案】【解析】∵為等邊，則點(diǎn)一定在線段的中垂線上，且或,將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，解出．三、解答題:本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.平面上三個(gè)定點(diǎn),，．（Ⅰ）求點(diǎn)到直線的距離．（Ⅱ）求經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)的圓的方程．【答案】(1）(2)．試題解析：(Ⅰ)由，,得到直線的斜率為，∴的方程為，即，∴點(diǎn)到直線的距離為:．(Ⅱ)設(shè)所求圓的方程為，將，,三點(diǎn)坐標(biāo)代入方程可得:，解得，∴圓的方程為．點(diǎn)睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程．(2）待定系數(shù)法①若已知條件與圓心和半徑有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；②若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進(jìn)而求出D、E、F的值．16。直線與圓相交于,兩點(diǎn)．（Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求弦的垂直平分線方程．（Ⅱ)當(dāng)被圓截得弦長(zhǎng)為時(shí),求的值．【答案】(1）(2）【解析】試題分析：（1)弦的垂直平分線與直線垂直且過(guò)圓心，所以根據(jù)點(diǎn)斜式可得弦的垂直平分線方程．（2）由垂徑定理可得圓心到直線距離,再根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求的值．試題解析:（Ⅰ）圓,，，∵直線的斜率，∴垂直平分線的斜率，且一定經(jīng)過(guò)圓心，∴，整理可得,弦的垂直平分線方程為．（Ⅱ），，圓心到直線的距離，∵，解得．17。直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)及．(Ⅱ)已知,求．【答案】（1）,(2）【解析】試題分析：（1）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式求．（2）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求三角形高，再根據(jù)三角形面積公式求面積試題解析:（Ⅰ）聯(lián)立兩個(gè)方程，∴，，，，∴，,∴中點(diǎn),,．（Ⅱ)到直線的距離,,∴．18.兩點(diǎn)，，曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．（Ⅰ）求曲線的方程．(Ⅱ）曲線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1)(2）存在和【解析】試題分析:（1）根據(jù)橢圓定義判斷并確定基本量,寫(xiě)出其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積得點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式，再與橢圓方程聯(lián)立解方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)試題解析：(Ⅰ)∵是定值,說(shuō)明曲線代表橢圓，設(shè)曲線為，，，∴，∴曲線的方程為:．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)，∵,,∴,,∴．∴，，∴存在和,滿(mǎn)足條件．19。橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為．（Ⅰ）求橢圓方程．（Ⅱ)該橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線與橢圓交于點(diǎn)、,且面積為，求直線的方程．【答案】(1)(2）直線的方程為，．【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何意義得，再根據(jù)離心率得，（2)，所以設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出,再根據(jù)面積為解出直線斜率.試題解析：（Ⅰ)右頂點(diǎn)為，∴，∵，∴，∴,∴橢圓為．（Ⅱ）設(shè)直線為，代入橢圓方程,∴,整理得，，．∴．∵，代入解出．∴直線的方程為,．20。過(guò)點(diǎn)且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡為曲線,，（在軸的右側(cè)）為曲線上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿(mǎn)足．（Ⅰ）求曲線的方程．（Ⅱ）若，直線的斜率為，過(guò)，兩點(diǎn)的圓與拋物線在點(diǎn)處共同的切線，求圓的方程．（Ⅲ）分別過(guò),作曲線的切線，兩條切線交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好在直線上，求證：與均為定值．【答案】(1）(2)(3)見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）由拋物線定義得曲線為拋物線，根據(jù)基本量可得其標(biāo)準(zhǔn)方程（2）先根據(jù)直線AB方程與拋物線方程解出A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率,則得圓心與A連線的直線方程，設(shè)圓一般式方程，利用三個(gè)條件解方程組得圓的方程．（3）設(shè),，，則利用導(dǎo)數(shù)求出在點(diǎn)處的切線的斜率,利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程,同理可得，即得兩根為，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)直線AB斜率得，即得AB方程為，因此,再根據(jù)向量數(shù)量積可計(jì)算得=0試題解析：（Ⅰ）由題知，圓心到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，∴圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線,∴軌跡方程為．（Ⅱ)直線的方程為，即，由，得,．∵，即，．∴拋物線在點(diǎn)處切線的斜率．直線的方程為,整理得①,線段的中點(diǎn)坐標(biāo),中垂線方程為，即②，由①②可解出．∴圓的方程為，整理得．（Ⅲ）設(shè),，，過(guò)點(diǎn)的切線方程為,即，同理得，∴,，又∵，∴方程為：，即，即，∴