2023年秋浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊1.4.1利用二次函數(shù)解決面積最值問題同步練習(xí)

第頁1.4第1課時利用二次函數(shù)解決面積最值問題一、選擇題1．關(guān)于二次函數(shù)y＝x2＋4x－7的最大(小)值，以下表達正確的選項是()A．當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最大值B．當(dāng)x＝2時，函數(shù)有最小值C．當(dāng)x＝－2時，函數(shù)有最大值D．當(dāng)x＝－2時，函數(shù)有最小值2．如圖K－6－1，假設(shè)籬笆(虛線局部)的長度為16m，那么所圍成矩形ABCD的最大面積是()圖K－6－1A．60m2B．63m2C．64m2D．66m23．如圖K－6－2所示，C是線段AB上的一個動點，AB＝1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，以下判斷正確的選項是()圖K－6－2A．當(dāng)C是AB的中點時，S最小B．當(dāng)C是AB的中點時，S最大C．當(dāng)C為AB的三等分點時，S最小D．當(dāng)C為AB的三等分點時，S最大4．如圖K－6－3，在矩形ABCD中，AB＝2，點E在邊AD上，∠ABE＝45°，BE＝DE，連結(jié)BD，點P在線段DE上，過點P作PQ∥BD交BE于點Q，連結(jié)QD.設(shè)PD＝x，△PQD的面積為y，那么能表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()圖K－6－3圖K－6－4二、填空題5．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的圖象如圖K－6－5所示，當(dāng)－5≤x≤0時，函數(shù)y的最大值是________，最小值是________．圖K－6－56．一個直角三角形兩直角邊的長度之和為30，那么這個直角三角形的面積最大為________．7．如圖K－6－6，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動(不與點B重合)，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動(不與點C重合)．如果點P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么經(jīng)過________s，四邊形APQC的面積最小.圖K－6－68．2023·河南如圖K－6－7①，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B→C→A勻速運動到點A，圖②是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線局部的最低點，那么△ABC的面積是________．圖K－6－7三、解答題9．2023·紹興某農(nóng)場擬建一間矩形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠現(xiàn)有墻(墻足夠長)，方案中的建筑材料可建圍墻的總長為50m．設(shè)飼養(yǎng)室長為x(m)，占地面積為y(m2)．(1)如圖K－6－8①，問飼養(yǎng)室長x為多少時，占地面積y最大？(2)如圖②，現(xiàn)要求在圖中所示位置留2m寬的門，且仍使飼養(yǎng)室的占地面積最大．小敏說：“只要飼養(yǎng)室長比(1)中的長多2m就行了．〞請你通過計算，判斷小敏的說法是否正確.圖K－6－810．如圖K－6－9所示，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．如果點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，設(shè)運動時間為ts(0<t≤4)，△PDQ的面積為Scm2，求S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求△PDQ面積的最小值．圖K－6－911．為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖K－6－10所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？圖K－6－1012、2023·濰坊如圖K－6－11①，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)，拋物線與x軸的另一交點為E.經(jīng)過點E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩局部，與拋物線交于另一點F.P為直線l上方拋物線上一動點，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t.(1)求拋物線的函數(shù)表達式．(2)當(dāng)t為何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根．(3)是否存在點P使△PAE為直角三角形？假設(shè)存在，求出t的值；假設(shè)不存在，請說明理由．圖K－6－111．[解析]D∵y＝x2＋4x－7＝(x＋2)2－11，∴此拋物線的開口向上，頂點為最低點，∴x＝－2時，函數(shù)有最小值．2．[解析]C設(shè)BC＝xm，那么AB＝(16－x)m，矩形ABCD的面積為ym2，根據(jù)題意，得y＝(16－x)x＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，當(dāng)x＝8時，ymax＝64，那么所圍成矩形ABCD的最大面積是64m2.應(yīng)選C.3．[解析]A設(shè)AC＝x，那么BC＝1－x，所以S＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1，所以當(dāng)x＝－eq\f(－2,2×2)＝eq\f(1,2)時，S有最小值．4．[解析]C易得BE＝DE＝2eq\r(2)，那么EP＝EQ＝2eq\r(2)－x，過點Q作QF⊥AD于點F，那么QF＝eq\f(\r(2),2)(2eq\r(2)－x)＝2－eq\f(\r(2),2)x，∴y＝eq\f(1,2)PD·QF＝eq\f(1,2)x(2－eq\f(\r(2),2)x)＝－eq\f(\r(2),4)x2＋x＝－eq\f(\r(2),4)(x－eq\r(2))2＋eq\f(\r(2),2).5．[答案]6－36．[答案]112.5[解析]設(shè)一條直角邊長為x，那么另一條直角邊長為30－x，故S＝eq\f(1,2)x(30－x)＝－eq\f(1,2)(x－15)2＋112.5.∵－eq\f(1,2)<0，∴當(dāng)x＝15時，S最大＝112.5.故答案為112.5.7．[答案]3[解析]設(shè)點P，Q同時出發(fā)后經(jīng)過的時間為ts，四邊形APQC的面積為Scm2，那么S＝S△ABC－S△PBQ＝eq\f(1,2)×12×6－eq\f(1,2)(6－t)×2t＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27.∴當(dāng)t＝3時，S取得最小值．故填3.8．[答案]12[解析]觀察圖象，可以獲得以下信息：①點P在由B→C的過程中，BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系為正比例函數(shù)，表現(xiàn)在圖象上應(yīng)該是一段線段；②點P在由C→A的過程中，BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系為二次函數(shù)，表現(xiàn)在圖象上應(yīng)該是拋物線的一局部；③當(dāng)BP⊥AC時，BP的長度最短，反映在圖象上應(yīng)為拋物線的最低點；④當(dāng)點P到達點A時，此時BP＝5，∴AB＝AC＝5，AC邊上的高BP＝4，此時，由勾股定理，得AP＝CP＝eq\r(52－42)＝3，∴AC＝6，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×6＝12.9．解：(1)根據(jù)題意，得y＝x·eq\f(50－x,2)＝－eq\f(1,2)(x－25)2＋eq\f(625,2)，∴當(dāng)x＝25時，y最大，即當(dāng)飼養(yǎng)室長為25m時，占地面積y最大．(2)根據(jù)題意，得y＝x·eq\f(50－〔x－2〕,2)＝－eq\f(1,2)(x－26)2＋338，∴當(dāng)x＝26時，y最大，即當(dāng)飼養(yǎng)室長為26m時，占地面積y最大．∵26－25＝1≠2，∴小敏的說法不正確．10．解：由題意知AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴PB＝(6－t)cm，QC＝(8－2t)cm，∴S＝48－4t－t(6－t)－3(8－2t)＝t2－4t＋24＝(t－2)2＋20.∵t＝2在0＜t≤4范圍內(nèi)，∴當(dāng)t＝2時，S取最小值，為20，即△PDQ面積的最小值為20cm2.11．解：(1)∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，∴矩形AEFD的面積是矩形BCFE的面積的2倍，∴AE＝2BE.設(shè)BE＝a，那么AE＝2a，∴8a＋2x＝80，∴a＝－eq\f(1,4)x＋10，2a＝－eq\f(1,2)x＋20，∴y＝(－eq\f(1,2)x＋20)x＋(－eq\f(1,4)x＋10)x＝－eq\f(3,4)x2＋30x.∵a＝－eq\f(1,4)x＋10>0，∴x<40，那么y＝－eq\f(3,4)x2＋30x(0<x<40)．(2)∵y＝－eq\f(3,4)x2＋30x＝－eq\f(3,4)(x－20)2＋300(0<x<40)，且二次項系數(shù)為－eq\f(3,4)<0，∴當(dāng)x＝20時，y有最大值，最大值為300.12解：(1)將點A(0，3)，B(－1，0)，D(2，3)分別代入y＝ax2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝3，,a－b＋c＝0，,4a＋2b＋c＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2，,c＝3.))∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝－x2＋2x＋3.(2)∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩局部，∴直線l必過其對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).由點A，D的坐標(biāo)知，拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴E(3，0)，設(shè)直線l的函數(shù)表達式為y＝kx＋m，代入eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))和(3，0)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)k＋m＝\f(3,2)，,3k＋m＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(3,5)，,m＝\f(9,5).))∴直線l的函數(shù)表達式為y＝－eq\f(3,5)x＋eq\f(9,5).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(3,5)x＋\f(9,5)，,y＝－x2＋2x＋3，))可得xF＝－eq\f(2,5).如圖①，過點P作PH⊥x軸于點H，交l于點M，過點F作FN⊥PH于點N.∵點P的縱坐標(biāo)為yP＝－t2＋2t＋3，點M的縱坐標(biāo)為yM＝－eq\f(3,5)t＋eq\f(9,5)，∴PM＝y(tǒng)P－yM＝－t2＋2t＋3＋eq\f(3,5)t－eq\f(9,5)＝－t2＋eq\f(13,5)t＋eq\f(6,5)，那么S△PFE＝S△PFM＋S△PEM＝eq\f(1,2)PM·FN＋eq\f(1,2)PM·EH＝eq\f(1,2)PM·(FN＋EH)＝eq\f(1,2)(－t2＋eq\f(13,5)t＋eq\f(6,5))(3＋eq\f(2,5))＝－eq\f(17,10)·(t－eq\f(13,10))2＋eq\f(289,100)×eq\f(17,10)，∴當(dāng)t＝eq\f(13,10)時，△PFE的面積最大，最大值的立方根為eq\r(3,\f(289,100)×\f(17,10))＝eq\f(17,10).(3)如圖②，過點P作PK⊥x軸于點K，過點A作AQ⊥PK于點Q，那么在Rt△PKE中，PE2＝PK2＋KE2＝(－t2＋2t＋3)2＋(3－t)2；在Rt△AQP中，PA2＝AQ2＋PQ2＝t2＋(－t2＋2t)2；在Rt△AOE中，AE2＝OA2＋OE2＝18.由圖可知∠PEA≠90°.①假設(shè)∠PAE＝90°，那么PE2＝PA2＋AE2