湖南省郴州市鯉魚江實驗中學高三數學文上學期摸底試題含解析

湖南省郴州市鯉魚江實驗中學高三數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數的圖象如圖所示，其中是的導函數，下面四個圖象中Y=f（）的圖像大致是參考答案：答案：C2.在中，角所對的邊分別為，為的外心，為邊上的中點，，，，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C3.過雙曲線的左焦點，作圓的切線，切點為E，直線交雙曲線右支于點，若，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C4.先將函數的圖象向左平移個長度單位，再保持所有點的縱坐標不變橫坐標壓縮為原來的，得到函數的圖象，則使為增函數的一個區(qū)間是

A．

B.

C.

D.

參考答案：A略5.在正方形內任取一點，則該點在此正方形的內切圓外的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A設正方形邊長為，則，故選A.

6.

函數在下列各區(qū)間中單調遞增的區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：B7.對于函數，若存在實數，使得成立，則實數的取值范圍是(

)A． B． C．

D．參考答案：B略8.已知二次函數的圖象如圖1所示,則其導函數的圖象大致形狀是

（

）

參考答案：B設二次函數為，由圖象可知，，對稱軸，所以，，選B.9.函數f（x）是自變量不為零的偶函數，且f（x）=log2x（x＞0），g（x）=，若存在實數n使得f（m）=g（n），則實數m的取值范圍是（）A．[﹣2，2] B．∪ C．∪ D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）參考答案：B【考點】根的存在性及根的個數判斷；函數的零點與方程根的關系．【分析】求出g（x）的范圍，利用存在實數n使得f（m）=g（n），列出不等式，然后求解即可．【解答】解：∵g（x）=，g（x）∈[﹣1，1]，存在n使得f（m）=g（n），可得﹣1≤f（|m|）≤1，即﹣1≤log2|m|≤1，，∴，故選：B．【點評】本題考查函數的值域以及對數函數的性質，分段函數的應用，考查計算能力．10.對某商店一個月內每天的顧客人數進行統(tǒng)計，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的中位數、眾數、極差分別是（

）

A．47,45,56

B．46,45,53

C．46,45,56

D．45,47,53參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列關于函數的描述中，正確的是_____.（填寫正確命題的序號）①π是f(x)的一個周期；②f(x)是偶函數；③；④，與有且只有2個公共點.參考答案：①②③【分析】假設π為函數的周期，代入檢驗即可判斷；同理，代入與比較，即可判斷是否為偶函數；根據周期與偶函數性質，求得在上的值域即為在上的值域，利用輔助角公式即可求解；畫出在的圖象，即可判斷與的交點個數?！驹斀狻?，故①正確；因為，所以為偶函數，故②正確；由①②得在上的值域與其在上的值域相同，當時，，角的終邊過點，故，，，所以的值域為，故③正確；，的圖象如圖，所以，與有且只有3個公共點，故④錯誤.【點睛】本題考查了三角函數的周期性、奇偶性和單調性與值域的綜合應用，函數圖象的畫法及應用，屬于中檔題。12.已知向量，，若，則實數k=

．參考答案：4，則題意，解得.

13.已知向量，，，若∥，則=

．參考答案：514.當x∈[﹣2，1]時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，則實數a的取值范圍是．參考答案：[﹣6，﹣2]【考點】函數恒成立問題．

【專題】導數的綜合應用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三種情況進行討論，分離出參數a后轉化為函數求最值即可，利用導數即可求得函數最值，注意最后要對a取交集．【解答】解：當x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對任意a∈R恒成立；當0＜x≤1時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，令f（x）=，則f′（x）=﹣++=﹣（*），當0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調遞增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；當﹣2≤x＜0時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤﹣﹣，由（*）式可知，當﹣2≤x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；綜上所述，實數a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實數a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．故答案為：[﹣6，﹣2]．【點評】本題考查利用導數研究函數的最值，考查轉化思想、分類與整合思想，按照自變量討論，最后要對參數范圍取交集．若按照參數討論則取并集，是中檔題．15.已知實數x，y滿足不等式組，且z=2x-y的最大值為a，則=______．參考答案：6分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，根據目標函數的幾何意義，利用平移法進行求解可得a的值，然后求解定積分即可．【詳解】作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=2x-y得y=2x-z，平移直線y=2x-z，由圖象可知當直線y=2x-z經過點B時，直線y=2x-z的截距最小，此時z最大．由，得，即a=zmax=2×4-2=6，則==6lnx=6．故答案為：6．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想以及函數的積分公式是解決此類問題的基本方法，屬中檔題．16.若函數恰有2個零點，則a的取值范圍為

．參考答案：原問題等價于函數與函數恰有2個零點，當時，，則函數在區(qū)間(0,1)上單調遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增，且：；當時，分類討論：若，則，若，則，據此繪制函數圖像如圖所示，結合函數圖像觀察可得a的取值范圍為.

17.如圖，A是兩條平行直線之間的一個定點，且A到的距離分別為，設的另兩個頂點B,C分別在上運動，且，，則以下結論正確的序號是____________.①是直角三角形；

②的最大值為;③;④設的周長為，的周長為，則.參考答案：①②④由正弦定理得：，則，又，，所以①正確；設，則，，，，則，，所以②正確；，所以③錯誤；，令，（當時取等），所以④正確。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.分別是的角所對的邊，且，．（1）若的面積等于，求;（2）若，求的值參考答案：(1)∵a，b，c成等差數列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比數列，∴b2＝ac.由余弦定理得19.（2017?衡陽一模）已知函數f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）當a＜﹣1時，若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積等于6，求a的值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法；絕對值三角不等式．【分析】（Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x解集，取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的解析式，畫出函數圖象，求出三角形頂點的坐標，表示出三角形面積，得到關于a的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1時，f（x）≥5化為：|x﹣1|+|x+2|≥5①，當x≤﹣2時，①式化為﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；當﹣2＜x＜1時，①式化為3＞5，不成立；當x≥1時，①式化為2x+1≥5，解得x≥2綜上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；（Ⅱ）當x≤﹣2時，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；當﹣2＜x＜1時，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；當x≥1時，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，綜上，f（x）=；畫出函數f（x）的圖象如圖所示；則f（x）與x軸圍成的△ABC三個頂點分別為：A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）由題設可得：S=（﹣）?3=6，化簡得2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a=（不合題意，舍去）；故a的值是﹣2．【點評】本題考查了絕對值不等式問題，也考查分類討論思想與數形結合的應用問題，是綜合性題目．20.已知函數在一個周期內的圖象如圖所示，點為圖象的最高點，為圖象與軸的交點，且三角形的面積為．（I）求的值及函數的值域；（II）若，求的值．參考答案：(I)又，，則。

則值域是…..7分

(II)由得，

，得則==略21.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講已知，且．（1）求證：；（2）不等式對一切實數恒成立，求的取值范圍．參考答案：見解析考點：不等式證明：（Ⅰ）所以當且及僅當時等號成立。（Ⅱ）由（Ⅰ）知對一切實數恒成立等價于 因為只需，即或22.設f（x）=xex（e為自然對數的底數），g（x）=（x+1）2．（I）記，討論函F（x）單調性；（II）令G（x）=af（x）+g（x）（a∈R），若函數G（x）有兩個零點．（i）求參數a的取值范圍；（ii）設x1，x2是G（x）的兩個零點，證明x1+x2+2＜0．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；54：根的存在性及根的個數判斷．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；（Ⅱ）（i）求出函數的導數，通過討論a的范圍，根據函數的零點的個數，求出a的范圍即可；（ii）根據a的范圍，得到==﹣，令m＞0，得到F（=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1，根據函數的單調性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）F（x）==，（x≠﹣1），F′（x）==，∴x∈（﹣∞，﹣1）時，F′（x）＜0，F（x）遞減，x∈（﹣1，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）遞增；（Ⅱ）由已知，G（x）=af（x）+g（x）=axex+（x+1）2，G′（x）=a（x+1）ex+2（x+1）=（x+1）（aex+2），（i）①a=0時，G（x）=（x+1）2，有唯一零點﹣1，②a＞0時，aex+2＞0，∴x∈（﹣∞，﹣1）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，x∈（﹣1，+∞）時，G′（x）＞0，G（x）遞增，∴G（x）極小值=G（﹣1）=﹣＜0，∵G（0）=1＞0，∴x∈（﹣1，+∞）時，G（x）有唯一零點，x＜﹣1時，ax＜0，則ex＜，∴axex＞，∴G（x）＞+（x+1）2=x2+（2+）x+1，∵△=﹣4×1×1=+＞0，∴?t1，t2，且t1＜t2，當x∈（﹣∞，t1），（t2，+∞）時，使得x2+（2+）x+1＞0，取x0∈（﹣∞，﹣1），則G（x0）＞0，則x∈（﹣∞，﹣1）時，G（x）有唯一零點，即a＞0時，函數G（x）有2個零點；③a＜0時，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣）），由G′（x）=0，得x=﹣1或x=ln（﹣），若﹣1=ln（﹣），即a=﹣2e時，G′（x）≤0，G（x）遞減，至多1個零點；若﹣1＞ln（﹣），即a＜﹣2e時，G′（x）=a（x+1）（ex﹣（﹣）），注意到y(tǒng)=x+1，y=ex+都是增函數，∴x∈（﹣∞，ln（﹣））時，G′（x）＜0，G（x）是減函數，x∈（ln（﹣），﹣1）時，G′（x）＞0，G（x）遞增，x∈（﹣1，+∞）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，∵G（x）極小值=G（ln（﹣））=ln2（﹣）+1＞0，∴G（x）至多1個零點；若﹣1＜ln（﹣），即a＞﹣2e時，x∈（﹣∞，﹣1）時，G′（x）＜0，G（x）是減函數，x∈（﹣1，ln（﹣））時，G′（x）＞0，G（x）遞增，x∈（ln（﹣），+∞）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，∵G（x）極小值=G（﹣1）=﹣＞0，∴G（x）至多1個零點；綜上，若函數G（x）有2個零點，則參數a的范圍是（0，+∞）；（ii）由（i）得：函數G（x）有2個零點，則參數a的范圍是（0，+∞），x1，x2是G（x）的兩個零點，則有：，即，即==﹣，∵F（x）=，則F（x1）=F（x2）＜0，且x1＜0，x1≠﹣1，x2＜0，x2≠﹣1，x1≠x2，由（Ⅰ）知，當x∈（﹣∞，﹣1）時，F（x）是減函數，x∈（﹣1，+∞）時，F（x）是增函數，令m＞0，F（=1+m）﹣F（﹣1﹣m）=（e2m+1），再令φ（m）=e2m+1=e