高考復習2數(shù)學課件

第三節(jié)等比數(shù)列其前n項和b2=ac是a，b，c成等比數(shù)列的什么條件？

提示:b2=ac是a，b，c成等比數(shù)列的必要不充分條件.∵當b=0，a，c至少有一個為零時，b2=ac成立，但a，b，c不成等比數(shù)列，反之，若a，b，c成等比數(shù)列，則必有b2=ac.1.設{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1=1,a5=16，則數(shù)列{an}前7項的和為（）(A)63(B)64(C)127(D)128【解析】選C.由a1=1,a5=16，得q4==16，q=2，S7==127.2.設等比數(shù)列{an}的公比q=2，前n項和為Sn，則=（）(A)2(B)4(C)(D)【解析】選C.

3.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3，a2+a3=6,則a7=（）(A)64(B)81(C)128(D)243【解析】選A.q==2，∴a1+a1q=3?a1=1,a7=1×27-1=64.4.已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a-1，a+1，a+4，則an=（）(A)4·()n(B)4·()n(C)4·()n-1(D)4·()n-1【解析】選C.(a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,a1=4,q=，∴an=4·()n-1.5.在等比數(shù)列{an}中，已知a9+a10=a(a≠0)，a19+a20=b，則a99+a100=________.【解析】利用a9+a10,a19+a20,…,a99+a100成等比數(shù)列，得a99+a100=.答案:

1.等比數(shù)列概念的理解(1)由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此q也不為0.(2)對于公比q，要注意它是每一項與它前一項的比，防止把相鄰兩項的比的次序顛倒.(3)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”，同時應注意如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時可以說此數(shù)列從第2項或第3項起是一個等比數(shù)列.2.等比數(shù)列通項公式的理解(1)在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任意一項.(2)在已知等比數(shù)列中任意兩項的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項.(3)等比數(shù)列{an}的通項公式an=a1qn-1可改寫為an=·qn.當q>0，且q≠1時，y=qx是一個指數(shù)函數(shù)，而y=·qx是一個不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列{an}的圖象是函數(shù)y=·qx的圖象上的一群孤立的點.

等比數(shù)列的基本運算【例1】（1）已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，Sn=93，an=48，公比q=2，則項數(shù)n=_______.（2）已知四個實數(shù)，前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，首末兩數(shù)之和為37，中間兩數(shù)之和為36，求這四個數(shù).1【審題指導】（1）利用等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1及Sn=可求項數(shù)n；（2）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列設出四個實數(shù)代入已知，可求這四個數(shù).【自主解答】(1)由Sn=93，an=48，公比q=2，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式可得

?2n=32?n=5.答案:5(2)方法一：設前2個數(shù)分別為a，b,則第3、4個數(shù)分別為36-b,37-a，則，解得或；所以這四個數(shù)分別為12,16,20,25或者方法二：設第2、3個數(shù)分別為b,c，則第1個數(shù)為2b-c，第4個數(shù)為，則

或；所以這四個數(shù)分別為12,16,20,25或者方法三：設第1、3個數(shù)分別為a,c，設第2、4個數(shù)分別為

,，然后根據(jù)題意可知

?或者，從而解得這四個數(shù)分別為12,16,20,25或者【規(guī)律方法】1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解.2.解決此類問題的關鍵是熟練掌握等比數(shù)列的有關公式，并靈活運用，在運算過程中，還應善于運用整體代換思想簡化運算的過程.3.在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應根據(jù)公比q的情況進行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式.【互動探究】若將本例中（1）所給的條件Sn=93,an=48,公比q=2改為Sn=364,a2=3,a6=243,如何求解？【解析】設公比為q,?a1=1,q=3或a1=-1,q=-3，當a1=1,q=3時，Sn==364?n=6；當a1=-1,q=-3時，Sn==364?n無整數(shù)解.故n=6.【變式訓練】在等比數(shù)列{an}中，已知a6-a4=24，a3a5=64.求{an}前8項的和S8.【解析】設數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由已知條件得：a6-a4=a1q3(q2-1)=24.（*）a3·a5=(a1q3)2=64.∴a1q3=±8.將a1q3=-8代入（*）式，得q2=-2（舍去），將a1q3=8代入（*）式，得q2=4.∴q=±2.當q=2時，得a1=1，∴S8==255；當q=-2時，得a1=-1，∴S8==85.

等比數(shù)列的判定【例2】已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列{an}滿足下列條件：an=f(an-1)(n=2,3,4,…),f(an)-f(an-1)=(n=2，3，4，…)，若a1=30，a2=60，令bn=an+1-an(n∈N*).（1）證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）設cn=log2bn，Sn=c1+c2+c3+…+cn，求使Sn取最大值時n的值.2【審題指導】根據(jù)題意要證明{bn}是等比數(shù)列，結合與an的關系采取整體代換進行處理，在解決第（2）問時注意觀察cn的特點，結合對數(shù)的運算性質進行解決.【自主解答】（1）∵bn=an+1-an,∴bn+1=an+2-an+1,∴，∴數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.∵b1=a2-a1=30，∴bn=15·()n-2.（2）方法一：cn=log215+2-n，∵cn+1-cn=-1，∴數(shù)列{cn}是遞減的等差數(shù)列，令cn>0得n<2+log215，∵log215∈(3,4)，∴2+log215∈(5,6)∴數(shù)列{cn}的前5項都是正的，從第6項開始全部是負的，∴n=5時，Sn取最大值.方法二：cn=log215+2-n，∵cn+1-cn=-1，∴數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，Sn==-n2+n(log215+)，對稱軸直線n=log215+，∵23.5=<15<24，∴3.5<log215<4，n=log215+∈(5,5.5)，∵n∈N*，∴n=5時，Sn取最大值.【規(guī)律方法】等比數(shù)列的判定方法有：1.定義法：若=q(q為非零常數(shù))或=q(q為非零常數(shù)且n≥2)，則{an}是等比數(shù)列.2.中項公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且an+12=an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.3.通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an=c·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列.4.前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn=k·qn-k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列.提醒：(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明，而后兩種方法常用于選擇、填空中的判定.(2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等比即可.【變式訓練】已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1=λ，an+1=an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，其中λ為實數(shù)，n∈N*.(1)對任意實數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；(2)試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論.【解析】(1)假設存在一個實數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列，則有a22=a1·a3，即(λ-3)2=λ(λ-4)?

λ2-4λ+9=λ2-4λ?9=0,矛盾.所以{an}不是等比數(shù)列.(2)∵bn=(-1)n(an-3n+21),∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21]=(-1)n+1[an+1-3n+18]=(-1)n+1(an-2n+14)=(-1)n+1(an-3n+21)=-bn又b1=-1·(λ+18)，所以當λ=-18,bn=0(n∈N*)，此時{bn}不是等比數(shù)列；當λ≠-18,b1=-(λ+18)時，由上可知bn≠0,∴=-(n∈N*)，此時{bn}是等比數(shù)列.

等比數(shù)列的性質及其應用【例3】已知等比數(shù)列前n項和為2，其后2n項和為12，求再往后3n項和.【審題指導】由已知條件，根據(jù)前n項和公式列出關于首項a1和公比q及n的兩個方程，應能解出a1和q關于n的表達式，這樣可能較繁瑣又不便于求出結果，若采用整體處理的思路，問題就會變得簡單，也可采用等比數(shù)列的性質使問題簡化.3【自主解答】方法一：利用等比數(shù)列的性質.由已知a1＋a2＋…＋an=2，an＋1＋an＋2＋…＋a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n=12.注意到(a1＋a2＋…＋an)，(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)，(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)，(a3n＋1＋a3n＋2＋…＋a4n)，…也成等比數(shù)列，其公比為qn，于是，問題轉化為已知：A1=a1+a2+…+an=2，A1qn＋A1q2n=12，要求A1q3n＋A1q4n＋A1q5n的值.由A1=2，A1qn＋A1q2n=12，得q2n＋qn-6=0，則qn=2或qn=-3.由A1q3n＋A1q4n＋A1q5n=A1q3n(1＋qn＋q2n)=2·q3n·7=14·q3n=.方法二：利用求和公式.如果公比q=1，則由于a1＋a2＋…＋an=2，可知an＋1＋…＋a3n=4，與已知不符，∴q≠1，由求和公式，得

=2①又=12②S=③③式除以①式得=q3n(1＋qn＋q2n)，由①②解得qn=2或qn=-3，∴S=14q3n=.【規(guī)律方法】1.等比數(shù)列的性質可以分為三類：（1）通項公式的變形，（2）等比中項的變形，（3）前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2.等比數(shù)列的常用性質(1)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則數(shù)列{pan}（p≠0，p是常數(shù)）也是等比數(shù)列；(2)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an,an+k,an+2k,an+3k,…為等比數(shù)列，公比為qk.(3)an=am·qn-m(n,m∈N*)(4)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am·an=ap·aq；(5)若等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sk、S2k-Sk、S3k-S2k、S4k-S3k是等比數(shù)列.【變式訓練】已知在等比數(shù)列{an}中，an>0,(2a4+a2+a6)a4=36，則a3+a5=__________.【解析】∵{an}是等比數(shù)列，an>0(2a4+a2+a6)a4=36，∴(a3+a5)2=36?a3+a5=6.答案:6

等比數(shù)列的綜合應用【例】(2011·青島模擬)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx(a≠0)的導函數(shù)f′(x)=-2x+7,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上.(1)求數(shù)列{an}的通項公式及Sn的最大值;(2)令bn=其中n∈N*,求{nbn}的前n項和Tn.

【審題指導】對函數(shù)f(x)的字母系數(shù)通常用待定系數(shù)法確定，再把函數(shù)問題轉化為數(shù)列問題求解.對{nbn}求和，若bn為等比數(shù)列可考慮用錯位相減法求和.【規(guī)范解答】(1)由題意可知：∵f(x)=ax2+bx(a≠0),∴f′(x)=2ax+b，由f′(x)=-2x+7對應相等可得:a=-1,b=7,所以可得f(x)=-x2+7x，又因為點Pn(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖象上,所以有Sn=-n2+7n當n=1時,a1=S1=6；當n≥2時,an=Sn-Sn-1=-2n+8，a1=6適合上式，∴an=-2n+8(n∈N*)令an=-2n+8≥0得n≤4,當n=3或n=4時,Sn取得最大值12.綜上,an=-2n+8(n∈N*),當n=3或n=4時,Sn取得最大值12.(2)由題意得b1==8，bn==2-n+4,所以=,即數(shù)列{bn}是首項為8,公比為的等比數(shù)列，故{nbn}的前n項和Tn=1×23+2×22+…+n×2-n+4①Tn=1×22+2×2+…+(n-1)×2-n+4+n×2-n+3②所以①-②得：

Tn=23+22+…+2-n+4-n×2-n+3∴Tn=-n·24-n=32-(2+n)·24-n【規(guī)律方法】由于數(shù)列和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系，所以在解決許多數(shù)列問題時，可以借鑒函數(shù)的有關思想和方法，本例在求解過程中，就是先求導數(shù)，利用數(shù)列這一特殊函數(shù)的性質解決的，所以在解決數(shù)列問題時，應善于運用函數(shù)的思想方法解決問題.【變式備選】根據(jù)如圖所示的程序框圖，將輸出的a，b值依次分別記為a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn,其中n∈N*,n≤2010.（1）分別求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（2）令cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.【解析】（1）根據(jù)程序框圖得，an+1=an+2,a1=1，即an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，∴an=1+(n-1)×2=2n-1，又因為bn+1=3bn,b1=3,即

=3,∴數(shù)列{bn}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，∴bn=3×3n-1=3n.（2）由（1）得cn=anbn=(2n-1)·3n，∴Tn=c1+c2+c3+…+cn-1+cnTn=1×31+3×32+5×33+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n①3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-3)×3n+(2n-1)×3n+1②將①-②得：-2Tn=3+2×32+2×33+2×34+…+2×3n-(2n-1)×3n+1=-3+2×(3+32+33+34+…+3n)-(2n-1)×3n+1=-3+2×-(2n-1)×3n+1=-2(n-1)×3n+1-6，Tn=(n-1)×3n+1+3.

等比數(shù)列解答題的答題技巧【典例】（14分）（2010·全國Ⅱ）已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1+a2=2()，a3+a4+a5=64()（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=(an+)2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【審題指導】本題考查了數(shù)列通項、前n項和及方程與方程組的基礎知識.（1）設出公比q,根據(jù)條件列出關于a1與q的方程（組），求得a1與q，可求得數(shù)列的通項公式.（2）由（1）中求得的數(shù)列通項公式，可求出{bn}的通項公式，由其通項公式可知其和可分成兩個等比數(shù)列與一常數(shù)列分別求和.【規(guī)范解答】（1）設公比為q，則an=a1qn-1.由已知得

……2分化簡得

,又a1>0，故q=2,a1=1，所以an=2n-1.……………6分（2）由（1）知，bn=(an+)2=an2++2=4n-1++2,……………9分所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(1+4+…+4n-1)+(1++…+)+2n=+2n=(4n-41-n)+2n+1.……………14分【失分警示】在解答本題時有兩點容易造成失分：一是對于利用方程的思想聯(lián)立求解在計算上容易出現(xiàn)失誤；二是在求數(shù)列的前n項和的時候需要把完全平方展開，然后分組求和，恰好是構成兩個等比數(shù)列和一個常數(shù)列.除此外，解決等比數(shù)列問題時，以下幾點容易造成失分：1.對通項公式與前n項和公式記憶錯誤；2.利用方程的思想解題時化簡消元的技巧掌握得不是很好；3.求等比數(shù)列前n項和時，忽略公比等于1的情況，直接利用公式求解導致錯誤.【變式訓練】已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1+a2+a3=-6，a1·a2·a3=64(|q|>1),（1）求{an}的通項公式；（2）令bn=(2n+1)·an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【解析】（1）由題意可求得a1=-2,q=-2,可得an=(-2)n；（2）bn=(2n+1)(-2)n，Sn=3·(-2)+5·(-2)2+7·(-2)3+…+(2n-1)·(-2)n-1+(2n+1)·(-2)n①(-2)·Sn=3·(-2)2+5·(-2)3+7·(-2)4+…+(2n-1)·(-2)n+(2n+1)·(-2)n+1②①-②得3·Sn=3·(-2)+2·(-2)2+2·(-2)3+2·(-2)4+…+2·(-2)n-(2n+1)·(-2)n+1，即3·Sn=(-2)+2·[(-2)+(-2)2+(-2)3+(-2)4+…+(-2)n]-(2n+1)·(-2)n+1，3·Sn=(-2)+2·-(2n+1)·(-2)n+1，整理得：Sn=--·(-2)n+1.

1.（2010·北京高考）在等比數(shù)列{an}中，a1=1，公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5，則m=（）（A）9（B）10（C）11（D）12【解題提示】要求m可以先根據(jù)通項公式把am表示出來，然后根據(jù)通項公式確定m的值.【解析】選C.根據(jù)題意可知：am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=a1q10，因此有m=11.2.（2010·遼寧高考）設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和.已知a2a4=1,S3=7,則S5=（）(A)(B)(C)(D)【解題提示】根據(jù)題中的兩個條件，利用方程組的思想求首項和公比，然后再求S5.【解析】選B.由a2a4=1可得a12q4=1，因此a1=，又因為S3=a1(1+q+q2)=7，聯(lián)立兩式有(+3)(-2)=0，所以q=,a1=4，所以S5==，故選B.3.（2010·山東高考）設{an}是等比數(shù)列，則“a1＜a2＜a3”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的（）（A）充分而不必要條件(B)必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【解析】選C.若已知a1<a2<a3，則設數(shù)列{an}的公比為q，因為a1<a2<a3，所以有a1<a1q<a1q2，解得q>1,且a1>0，或a1<0,且0<q<1，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；反之，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則公比q>1且a1>0，或0<q<1,且a1<0,所以a1<a1q<a1q2，即a1<a2<a3，所以a1<a2<a3是數(shù)列{an}是遞增數(shù)列的充分必要條件.4.（2010·天津高考）已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3=S6,則數(shù)列{}的前5項和為（）(A)或5(B)或5(C)(D)【解題提示】解題時需要首先考慮公比為1的情況，然后列方程求解公比，最后再直接表示出{}的前5項和.【解析】選C.設等比數(shù)列的公比為q，則當公比q=1時，由a1=1得，9S3=9×3=27，而S6=6，兩者不相等，故不合題意；當公比q≠1時，由9S3=S6及首項為1得：9×=，解得q=2，所以數(shù)列{}的前5項和為，選C.5.（2010·福建高考）在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式an=_______.【解析】由題意知a1+4a1+16a1=21，解得a1=1，所以通項an=4n-1.答案:4n-1一、選擇題（每小題4分，共20分）1.與兩數(shù)的等比中項是()(A)1(B)-1(C)±1(D)【解析】選C.設等比中項為x，則x2==1,即x=±1.2.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3·a9=2a52,a2=1,則a1=()(A)(B)(C)(D)2【解析】選B.由等比數(shù)列的定義，設公比為q，又有a3·a9=2a52,則a1q2·a1q8=2(a1q4)2，解得又∵公比q為正數(shù)，∴q=.又a2=a1q,∴故選B.3.等比數(shù)列{an}中,a2=9,a5=243,則{an}的前4項和為()(A)81(B)120(C)168(D)192【解析】選B.根據(jù)題意及等比數(shù)列的性質可知：q=3,a1==3,則數(shù)列前4項和4.在數(shù)列{an}中，an＋1=can(c為非零常數(shù))，且前n項和為Sn=3n＋k，則實數(shù)k的值為()(A)0(B)1(C)-1(D)2【解題提示】解題時首先注意公比是否為1，結合前n項和公式的變形對比Sn=3n＋k求解即可.【解析】選C.據(jù)題意知數(shù)列為等比數(shù)列，易知其公比q≠1.又當公比q≠1時，等比數(shù)列前n項和公式為Sn=則有Sn=a-aqn，故若Sn=k＋3n，則k=-1.【方法技巧】解決等比數(shù)列有關問題的常見思想方法(1)方程的思想：等比數(shù)列中五個量a1、an、n、q、Sn一般可以“知三求二”.通過列方程(組)求關鍵量a1和q，問題可迎刃而解.(2)分類討論的思想：①利用等比數(shù)列前n項和公式時要分公比q=1和q≠1兩種情況討論；②研究等比數(shù)列的單調性時應進行討論：當a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時為遞增數(shù)列；當a1＜0，q＞1或a1＞0,0＜q＜1時為遞減數(shù)列；當q＜0時為擺動數(shù)列；當q=1時為常數(shù)列.(3)函數(shù)的思想：等比數(shù)列的通項公式an=a1qn-1=(q＞0且q≠1)常和指數(shù)函數(shù)相聯(lián)系.(4)整體思想：應用等比數(shù)列前n項和時，常把qn，當成整體求解.5.(2011·龍巖模擬)已知等比數(shù)列｛an｝中，an+1>an，且a3+a7=3，a2·a8=2，則=()【解析】選D.∵a3·a7=a2·a8,∴又an+1>an二、填空題（每小題4分，共12分）6.等比數(shù)列{an}的通項公式是an=24-n，則S5=_______.【解析】a1=24-1=8，a2=24-2=4，則q=，所以答案:7.在等比數(shù)列{an}中,若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的兩根