河南省南陽市唐河縣2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年河南省南陽市唐河縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）在四個實數(shù)﹣2，0，，﹣1中，最小的實數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C． D．﹣12．（3分）下列運算正確的是（）A．3a+5b＝8ab B．（m+n）2＝m2+n2 C．（﹣x3y）2＝x6y2 D．a(chǎn)2?a3＝a63．（3分）下列能用平方差公式計算的是（）A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）4．（3分）下列命題中的假命題是（）A．若x2＝y(tǒng)2，則x＝y(tǒng) B．有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形 C．若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形是等腰三角形 D．等腰三角形底邊上的高平分它的頂角5．（3分）如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，BF∥DE，BF＝DE，AC＝8，則EF的長為（）A．4 B．3.5 C．2 D．2.56．（3分）將一塊邊長為a米的正方形廣場進(jìn)行擴建，擴建后的正方形邊長比原來長2米，則擴建后廣場面積增大了（）A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米27．（3分）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，交AB于點D，交AC于點E．若AB＝6，則△ADE的周長為（）A．10 B．11 C．12 D．138．（3分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，C為圓心，以AC長為半徑畫弧，連結(jié)BD，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．BD⊥AC B．∠ABD＝∠CBD C．∠BAD＝∠BCD D．四邊形ABCD的面積為AC?BD9．（3分）某校學(xué)生參加體育興趣小組情況的統(tǒng)計圖如圖所示，若參加人數(shù)最少的小組有25人，則參加人數(shù)最多的小組有（）A．25人 B．35人 C．40人 D．100人10．（3分）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）在數(shù)據(jù)，，，π，﹣2中，出現(xiàn)無理數(shù)的頻率為．12．（3分）若2m+n＝4，2m﹣n＝3，直接寫出4m2﹣n2＝．13．（3分）多項式1+9x2加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方式，那么加上的單項式可以是（填上一個你認(rèn)為正確的即可）．14．（3分）如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，則橡皮筋被拉長了cm．15．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝5，DC＝6．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（12分）（1）計算：+|﹣2|﹣；（2）運用公式進(jìn)行簡便計算：10.22﹣10.2×2.4+1.44；（3）計算：（﹣2a2b）2?（3b2﹣5a2b）÷（﹣ab）3．17．（9分）下面是小華同學(xué)分解因式9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）的過程，請認(rèn)真閱讀，并回答下列問題．解：原式＝9a2（x﹣y）+4b2（x﹣y）①＝（x﹣y）（9a2+4b2）②＝（x﹣y）（3a+2b）2③任務(wù)一：以上解答過程從第步開始出現(xiàn)錯誤．任務(wù)二：請你寫出正確的解答過程．18．（8分）先化簡，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣．19．（8分）如今很多人都是“手機不離手”．疫情發(fā)生以來，有的人手機使用時間比以前更長了，也有人養(yǎng)成了健康有節(jié)律的手機使用習(xí)慣．近日，記者李斌把調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖：每天使用手機時長情況統(tǒng)計圖（1），每天使用手機時長情況統(tǒng)計圖（2）（1）結(jié)合兩個統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可算出接受調(diào)查的一共有人．（2）每天使用手機5小時以上的占全部接受調(diào)查人數(shù)的%，是人．（3）88.5%的受調(diào)查者坦言：最近手機使用時間增長了，主要用手機刷短視頻、上網(wǎng)課和溝通工作．由于長時間觀看手機屏幕會使眼睛疲勞、干澀，引發(fā)視力下降（至少寫出兩條）20．（9分）如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，CE、BF交于點P．（1）求證：CE＝BF；（2）求∠BPC的度數(shù)．21．（9分）（1）已知△ABC三邊長分別為2，，，小迪在解決這一問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1），再畫出格點三角形利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積；（2）若△DEF三邊長分別為，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為a）中，畫出格點三角形DEF．22．（10分）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會運用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運用同底數(shù)冪的乘法公式，即am+n＝am?an，所以20＝4?an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，請你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小賢用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請你參考小賢的方法解答下面的問題：小賢的作業(yè)計算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小賢的求解方法逆用了哪一條冪的運算性質(zhì)，直接寫出該逆向運用的公式：．②計算：52023×（﹣0.2）2022．23．（10分）（1）感知：如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，連結(jié)AD，則可證△CBE≌△CAD，依據(jù)；進(jìn)而得到線段BE＝AD，依據(jù)．（2）探究：如圖2，AC＝BC，CD＝CE，AD、BE相交于點M，連接CM．①線段BE與AD之間是否仍存在（1）中的結(jié)論？若是，請證明，請直接寫出BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系；②∠AMB的度數(shù)＝．（用含α的式子表示）（3）應(yīng)用：AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，如圖3，取AD，連接CP，CQ，如果PC＝，直接寫出PQ的長．

2022-2023學(xué)年河南省南陽市唐河縣八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）在四個實數(shù)﹣2，0，，﹣1中，最小的實數(shù)是（）A．﹣2 B．0 C． D．﹣1【分析】先根據(jù)實數(shù)的大小比較法則比較定理，再得出答案即可．【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣4＜0，∴最小的數(shù)是﹣2，故選：A．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較和算術(shù)平方根，能熟記實數(shù)的大小比較法則是解此題的關(guān)鍵，注意：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)比較大小，其絕對值大的反而?。?．（3分）下列運算正確的是（）A．3a+5b＝8ab B．（m+n）2＝m2+n2 C．（﹣x3y）2＝x6y2 D．a(chǎn)2?a3＝a6【分析】根據(jù)合并同類項法則、完全平方公式、積的乘方運算法則、同底數(shù)冪的乘法法則計算即可得出答案．【解答】解：A．3a與5b不是同類項，故此選項不符合題意；B．（m+n）5＝m2+2mn+n2，原計算錯誤，故此選項不符合題意；C．（﹣x3y）2＝x6y2，原計算正確，故此選項符合題意；D．a(chǎn)2?a5＝a5，原計算錯誤，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了合并同類項法則、完全平方公式、積的乘方運算法則、同底數(shù)冪的乘法法則，正確掌握相關(guān)運算法則和公式是解題的關(guān)鍵．3．（3分）下列能用平方差公式計算的是（）A．（﹣x+y）（x+y） B．（﹣x+y）（x﹣y） C．（x+2）（2+x） D．（2x+3）（3x﹣2）【分析】根據(jù)平方差公式是對（a+b）（a﹣b）結(jié)構(gòu)特點算式進(jìn)行計算的方法進(jìn)行逐一辨別即可．【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴選項A符合題意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴選項B不符合題意；∵（x+2）（5+x）＝（x+2）2，∴選項C不符合題意；∵（6x+3）（3x﹣6）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴選項D不符合題意，故選：A．【點評】此題考查了平方差公式的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能正確理解并運用平方差公式．4．（3分）下列命題中的假命題是（）A．若x2＝y(tǒng)2，則x＝y(tǒng) B．有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形 C．若一個三角形有兩個角相等，則這個三角形是等腰三角形 D．等腰三角形底邊上的高平分它的頂角【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方、等邊三角形的判定定理、等腰三角形的概念和性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、若x2＝y(tǒng)2，則x＝±y，故本選項命題是假命題；B、有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，不符合題意；C、若一個三角形有兩個角相等，是真命題；D、根據(jù)等腰三角形的三線合一可知，是真命題；故選：A．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．（3分）如圖，點A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，BF∥DE，BF＝DE，AC＝8，則EF的長為（）A．4 B．3.5 C．2 D．2.5【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠A＝∠C，∠DEC＝∠BFA，進(jìn)而利用AAS證明△ABF與△CDE全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵AB∥CD，BF∥DE，∴∠A＝∠C，∠DEC＝∠BFA，在△ABF與△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE，∴AE＝CF，∵AE＝2，AC＝8，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣2﹣2＝3，故選：A．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是利用AAS證明△ABF與△CDE全等解答．6．（3分）將一塊邊長為a米的正方形廣場進(jìn)行擴建，擴建后的正方形邊長比原來長2米，則擴建后廣場面積增大了（）A．4米2 B．（a2+4）米2 C．（2a+4）米2 D．（4a+4）米2【分析】用擴大后的面積減去原來的面積，即可求出答案．【解答】解：（a+2）2﹣a5＝a2+4a+2﹣a2＝4a+6，故選：D．【點評】本題考查了整式的混合運算，注意完全平方公式的使用．7．（3分）如圖，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分線相交于點F，交AB于點D，交AC于點E．若AB＝6，則△ADE的周長為（）A．10 B．11 C．12 D．13【分析】先由平行線的性質(zhì)與角平分線的定義證得∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，再由等腰三角形的判定即可得出BD＝FD，CE＝FE，然后根據(jù)三角形周長公式求解即可．【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，∴BD＝FD，CE＝FE，∴△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AD+FD+FE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝6+5＝11．故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，證得BD＝FD，CE＝FE是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在△ABC中，BA＝BC，C為圓心，以AC長為半徑畫弧，連結(jié)BD，下列結(jié)論中錯誤的是（）A．BD⊥AC B．∠ABD＝∠CBD C．∠BAD＝∠BCD D．四邊形ABCD的面積為AC?BD【分析】根據(jù)作圖方法可得AD＝AC＝CD，進(jìn)而可得△ACD是等邊三角形，再利用垂直平分線的判定方法可得BD垂直平分AC，利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，利用面積公式可計算四邊形ABDC的面積．【解答】解：根據(jù)作圖方法可得AD＝AC＝CD，∵BA＝BC，∴點B在BC的垂直平分線上，∵AD＝CD，∴點D在BC的垂直平分線上，∴BD是AC的垂直平分線，故A結(jié)論正確；∴O為BC中點，∵BA＝BC，∴∠BAD＝∠BCD，故C結(jié)論正確；∵BD⊥AC，∠BAD＝∠BCD，∴∠ABD＝∠CBD，故B結(jié)論正確；∵四邊形ABDC的面積＝S△BCD+S△ABC＝AC?BD，故選：D．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一．9．（3分）某校學(xué)生參加體育興趣小組情況的統(tǒng)計圖如圖所示，若參加人數(shù)最少的小組有25人，則參加人數(shù)最多的小組有（）A．25人 B．35人 C．40人 D．100人【分析】根據(jù)參加足球的人數(shù)除以參加足球所長的百分比，可得參加興趣小組的總?cè)藬?shù)，參加興趣小組的總?cè)藬?shù)乘以參加乒乓球所占的百分比，可得答案．【解答】解：參加興趣小組的總?cè)藬?shù)25÷25%＝100（人），參加乒乓球小組的人數(shù)100×（1﹣25%﹣35%）＝40（人），故選：C．【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵，扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。?0．（3分）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，則小巷的寬度為（）A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米【分析】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，同理可得出BD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝2.4米，∴AB3＝0.75+2.45＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，BD2+A′D7＝A′B2，∴BD2+42＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝6.5米，∴CD＝BC+BD＝0.4+1.5＝7.2米．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）在數(shù)據(jù)，，，π，﹣2中，出現(xiàn)無理數(shù)的頻率為0.4．【分析】頻率是指每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或者百分比）．即頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)．【解答】解：在數(shù)據(jù)，，，π，﹣3中，π，共2個，則出現(xiàn)無理數(shù)的頻率為＝0.3；故答案為：0.4．【點評】本題考查了頻率，熟練運用頻率公式計算是解題的關(guān)鍵．12．（3分）若2m+n＝4，2m﹣n＝3，直接寫出4m2﹣n2＝12．【分析】根據(jù)平方差公式因式分解得4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），代入已知求值即可．【解答】解：∵2m+n＝4，6m﹣n＝3，∴4m5﹣n2＝（2m+n）（7m﹣n）＝4×3＝12．故答案為：12．【點評】本題考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是運用平方差公式正確進(jìn)行因式分解．13．（3分）多項式1+9x2加上一個單項式后，使它能成為一個整式的完全平方式，那么加上的單項式可以是6x或﹣6x或x4或﹣1或﹣9x2（填上一個你認(rèn)為正確的即可）．【分析】分9x2是平方項與乘積二倍項，以及單項式的平方三種情況，根據(jù)完全平方公式討論求解．【解答】解：①當(dāng)9x2是平方項時，6±6x+9x7＝（1±3x）8，∴可添加的項是6x或﹣6x，②當(dāng)4x2是乘積二倍項時，1+5x2+x8＝（1+x2）2，∴可添加的項是x4．③添加﹣1或﹣6x2．故答案為：6x或﹣2x或x4或﹣8或﹣9x2．【點評】本題考查了完全平方式，熟記完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵，注意要分情況討論．14．（3分）如圖，將長為8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定兩端A和B，則橡皮筋被拉長了2cm．【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD、BD的長，則AD+BD﹣AB即為橡皮筋拉長的距離．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝，CD＝5cm；根據(jù)勾股定理，得：AD＝；∴AD+BD﹣AB＝5AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉長了4cm．故答案為：2．【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（3分）如圖，四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝5，DC＝615．【分析】過D作DE⊥BA，交BA的延長線于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DC＝6，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：過D作DE⊥BA，交BA的延長線于E，∵∠BCD＝90°，∠ABD＝∠DBC，∴DE＝DC，∵DC＝6，∴DE＝6，∵AB＝2，∴△ABD的面積是＝×5×6＝15，故答案為：15．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和三角形的面積，能根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DC＝6是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）16．（12分）（1）計算：+|﹣2|﹣；（2）運用公式進(jìn)行簡便計算：10.22﹣10.2×2.4+1.44；（3）計算：（﹣2a2b）2?（3b2﹣5a2b）÷（﹣ab）3．【分析】（1）根據(jù)立方根的定義、絕對值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)即可求出答案．（2）根據(jù)完全平方公式即可求出答案．（3）根據(jù)積的乘方運算、整式的乘除運算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝3+2﹣﹣＝8﹣﹣＝﹣．（2）原式＝（10.2﹣1.2）2＝81．（3）原式＝（4a3b2）?（3ab7﹣5a2b）÷（﹣a3b3）＝12a3b3﹣20a4b3÷（﹣a6b3）＝﹣12b+20a＝20a﹣12b．【點評】本題考查立方根的定義、絕對值的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、完全平方公式、積的乘方運算、整式的乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．17．（9分）下面是小華同學(xué)分解因式9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）的過程，請認(rèn)真閱讀，并回答下列問題．解：原式＝9a2（x﹣y）+4b2（x﹣y）①＝（x﹣y）（9a2+4b2）②＝（x﹣y）（3a+2b）2③任務(wù)一：以上解答過程從第①步開始出現(xiàn)錯誤．任務(wù)二：請你寫出正確的解答過程．【分析】任務(wù)一：從相反數(shù)的意義考慮可得結(jié)論；任務(wù)二：先變形整式提取公因式，再套用平方差公式因式分解．【解答】解：任務(wù)一：∵x﹣y與y﹣x互為相反數(shù)，∴y﹣x＝﹣（x﹣y）．∴4b2（y﹣x）＝﹣8b2（x﹣y）．任務(wù)二：9a5（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝8a2（x﹣y）﹣4b6（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+6b）（3a﹣2b）．【點評】本題考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提取公因式法和公式法是解決本題的關(guān)鍵．18．（8分）先化簡，再求值：（2x﹣3）2+（x+4）（x﹣4）+5x（2﹣x），其中x＝﹣．【分析】直接利用乘法公式、單項式乘多項式運算法則分別化簡，進(jìn)而合并同類項，再把已知數(shù)據(jù)代入得出答案．【解答】解：原式＝4x2﹣12x+4+x2﹣16+10x﹣5x5＝﹣2x﹣7，當(dāng)時，原式＝﹣2x﹣7＝﹣2×（﹣）﹣7＝1﹣3＝﹣6．【點評】此題主要考查了整式的混合運算——化簡求值，正確運用乘法公式計算是解題關(guān)鍵．19．（8分）如今很多人都是“手機不離手”．疫情發(fā)生以來，有的人手機使用時間比以前更長了，也有人養(yǎng)成了健康有節(jié)律的手機使用習(xí)慣．近日，記者李斌把調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖：每天使用手機時長情況統(tǒng)計圖（1），每天使用手機時長情況統(tǒng)計圖（2）（1）結(jié)合兩個統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可算出接受調(diào)查的一共有2000人．（2）每天使用手機5小時以上的占全部接受調(diào)查人數(shù)的45%，是900人．（3）88.5%的受調(diào)查者坦言：最近手機使用時間增長了，主要用手機刷短視頻、上網(wǎng)課和溝通工作．由于長時間觀看手機屏幕會使眼睛疲勞、干澀，引發(fā)視力下降（至少寫出兩條）【分析】（1）根據(jù)樣本容量＝頻數(shù)÷所占百分比計算即可．（2）根據(jù)各頻數(shù)之和等于樣本容量，計算出人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)÷樣本容量＝百分比計算即可．（3）答案不唯一，只要合理即可．【解答】解：（1）接受調(diào)查的一共有：700÷35%＝2000（人）．故答案為：2000；（2）每天使用手機5小時以上的人數(shù)為：2000﹣40﹣360﹣700＝900（人），占全部接受調(diào)查人數(shù)的百分比為：900÷2000＝45%，故答案為：45，900．（3）①盡量少使用手機；②控制手機使用的時長等．【點評】本題考查了樣本容量，扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，熟練掌握統(tǒng)計圖的意義是解題的關(guān)鍵．20．（9分）如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點，CE、BF交于點P．（1）求證：CE＝BF；（2）求∠BPC的度數(shù)．【分析】（1）欲證明CE＝BF，只需證得△BCE≌△ABF；（2）利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE＝∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BPC＝120°．【解答】（1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，∴在△BCE與△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE＝BF；（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE＝∠ABF，∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．即：∠BPC＝120°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．21．（9分）（1）已知△ABC三邊長分別為2，，，小迪在解決這一問題時有以下思路：先畫如圖①的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為1），再畫出格點三角形利用外接長方形面積減去周圍三個直角三角形的面積；（2）若△DEF三邊長分別為，，在圖②的正方形網(wǎng)格（小正方形邊長均為a）中，畫出格點三角形DEFa2．【分析】（1）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（2）構(gòu)造網(wǎng)格圖，利用分割法求解即可．【解答】解：（1）△ABC如圖所示：△ABC的面積為3×4﹣×3×5﹣×2×7＝5．（2）如圖，△DEF即為所求．△DEF的面積為3a×3a﹣×3a×2a﹣×8a×a＝．故答案為：a8．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，二次根式的應(yīng)用，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分割法求三角形面積．22．（10分）在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常會運用逆向思考的方法來解決一些問題，例如：“若am＝4，am+n＝20，求an的值．”這道題我們可以這樣思考：逆向運用同底數(shù)冪的乘法公式，即am+n＝am?an，所以20＝4?an，所以an＝5．（1）若am＝2，a2m+n＝24，請你也利用逆向思考的方法求出an的值．（2）下面是小賢用逆向思考的方法完成的一道作業(yè)題，請你參考小賢的方法解答下面的問題：小賢的作業(yè)計算：89×（﹣0.125）9．解：89×（﹣0.125）9＝（﹣8×0.125）9＝（﹣1）9＝﹣1．①小賢的求解方法逆用了哪一條冪的運算性質(zhì)，直接寫出該逆向運用的公式：an?bn＝（ab）n．②計算：52023×（﹣0.2）2022．【分析】（1）根據(jù)所給的解答方式進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)解答過程進(jìn)行分析即可；②利用所給的方式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）∵am＝2，∴a2m+n＝24，∴a7m×an＝24，（am）2×an＝24，26×an＝24，∴4an＝24，∴an＝6；（2）①逆用積的乘方，其公式為：an?bn＝（ab）n，故答案為：an?bn＝（ab）n；②72023×（﹣0.2）2022＝8×52022×（﹣0.7）