氫原子塞曼效應能級的簡化公式

氫原子塞曼效應能級的簡化公式

1氫原子塞曼效應的性質氫原子在均勻磁體中的軸向功能應該分為賽馬效應。當自動磁矩和磁體之間的相互作用和哈密頓體積的b2元素被省略時，氫原子的軸向功能簡單地分解為均勻磁體的一部分，n形能量被分解成幾個部分。在強磁場中，由于哈密頓體積的b2元素，氫原子的容量論被破壞，原子能簡單地分解并完全消除。近年來，一些文獻報道了強磁場氫原子在強磁場中的功能和波函數的工作。在這些工作中，原則上應用了變分法和數值計算的方法。計算氫原子的多級和波函數的過程非常復雜。利用微干擾法求解強磁場中氫原子的多級和波函數，并面臨解長期方程的二維高行方程問題的困難。該工作使用了簡單的微干擾理論和球合函數的性質，將氫原子的自動效應矩陣的二維高行方向分解為n級普通平行方向方程的n級低行方向方程，并對其進行了簡化，給出了氫原子在低能條件下的素質分析解。氫原子的瑤波功能與左、乘兩位方程的簡化公式相比具有不同的興趣。三個氫原子的塞曼效應類似于左、乘。2微擾矩陣元hn設外磁場均勻并沿Z軸方向,磁場強度為B,忽略自旋磁矩與磁場之間的相互作用時,氫原子的哈密頓量為選取球坐標系,式(1)為令:式(2)變?yōu)?由于氫原子的定態(tài)波函數ψnlm(r,θ,φ)也是的本征函數.所以的本征函數為ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)(5)能量本征值為E0nm=E0n+E0m=-μe42?2n2+eB2μcm?m=0,±1,±2,?,±(n-1)(6)式(6)表明氫原子在均勻磁場中,當B2項忽略不計時n態(tài)能級分裂為(2n-1)個能級,能級的簡并度為(n-1)2.當外磁場為強磁場而且B2(B<106T)項不能忽略時,氫原子庫侖場的對稱性被破壞.能級簡并被全部解除.此時可將作為微擾項,應用簡并態(tài)微擾法可以計算一級能級修正值E′lm.強磁場中氫原子塞曼效應的一級近似能級可以表示為:Enlm=E0n+E0m+E(1)lm(7)現取零級波函數為ψ0=n∑i=1C(0)i?i(r,θ,φ)(8)?i(r,θ,φ)=ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)(9)根據簡并態(tài)微擾理論,久期方程為n∑i=1(Η′ji-E(1)lmδji)C(0)i=0?δji={0,j≠i1?j=1(10)其中:由公式:cosθYlm=√(l+1)2-m2(2l+1)(2l+3)Yl+1,m+√l2-m2(2l-1)(2l+1)Yl-1,m(12)可以得到sin2θYl′m′=2l′2(2l′+3)-2(l′+1)+2m′2(2l′+1)(2l′+1)(2l′+3)(2l′-1)Yl′m′-√(l′2-m′2)(l′+m′-1)(l′-m′-1)(2l′-1)2(2l′-3)(2l′+1)Yl′-2,m′-√(l′+m′+1)(l′-m′+1)(l′+m′+2)(l′-m′+2)(2l′+1)(2l′+3)2(2l′+5)Yl′+2,m′(13)式(13)代入式(11)中得到只有當兩個態(tài)的角量子數滿足l=l′、l=l′±2和磁量子數m=m′時,微擾矩陣元H′ji才不為零,其余的微擾矩陣元H′ji都為0.又因為所以只須計算l=l′,l=l′+2或l=l′-2的非零微擾矩陣元H′ij.在這里取l=l′-2,即l′=l+2.根據球諧函數的性質,有ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)=(-1)mRnl(r)Y*l,-m(θ,φ)=(-1)mψ*nl,-m(15)在非零微擾矩陣元H′ij中,m與-m對應的微擾矩陣元H′ij(m)、H′ij(-m)間的關系為H′ij(m)=∫ψ*nlmbr2sin2θψnl′mdτ=∫ψnl,-mbr2sin2θψ*nl′,-mdτ=H′ji(-m)=H′ij(-m)(16)根據式(14)、式(15)和久期方程行列式中m≠m′的矩陣元H′ij都為零的條件,久期方程變成(2n-1)個對角的非零分塊行列式和余下的零子行列式組成的n2階行列式,式(10)為|AnAn-1A-(n-1)0?An-mA-(n-m)?0A2A-2A1A-1|=0(17)上式中,對角線上的A-1,A1,A-2,A2,…,A-(n-m)2,An-m,…,A-(n-1),An-1,An均為非零分塊行列式,其余的矩陣元都為零.每個非零分塊行列式都是從m≠m′開始劃分,每個非零分塊行列式中的各矩陣元都在m=m′內,且每對應一個m值,若有i個?i=ψnlm函數,該分塊行列式為i階行列式.分塊行列式An-m是磁量子數為m時,角量子數l分別取m,n+1,n+2,…,(n-1)所組成的(n-m)階行列的分塊行列式.在分塊行列式An-m中,零級波函數ψ0中的?i,m按下列方法構造{?1,m=ψnmm=RnmYmm?2,m=ψn(m+1)m=Rn(m+1)Y(m+1)m??n-m,m=ψn-(n-1)m=Rn(n-1)Y(n-1)m;m=0,1,2,…,(n-1)(18)應用氫原子徑向波函數中r2平均值的關系式:ˉr2=∫∞0r2R2nl(r)r2dr=a20n22[5n2+1-3l(l+1)],(a0=?2me2)(19)和式(13)可以得到分塊行列式An-m中的非零微擾矩陣元H′ii和H′i(i+2).H′ii和H′i(i+2)分別為式(17)可寫成A-1A1A-2A2…A-(n-m)An-m…A-(n-1)An-1An=0(22)根據式(16)H′ij(m)=H′ij(-m)可知An-m=A-(n-m),則有E(1)lm=E(1)l(-m).式(22)可簡化為A1A2…An-m…An-1An=0(23)式(23)是強磁場中氫原子塞曼效應久期方程的簡化公式.由式(23)解出與磁量子數m=0,1,2,…,(n-1)對應的分塊行列式A1、A2、…、An-1、An的根E(1)lm,再代入式(7)就可得到n態(tài)氫原子塞曼效應一級近似能級.下面用上述方法計算n=3的氫原子塞曼效應的一級近似能級.3氫原子n.3具有良好的襯底反應能力3.1算法中分塊行列式3-2A3中各微擾矩陣元對應于m=0、l=0,1,2的零級波函數ψ0中的?i,m為?1,0=R30Y00,?2,0=R31Y10,?3,0=R32Y20(24)其中:R30=-12√2α32e-ρ2(2-2ρ+ρ23)?R31=-12α32e-ρ2ρ(23-ρ2)?R32=-√560α32e-ρ2ρ2(25)在上面各式中,α=23a0?ρ=αr,a0=?2me2.由式(20)和式(21)計算分塊行列式A3中非零矩陣元分別為:Η′11=∫v?*1,0?H′?1,0dτ=138a20b?Η′22=∫v?*2,0?H′?2,0dτ=72a20bΗ′33=∫v?*3,0?H′?3,0dτ=60a20b?Η′13=Η′31=∫v?*1,0?H′?3,0dτ=-30√2a20b}(26)代入A3=0中得:A3=|138a20b-E(1)l00-30√2a20b072a20b-E(1)l00-30√2a20b060a20b-E(1)l0|=0(27)解得:E(1)00=9(9+√41)e2B2a208μc2,E(1)10=72e2B2a208μc2,E(1)20=9(9-√41)e2B2a208μc2(28)3.2關于b-e矩陣元?1,1=R31Y11,?2,1=R32Y21(29)A2中的非零矩陣元為:代入A2=0中得:A2=|144a20b-E(1)l10072a20b-E(1)l1|=0(30)解得:E(1)11=144e2B2a208μc2,E(1)21=72e2B2a208μc2(31)3.3應的矩陣元?1,1=R32Y22(23)20相應的矩陣元為:由A1=0(H′11-E(1)22=0),解得:E(1)22=108e2B2a208μc2(33)3.4eb2.3e58第二,32e15.3將上面解得的E(1)lm分別代入式(7)中得到強磁場中氫原子n=3的塞曼效應一級近似能級為:E322=-μe418?2+eB?μc+108e2B2a208μc2,E321=-μe418?2+eB?2μc+72e2B2a208μc2,E320=-μe418?2+9(9-√41)e2B2a208μc2,E32-1=-μe418?2-eB?2μc+72e2B2a208μc2,E32-2=-μe418?2-eB?μc+108e2B2a208μc2,E311=-μe418?2+eB?2μc+144e2B2a208μc2,E310=-μe418?2+72e2B2a208μc2,E31-1=-μe418?2-eB?2μc+144e2B2a208μc2,E300=-μe418?2+9(9+√41)e2B2a208μc2(34)4功率分配算法應用氫原子塞曼效應久期方程的簡化公式計算n=3的一級近似能級結果表明,氫原n=3久期方程原來是