氫原子塞曼效應(yīng)能級(jí)的簡(jiǎn)化公式

氫原子塞曼效應(yīng)能級(jí)的簡(jiǎn)化公式

1氫原子塞曼效應(yīng)的性質(zhì)氫原子在均勻磁體中的軸向功能應(yīng)該分為賽馬效應(yīng)。當(dāng)自動(dòng)磁矩和磁體之間的相互作用和哈密頓體積的b2元素被省略時(shí)，氫原子的軸向功能簡(jiǎn)單地分解為均勻磁體的一部分，n形能量被分解成幾個(gè)部分。在強(qiáng)磁場(chǎng)中，由于哈密頓體積的b2元素，氫原子的容量論被破壞，原子能簡(jiǎn)單地分解并完全消除。近年來(lái)，一些文獻(xiàn)報(bào)道了強(qiáng)磁場(chǎng)氫原子在強(qiáng)磁場(chǎng)中的功能和波函數(shù)的工作。在這些工作中，原則上應(yīng)用了變分法和數(shù)值計(jì)算的方法。計(jì)算氫原子的多級(jí)和波函數(shù)的過(guò)程非常復(fù)雜。利用微干擾法求解強(qiáng)磁場(chǎng)中氫原子的多級(jí)和波函數(shù)，并面臨解長(zhǎng)期方程的二維高行方程問題的困難。該工作使用了簡(jiǎn)單的微干擾理論和球合函數(shù)的性質(zhì)，將氫原子的自動(dòng)效應(yīng)矩陣的二維高行方向分解為n級(jí)普通平行方向方程的n級(jí)低行方向方程，并對(duì)其進(jìn)行了簡(jiǎn)化，給出了氫原子在低能條件下的素質(zhì)分析解。氫原子的瑤波功能與左、乘兩位方程的簡(jiǎn)化公式相比具有不同的興趣。三個(gè)氫原子的塞曼效應(yīng)類似于左、乘。2微擾矩陣元hn設(shè)外磁場(chǎng)均勻并沿Z軸方向,磁場(chǎng)強(qiáng)度為B,忽略自旋磁矩與磁場(chǎng)之間的相互作用時(shí),氫原子的哈密頓量為選取球坐標(biāo)系,式(1)為令:式(2)變?yōu)?由于氫原子的定態(tài)波函數(shù)ψnlm(r,θ,φ)也是的本征函數(shù).所以的本征函數(shù)為ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)(5)能量本征值為E0nm=E0n+E0m=-μe42?2n2+eB2μcm?m=0,±1,±2,?,±(n-1)(6)式(6)表明氫原子在均勻磁場(chǎng)中,當(dāng)B2項(xiàng)忽略不計(jì)時(shí)n態(tài)能級(jí)分裂為(2n-1)個(gè)能級(jí),能級(jí)的簡(jiǎn)并度為(n-1)2.當(dāng)外磁場(chǎng)為強(qiáng)磁場(chǎng)而且B2(B<106T)項(xiàng)不能忽略時(shí),氫原子庫(kù)侖場(chǎng)的對(duì)稱性被破壞.能級(jí)簡(jiǎn)并被全部解除.此時(shí)可將作為微擾項(xiàng),應(yīng)用簡(jiǎn)并態(tài)微擾法可以計(jì)算一級(jí)能級(jí)修正值E′lm.強(qiáng)磁場(chǎng)中氫原子塞曼效應(yīng)的一級(jí)近似能級(jí)可以表示為:Enlm=E0n+E0m+E(1)lm(7)現(xiàn)取零級(jí)波函數(shù)為ψ0=n∑i=1C(0)i?i(r,θ,φ)(8)?i(r,θ,φ)=ψnlm(r,θ,φ)=Rnl(r)Ylm(θ,φ)(9)根據(jù)簡(jiǎn)并態(tài)微擾理論,久期方程為n∑i=1(Η′ji-E(1)lmδji)C(0)i=0?δji={0,j≠i1?j=1(10)其中:由公式:cosθYlm=√(l+1)2-m2(2l+1)(2l+3)Yl+1,m+√l2-m2(2l-1)(2l+1)Yl-1,m(12)可以得到sin2θYl′m′=2l′2(2l′+3)-2(l′+1)+2m′2(2l′+1)(2l′+1)(2l′+3)(2l′-1)Yl′m′-√(l′2-m′2)(l′+m′-1)(l′-m′-1)(2l′-1)2(2l′-3)(2l′+1)Yl′-2,m′-√(l′+m′+1)(l′-m′+1)(l′+m′+2)(l′-m′+2)(2l′+1)(2l′+3)2(2l′+5)Yl′+2,m′(13)式(13)代入式(11)中得到只有當(dāng)兩個(gè)態(tài)的角量子數(shù)滿足l=l′、l=l′±2和磁量子數(shù)m=m′時(shí),微擾矩陣元H′ji才不為零,其余的微擾矩陣元H′ji都為0.又因?yàn)樗灾豁氂?jì)算l=l′,l=l′+2或l=l′-2的非零微擾矩陣元H′ij.在這里取l=l′-2,即l′=l+2.根據(jù)球諧函數(shù)的性質(zhì),有ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,φ)=(-1)mRnl(r)Y*l,-m(θ,φ)=(-1)mψ*nl,-m(15)在非零微擾矩陣元H′ij中,m與-m對(duì)應(yīng)的微擾矩陣元H′ij(m)、H′ij(-m)間的關(guān)系為H′ij(m)=∫ψ*nlmbr2sin2θψnl′mdτ=∫ψnl,-mbr2sin2θψ*nl′,-mdτ=H′ji(-m)=H′ij(-m)(16)根據(jù)式(14)、式(15)和久期方程行列式中m≠m′的矩陣元H′ij都為零的條件,久期方程變成(2n-1)個(gè)對(duì)角的非零分塊行列式和余下的零子行列式組成的n2階行列式,式(10)為|AnAn-1A-(n-1)0?An-mA-(n-m)?0A2A-2A1A-1|=0(17)上式中,對(duì)角線上的A-1,A1,A-2,A2,…,A-(n-m)2,An-m,…,A-(n-1),An-1,An均為非零分塊行列式,其余的矩陣元都為零.每個(gè)非零分塊行列式都是從m≠m′開始劃分,每個(gè)非零分塊行列式中的各矩陣元都在m=m′內(nèi),且每對(duì)應(yīng)一個(gè)m值,若有i個(gè)?i=ψnlm函數(shù),該分塊行列式為i階行列式.分塊行列式An-m是磁量子數(shù)為m時(shí),角量子數(shù)l分別取m,n+1,n+2,…,(n-1)所組成的(n-m)階行列的分塊行列式.在分塊行列式An-m中,零級(jí)波函數(shù)ψ0中的?i,m按下列方法構(gòu)造{?1,m=ψnmm=RnmYmm?2,m=ψn(m+1)m=Rn(m+1)Y(m+1)m??n-m,m=ψn-(n-1)m=Rn(n-1)Y(n-1)m;m=0,1,2,…,(n-1)(18)應(yīng)用氫原子徑向波函數(shù)中r2平均值的關(guān)系式:ˉr2=∫∞0r2R2nl(r)r2dr=a20n22[5n2+1-3l(l+1)],(a0=?2me2)(19)和式(13)可以得到分塊行列式An-m中的非零微擾矩陣元H′ii和H′i(i+2).H′ii和H′i(i+2)分別為式(17)可寫成A-1A1A-2A2…A-(n-m)An-m…A-(n-1)An-1An=0(22)根據(jù)式(16)H′ij(m)=H′ij(-m)可知An-m=A-(n-m),則有E(1)lm=E(1)l(-m).式(22)可簡(jiǎn)化為A1A2…An-m…An-1An=0(23)式(23)是強(qiáng)磁場(chǎng)中氫原子塞曼效應(yīng)久期方程的簡(jiǎn)化公式.由式(23)解出與磁量子數(shù)m=0,1,2,…,(n-1)對(duì)應(yīng)的分塊行列式A1、A2、…、An-1、An的根E(1)lm,再代入式(7)就可得到n態(tài)氫原子塞曼效應(yīng)一級(jí)近似能級(jí).下面用上述方法計(jì)算n=3的氫原子塞曼效應(yīng)的一級(jí)近似能級(jí).3氫原子n.3具有良好的襯底反應(yīng)能力3.1算法中分塊行列式3-2A3中各微擾矩陣元對(duì)應(yīng)于m=0、l=0,1,2的零級(jí)波函數(shù)ψ0中的?i,m為?1,0=R30Y00,?2,0=R31Y10,?3,0=R32Y20(24)其中:R30=-12√2α32e-ρ2(2-2ρ+ρ23)?R31=-12α32e-ρ2ρ(23-ρ2)?R32=-√560α32e-ρ2ρ2(25)在上面各式中,α=23a0?ρ=αr,a0=?2me2.由式(20)和式(21)計(jì)算分塊行列式A3中非零矩陣元分別為:Η′11=∫v?*1,0?H′?1,0dτ=138a20b?Η′22=∫v?*2,0?H′?2,0dτ=72a20bΗ′33=∫v?*3,0?H′?3,0dτ=60a20b?Η′13=Η′31=∫v?*1,0?H′?3,0dτ=-30√2a20b}(26)代入A3=0中得:A3=|138a20b-E(1)l00-30√2a20b072a20b-E(1)l00-30√2a20b060a20b-E(1)l0|=0(27)解得:E(1)00=9(9+√41)e2B2a208μc2,E(1)10=72e2B2a208μc2,E(1)20=9(9-√41)e2B2a208μc2(28)3.2關(guān)于b-e矩陣元?1,1=R31Y11,?2,1=R32Y21(29)A2中的非零矩陣元為:代入A2=0中得:A2=|144a20b-E(1)l10072a20b-E(1)l1|=0(30)解得:E(1)11=144e2B2a208μc2,E(1)21=72e2B2a208μc2(31)3.3應(yīng)的矩陣元?1,1=R32Y22(23)20相應(yīng)的矩陣元為:由A1=0(H′11-E(1)22=0),解得:E(1)22=108e2B2a208μc2(33)3.4eb2.3e58第二,32e15.3將上面解得的E(1)lm分別代入式(7)中得到強(qiáng)磁場(chǎng)中氫原子n=3的塞曼效應(yīng)一級(jí)近似能級(jí)為:E322=-μe418?2+eB?μc+108e2B2a208μc2,E321=-μe418?2+eB?2μc+72e2B2a208μc2,E320=-μe418?2+9(9-√41)e2B2a208μc2,E32-1=-μe418?2-eB?2μc+72e2B2a208μc2,E32-2=-μe418?2-eB?μc+108e2B2a208μc2,E311=-μe418?2+eB?2μc+144e2B2a208μc2,E310=-μe418?2+72e2B2a208μc2,E31-1=-μe418?2-eB?2μc+144e2B2a208μc2,E300=-μe418?2+9(9+√41)e2B2a208μc2(34)4功率分配算法應(yīng)用氫原子塞曼效應(yīng)久期方程的簡(jiǎn)化公式計(jì)算n=3的一級(jí)近似能級(jí)結(jié)果表明,氫原n=3久期方程原來(lái)是