第七章立體與立體相交

第七章立體與立體相交第一頁(yè)，共37頁(yè)?！锕灿行浴锉砻嫘韵嘭灳€位于兩立體的表面上（外表面或內(nèi)表面）。相貫線是兩立體表面的共有線。★封閉性相貫線一般是封閉的空間折線（通常由直線和曲線組成）或空間曲線?！锟臻g性相貫線一般是空間曲線，有時(shí)也為平面曲線或直線。2.相貫線的主要性質(zhì)第一頁(yè)第二頁(yè)，共37頁(yè)?！锟臻g分析1.相貫兩立體的表面性質(zhì)（外表面或內(nèi)表面）。3.相貫線作圖的一般方法3.相貫兩立體的相對(duì)大小。2.相貫兩立體相互位置。第二頁(yè)第三頁(yè)，共37頁(yè)。

相貫線作圖實(shí)質(zhì)是找出相貫的兩立體表面的若干共有點(diǎn)的投影。4.相貫兩立體對(duì)投影面位置。★投影作圖描點(diǎn)法，特殊位置點(diǎn)、一般位置點(diǎn)投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦谌?yè)第四頁(yè)，共37頁(yè)。1.相貫線的性質(zhì)兩平面體的交線在一般情況下是折線。這條折線可以分裂成兩個(gè)或更多部分，并且都是直線組成的空間封閉線框。1.求解方法

棱線法—求各棱線與棱面的交點(diǎn)

棱面法—求各棱面的交線兩平面體的交線的各個(gè)頂點(diǎn)是一個(gè)平面體的棱線與另一平面體的交點(diǎn)，交線的各條線段是兩平面體的各棱面間的交線。

§7.1平面體與平面體相交第四頁(yè)第五頁(yè)，共37頁(yè)。3.

連線。注意判別交線的可見(jiàn)性，在P面內(nèi)的交線可見(jiàn)，在Q面內(nèi)的交線不可見(jiàn)。PVQV投影分析

從正面和側(cè)面投影看出，四棱柱的四條棱線都穿過(guò)棱錐，所以兩立體是全貫的。其交線是兩條封閉折線。前面一條是空間折線，是四棱柱與三棱錐的前面兩個(gè)棱面的交線；后面一條是平面折線，是四棱柱與三棱錐后面棱面的交線。作圖步驟

1.

先求四棱柱的兩個(gè)水平棱面對(duì)三棱錐各棱面的交線。通過(guò)四棱柱上下兩個(gè)棱面作水平面P和Q，P和Q與三棱錐各個(gè)棱面的交線分別與三棱錐的底面三角形的三條邊平行。2.

求四棱柱左右兩個(gè)側(cè)面與三棱錐的交線?？梢杂伤睦庵笥覀?cè)面投影的積聚性和步驟1中求出的交線共同確定。[例題一]求四棱柱與三棱錐的交線第五頁(yè)第六頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余作圖線后的結(jié)果第六頁(yè)第七頁(yè)，共37頁(yè)。1.相貫線的性質(zhì)

相貫線是由若干段平面曲線（或直線）所組成的封閉曲線，每一段平面曲線是平面體的棱面與曲面體表面的截交線。平面曲線的交點(diǎn)就是平面體的棱線與曲面體的交點(diǎn)。2.作圖方法

分析各棱面與曲面的相對(duì)位置，從而確定交線的形狀。

求各棱面與曲面的截交線及棱線與曲面的交點(diǎn)。

連接各段交線，并判斷可見(jiàn)性。求交線的實(shí)質(zhì)是求各棱面與曲面的截交線及棱線與曲面的交點(diǎn)。§7.2平面體與曲面體相交第七頁(yè)第八頁(yè)，共37頁(yè)。投影分析

三棱柱與半球的交線由三條截交線組成。它們的空間形狀都是圓弧。由投影可知，三棱柱的最后面的棱面是正平面，前面兩個(gè)棱面是與正立面傾斜的鉛垂面。作圖方法

輔助平面法。用一個(gè)正平面來(lái)切此模型，則切三棱柱前面的兩個(gè)棱面分別產(chǎn)生兩條交線，切球面的交線為圓弧。棱面上的交線與圓弧的交點(diǎn)就是三棱柱與球面的交線上的點(diǎn)。RHSHUHTH作圖步驟１.求特殊位置點(diǎn)。?

求三棱柱各條棱線上的點(diǎn)。?

求交線正面投影上虛實(shí)的分界點(diǎn)。３.連線。注意輪廓線的可見(jiàn)性。２.求一般位置點(diǎn)。[例題二]求三棱柱與半圓球的交線第八頁(yè)第九頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余作圖線后的結(jié)果第九頁(yè)第十頁(yè)，共37頁(yè)。1.相貫線的性質(zhì)相貫線一般為光滑封閉的空間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面的共有線。2.作圖方法利用投影的積聚性直接找點(diǎn)輔助平面法先找特殊點(diǎn)⒊作圖過(guò)程補(bǔ)充一般位置點(diǎn)

輔助球面法連線并判別可見(jiàn)性點(diǎn)§7.3曲面體與曲面體相交第十頁(yè)第十一頁(yè)，共37頁(yè)。●●●●●●●●●投影分析：小圓柱軸線垂直于H面，水平投影積聚為圓，根據(jù)相貫線的共有性，相貫線的水平投影即為該圓。大圓柱軸線垂直于W面，側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在該圓上。求相貫線的投影：采用表面取點(diǎn)法，利用投影積聚性?！钫姨厥恻c(diǎn)☆找一般位置點(diǎn)☆光滑連接［例題三］求兩圓柱垂直相交的交線第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余作圖線后的結(jié)果第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共37頁(yè)。當(dāng)兩圓柱正交時(shí)，交線的投影由小圓柱內(nèi)向大圓柱內(nèi)彎曲。隨著小圓柱直徑增大，大圓柱直徑不變，交線彎曲程度越大。當(dāng)兩個(gè)圓柱直徑相等時(shí)，交線的投影為直線。討論：當(dāng)兩圓柱正交時(shí)，隨著直徑變化，相貫線的變化趨勢(shì)？第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共37頁(yè)。●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面相貫◆一內(nèi)表面和一外表面相貫★內(nèi)形交線◆兩內(nèi)表面相貫投影分析

這是一個(gè)內(nèi)外形都有圓柱面相交的問(wèn)題。相交的圓柱面都是垂直相交，即柱面正交。這與例題三相似。作圖方法

采用表面取點(diǎn)法，利用投影積聚性。［例題四］補(bǔ)全主視圖第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共37頁(yè)。

圓柱面正交，不管是內(nèi)形還是外形，其作圖方法是表面取點(diǎn)，利用投影的積聚性。作圖步驟是先求特殊位置點(diǎn)，再求一般位置點(diǎn)，最后連線，同時(shí)判別可見(jiàn)性。小結(jié)擦除多余作圖線后的結(jié)果第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共37頁(yè)。作圖方法

輔助平面法。取一正平面為輔助平面，此輔助平面切此模型的交線都是圓柱的素線。這些素線的交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)。投影分析

兩圓柱面分別垂直于水平面和側(cè)面，所以交線水平投影積聚在小圓柱的水平投影上，交線的側(cè)面積聚在大圓柱的側(cè)面投影圓弧上（即在小圓柱輪廓線之間的一段圓弧）。［例題五］求兩偏交圓柱的交線。第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共37頁(yè)。作圖步驟1.求特殊位置點(diǎn)

●●RHRWTHTWQHQWSHSW2.求一般位置點(diǎn)●PHPW3.連線。注意判別可見(jiàn)性。［例題五］求兩偏交圓柱的交線第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共37頁(yè)。II6:1擦除多余作圖線后的結(jié)果第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共37頁(yè)。P38（7）P40P41（8）作業(yè)第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共37頁(yè)。投影分析

大圓柱是直立的，小圓柱是傾斜的，直立圓柱的水平投影具有積聚性，則交線的水平投影為兩圓柱投影的公共部分。小圓柱的軸線是正平線，則小圓柱的端面圓的正面投影積聚為直線。

作圖方法

輔助平面法。用正平面切此模型，其交線分別為四條直線，它們的交點(diǎn)是相貫線上的點(diǎn)。作圖步驟1.求特殊位置點(diǎn)。

●●2.用輔助平面法求一般位置點(diǎn)。

●PHPWQHQW3.用光滑曲線連線，并判別可見(jiàn)性。［例題六］求兩斜交圓柱的交線第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余作圖線后的結(jié)果第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共37頁(yè)。投影分析

相貫線為一光滑的封閉的空間曲線。其中圓柱面的側(cè)面投影有積聚性，因此，相貫線的側(cè)面投影在柱面的側(cè)面投影上。相貫線的正面投影、水平投影應(yīng)分別求出。［例題七］求圓柱與圓錐的交線第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共37頁(yè)。根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，利用輔助平面求出兩回轉(zhuǎn)體表面上的若干共有點(diǎn)，從而畫出相貫線的投影。作圖方法假想用輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)體，分別得出兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線。由于截交線的交點(diǎn)既在輔助平面內(nèi)，又在兩回轉(zhuǎn)體表面上，因而是相貫線上的點(diǎn)。輔助平面的選擇原則

使輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體表面的截交線的投影簡(jiǎn)單易畫，例如直線或圓。一般選擇投影面平行面作為輔助平面輔助平面法第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共37頁(yè)?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛窠忸}步驟：★求特殊點(diǎn)★用輔助平面法求中間點(diǎn)★光滑連接各點(diǎn)［例題七］求圓柱與圓錐的交線第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余的作圖線后的結(jié)果第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共37頁(yè)。P42P43P44（14）作業(yè)第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共37頁(yè)。投影分析

軸線為鉛垂線的直立回轉(zhuǎn)體的水平投影有積聚性。傾斜圓柱的軸線為正平線，其正面投影有積聚性。作圖方法

輔助球面法—同心球面法。其基本原理：若一回轉(zhuǎn)面與一球心在其回轉(zhuǎn)軸上的球面相交，則其交線一定是圓。

同心球面法適用于當(dāng)兩個(gè)曲面都是回轉(zhuǎn)面時(shí)，且它們的軸線相交并平行于投影面。［例題八］求作兩曲面體的交線第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共37頁(yè)。作圖步驟1.求特殊位置點(diǎn)。

●●2.求一般位置點(diǎn)。以兩回轉(zhuǎn)體軸線的交點(diǎn)為球心作一個(gè)輔助球面?！瘛?.連線，并判別可見(jiàn)性。［例題八］求作兩曲面體的交線第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余的作圖線后的結(jié)果第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共37頁(yè)。定理1

在一般情況下，兩個(gè)二次曲面的交線是四次空間曲線。但在特殊情況下可分解成兩條二次曲線（4=2+2），一條直線和一條三次曲線（4=1+3），或四條(4=1+1+1+1)。直徑相等的兩圓柱圓柱與橢圓柱定理2

若兩個(gè)二次曲面具有公共的對(duì)稱平面，則它們的交線在該平面上的正投影是二次曲線。（1）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中有一個(gè)是球面時(shí)，則它們的交線在公共對(duì)稱平面上的投影是拋物線。拋物線（2）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中有一個(gè)是扁橢球面時(shí)，則它們的交線在公共對(duì)稱平面上的投影是橢圓。橢圓（3）當(dāng)兩軸線相交的二次曲面中不含球面或扁橢球面時(shí)，則它們的交線在公共對(duì)稱平面上的投影是雙曲線。雙曲線定理3

若兩個(gè)二次曲面有兩個(gè)切點(diǎn)，則它們的交線分解為通過(guò)切點(diǎn)的兩條二次曲線。二次曲線定理4

若兩個(gè)二次曲面切于第三個(gè)二次曲面，則它們的交線兩條平面曲線。在求兩曲面體的交線時(shí)，若遇到這種情況，可以將交線的投影直接畫出，不必找點(diǎn)連線?！?.4二次曲面的交線性質(zhì)第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共37頁(yè)。［例題九］補(bǔ)全視圖形體分析

分析組成模型的基本幾何形體及其相互位置關(guān)系，判斷哪些表面之間有交線，并分析交線趨勢(shì)。1小圓柱2大圓柱3圓柱和與之相切的平面立體正交交線作圖步驟

1.

畫出基本體的投影;2.求大圓柱與形體3的交線；

3.求形體3與小圓柱的交線；4.求大小兩圓柱的交線?！?.5多形體相交第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共37頁(yè)。擦除多余的作圖線后的結(jié)果第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)