人教B版（2023）必修第三冊《8.1.3 向量數(shù)量積的坐標運算》同步練習（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40分）

1.（5分）設向量，，則等于

A.B.C.D.

2.（5分）已知向量，，若，則

A.B.C.D.

3.（5分）已知，，為的三個內角，，的對邊，向量，若，且，則角，的大小分別為

A.，B.，C.，D.，

4.（5分）若，則

A.B.C.D.

5.（5分）已知，，若與垂直，則

A.B.C.D.

6.（5分）

A.B.

C.D.

7.（5分）若，，則

A.B.C.D.

8.（5分）已知，則

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共5小題，共25分）

9.（5分）已知向量，，若，則

A.或B.或

C.或D.或

10.（5分）已知，，則以下結論正確的是

A.若，則

B.若，則

C.若，則或

D.的最小值為

11.（5分）已知，，，，，則下列結論正確的是

A.為常數(shù)B.的最小值為

C.的最小值為D.的最大值為

12.（5分）設向量，則下列敘述錯誤的是

A.若，則與的夾角為鈍角

B.的最小值為

C.與垂直的單位向量為

D.若，則

13.（5分）已知平面內三點，，，則

A.B.

C.D.與的夾角為

三、填空題（本大題共5小題，共25分）

14.（5分）已知向量，，則在方向上的投影為______．

15.（5分）已知向量，，若，則____________.

16.（5分）已知向量，，若，則______.

17.（5分）如圖，在四邊形中，，，，是等邊三角形，則的值為______．

18.（5分）已知向量若在向量上的投影相等，且，則向量的坐標為．

四、解答題（本大題共5小題，共60分）

19.（12分）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知向量，，且，

求角的大??；

求的面積

20.（12分）已知向量，

求向量與的夾角

若，且，求的值.

21.（12分）已知是坐標原點，點在第一象限，，，

求向量的坐標；

若，求的坐標.

22.（12分）已知向量，，，其中．

若，求函數(shù)的最小值及相應的值；

若與的夾角為，且，求的值．

23.（12分）已知，，是同一平面內的三個向量，其中

若，且，求的坐標；

若，且與垂直，求與的夾角

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】

此題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標運算，屬于基礎題．

先計算的坐標，再計算．

解：，

．

故選A．

2.【答案】A;

【解析】解：；

；

；

；

．

故選：．

根據(jù)即可得出，從而得出，這樣即可求出的坐標．

考查平行向量的坐標關系，以及向量坐標的加法運算．

3.【答案】A;

【解析】

這道題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，向量數(shù)量積的應用，判斷向量的垂直，解題時要注意向量的正確表示方法，屬于中檔題．

根據(jù)向量數(shù)量積判斷向量的垂直的方法，可得，分析可得，再根據(jù)正弦定理可得，，由和差公式化簡可得，可得，再根據(jù)三角形內角和定理可得，進而可得答案．

解：根據(jù)題意，，可得，

即，可得：，

，，

解得，

又，

由正弦定理可得，

，

，可得，又，

則，．

故選A．

4.【答案】A;

【解析】解：根據(jù)題意，，，，

又由，即，

則，，則有；

故選：

根據(jù)題意，求出向量的坐標，又由可得，求出、的值，即可得答案．

此題主要考查向量的坐標計算，涉及向量加法、減法的運算，屬于基礎題．

5.【答案】C;

【解析】

該題考查了平面向量的坐標運算與數(shù)量積運算問題，是基礎題目．

根據(jù)平面向量的坐標運算與數(shù)量積運算，列出方程求出的值．

解：，，

當與垂直時，

，

即，

解得．

故選：．

6.【答案】D;

【解析】

這道題主要考查了向量的坐標運算和向量的垂直關系的應用及向量的數(shù)量積的應用．

解：根據(jù)已知

又與垂直，

，

所以，解得．

故選D．

7.【答案】D;

【解析】解：，，

則．

故選：．

根據(jù)平面向量的坐標運算，計算即可．

該題考查了平面向量的坐標運算問題，是基礎題目．

8.【答案】C;

【解析】解：因為，

所以，

則．

故選：．

由已知可求，進而計算向量的模得到答案．

這道題主要考查了向量的坐標運算，求向量的模，已知考查學生的計算能力，屬于基礎題．

9.【答案】AC;

【解析】

此題主要考查平面向量的坐標運算，以及平面向量的數(shù)量積與平面向量的模，屬于基礎題.

利用平面向量的坐標運算，以及平面向量的數(shù)量積，構造方程，解得即可.

解：因為向量，，則，

又因為，

所以，解得或，故正確；

所以或，

所以或，故正確.

故選

10.【答案】BCD;

【解析】【分析】

本題考查平面向量的共線與垂直的充要條件以及向量模的求法，考查平面向量的數(shù)量積，屬于中檔題.

先根據(jù)向量的平行關系，可得或，從而可知錯誤，正確，再根據(jù)性質可判斷、，從而得解.

【解答】

解：對于，設，由，所以，

由，所以，由，解得或，

所以或，

當時，，

當時，，故錯誤；

對于，由得，即，

所以，

可得，所以，故正確；

對于，由得，或，故正確；

對于，

，

當且僅當與共線且同向時取等號，

所以的最小值為，故正確，

故選

11.【答案】AC;

【解析】解：，，，，，

，

，，當且僅當時等號成立，

，當且僅當時等號成立，

故成立，

故選：

根據(jù)向量共線得到，再結合基本不等式即可求解結論．

本題考查了平面向量的坐標表示，也考查了基本不等式的應用，是基礎題目．

12.【答案】CD;

【解析】

此題主要考查向量的數(shù)量積的應用，向量的模以及單位向量等基本知識，是基礎題．

根據(jù)向量的數(shù)量積小于且不共線可判斷；求出向量的模判斷；根據(jù)單位向量的求法判斷；向量模相等列出方程求解判斷

解：當時，，

且不共線，

則與的夾角是鈍角，所以正確；

，當且僅當時取等號，

所以的的最小值為，正確；

設與垂直的單位向量為，

則，解得，

與垂直的單位向量為或，所以不正確；

若，可得：，

解得或，所以不正確；

故選：

13.【答案】BCD;

【解析】解：根據(jù)題意，，，，依次分析選項：

對于，，錯誤；

對于，，，，則，正確；

對于，，則，正確；

對于，，，，則，，則與的夾角為，正確；

故選：

根據(jù)題意，求出向量、、的坐標，依次分析選項

此題主要考查向量的坐標、向量的數(shù)量積以及模的計算，注意向量坐標的定義，屬于基礎題．

14.【答案】;

【解析】

這道題主要考查了向量數(shù)量積的性質的簡單應用，屬于基礎試題．

由已知可求，，然后根據(jù)在方向上的投影為可求．

解：，，

，，

則在方向上的投影為，

故答案為：．

15.【答案】;

【解析】

此題主要考查了向量的數(shù)量積運算和模的計算，以及向量垂直的應用．

首先求出的值，進而求出向量，再利用模的求解公式求解即可.

解：，，，

，解得，

，

，

故答案為

16.【答案】;

【解析】【分析】

本題考查向量的數(shù)量積以及向量的模的求法，是基本知識的考查．

通過向量的垂直求出，然后利用向量的模求解即可．

【解答】

解：向量，，若，

可得：，所以，

則

故答案為

17.【答案】14;

【解析】解：，，，

，

；

又是等邊三角形，

，

，

．

故答案為：．

根據(jù)題意求得以及、的值，利用平面向量的數(shù)量積求得的值．

該題考查了平面向量數(shù)量積的運算問題，是中檔題．

18.【答案】;

【解析】

這道題主要考查平面向量的數(shù)量及運算以及坐標運算．

解：設，由已知有，即，即，

即，由已知，即，聯(lián)立得，

即．

故答案為．

19.【答案】解：向量，，

且，

，

，

；

，

，

，

，

;

【解析】此題主要考查向量知識的運用，考查三角形的面積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

利用向量的數(shù)量積公式，結合輔助角公式，即可求角的大??；

利用向量的數(shù)量積公式、三角形的面積公式，即可求的面積．

20.【答案】解：根據(jù)題意，，，

則，

，，

設向量與的夾角為，則，

又由，可得，即向量與的夾角為，

根據(jù)題意，，，則，

若，則，

又由，則有，

解得;

【解析】

主要是考查了向量的數(shù)量積的坐標運算以及夾角的求法，屬于基礎題.

將已知條件展開代入求出向量的模，根據(jù)數(shù)量積即可求解；

先求的坐標，利用垂直求解即可.

21.【答案】解：（1）根據(jù)題意，設A（x，y），

則x=||cos60°=2，y=||sin60°=6，則A（2，6），

則=（2，6），

（2）若B（，-1），則=（2，6）-（，-1）=（，7）．;

【解析】

根據(jù)題意，設，又由和的值，求出、的值，即可得的坐標，由向量坐標的定義可得答案，

根據(jù)題意，由向量坐標的定義計算可得答案．

此題主要考查向量的坐標計算，涉及向量坐標的定義，屬于基礎題．

22.【答案】解：（1）∵=（cosx，sinx），

=（sinx+2sinα，cosx+2cosα），，

∴f（x）==cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα=．

令t=sinx+cosx（0＜x＜π），則t=，

則2sinxcosx=-1，且-1＜t＜．

則，-1＜t＜．

∴時，，此時．

由于＜x＜π，故．

所以函數(shù)f（x）的最小值為，相應x的值為；

（2）∵與的夾角為，

∴．

∵0＜α＜x＜π，∴0＜x-α＜π，∴．

∵⊥，∴cosα（sinx+2sinα）+sinα（cosx+2cosα）=0．

∴sin（x+α）+2sin2α=0，．

∴，

∴．;

【解析】

根據(jù)向量點乘表示出函數(shù)的解析式后令轉化為二次函數(shù)解題．

根據(jù)向量與的夾角為確定，再由可知向量點乘向量等于整理可得，再將代入即可得到答案．

這道題主要考查平面向量的坐標運算和數(shù)量積運算．向量一般和三角函數(shù)放在一起進行考查，這種題