人教B版數(shù)學(xué)課件3-1-2第1課時函數(shù)的單調(diào)性

第1課時函數(shù)的單調(diào)性第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.理解函數(shù)的單調(diào)性的概念.(邏輯推理)2.會用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷和證明一些簡單函數(shù)的單調(diào)性.(邏輯推理)3.能從給定的函數(shù)圖像上直觀得出函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間.(直觀想象)4.掌握函數(shù)單調(diào)性的一些簡單應(yīng)用.(數(shù)學(xué)抽象)5.理解函數(shù)的平均變化率.(邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)【激趣誘思】德國有一位著名的心理學(xué)家艾賓浩斯,對人類的記憶牢固程度進(jìn)行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試,得到了以下一些數(shù)據(jù):時間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8~9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明,記憶量y是時間間隔t的函數(shù),艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.問題:(1)當(dāng)時間間隔t逐漸增大時,你能看出對應(yīng)的函數(shù)值y有什么變化趨勢?通過這個試驗(yàn),你打算以后如何對待剛學(xué)過的知識?(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的,對此,我們?nèi)绾斡脭?shù)學(xué)觀點(diǎn)進(jìn)行解釋?【知識點(diǎn)撥】

知識點(diǎn)一、函數(shù)單調(diào)性的概念一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且I?D.(1)如果對任意x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增),如圖1所示.(2)如果對任意x1,x2∈I,當(dāng)x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則稱y=f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞減),如圖2所示.圖1

圖2

兩種情況下,都稱函數(shù)在I上具有單調(diào)性(當(dāng)I為區(qū)間時,稱I為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,也可分別稱為單調(diào)遞增區(qū)間或單調(diào)遞減區(qū)間).名師點(diǎn)析

1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì),這個區(qū)間可以是整個定義域,也可以是定義域的一部分,也就是單調(diào)區(qū)間是定義域的某個子集.2.對于單獨(dú)一點(diǎn),由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時,可以包括端點(diǎn),也可以不包括端點(diǎn),但在某些點(diǎn)無意義時,單調(diào)區(qū)間不能包括這些點(diǎn).微練習(xí)(1)已知四個函數(shù)的圖像如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是(

)答案

B(2)如果(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是(

)A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能確定答案

D解析

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知,所取的兩個自變量的值必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能由函數(shù)的單調(diào)性比較其函數(shù)值的大小,故選D.知識點(diǎn)二、函數(shù)的平均變化率一般地,當(dāng)x1≠x2時,稱

為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1](x1>x2時)上的平均變化率.微思考

給定平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),如何確定直線AB的斜率?提示

當(dāng)x1≠x2時,直線AB的斜率為

;當(dāng)x1=x2時,直線AB的斜率不存在.知識點(diǎn)三、判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性的一般步驟:(1)任取x1,x2∈I,且Δx=x2-x1>0;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)變形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定號(即判斷Δy的正負(fù));(5)下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調(diào)性).微練習(xí)求證:函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一用定義法證明(判斷)函數(shù)的單調(diào)性例1利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)=在(-∞,0)內(nèi)是增函數(shù).分析解題的關(guān)鍵是對Δy=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變?yōu)閹讉€最簡單因式乘積或相除的形式,以便于判號.反思感悟

證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟1.取值:設(shè)x1,x2為給定區(qū)間內(nèi)任意的兩個值,且x1<x2(在證明函數(shù)的單調(diào)性時,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表區(qū)間內(nèi)的每一個數(shù),所以在證明時,不能用特殊值來代替它們);2.作差變形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并將差向有利于判斷差值的符號的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個簡單因式的乘積或幾個完全平方式的和的形式,這是值得學(xué)習(xí)的解題技巧,在判斷因式的正負(fù)號時,經(jīng)常采用這種變形方法);3.定號:判斷符號的依據(jù)是自變量的取值范圍、假定的大小關(guān)系及符號的運(yùn)算法則;4.判斷:根據(jù)定義作出結(jié)論(若Δx=x2-x1與Δy=f(x2)-f(x1)同號,則函數(shù)在給定區(qū)間是增函數(shù);異號,則是減函數(shù)).探究二利用圖像求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例2已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖像,并結(jié)合圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.分析首先分類討論,去掉絕對值號,將函數(shù)化為分段函數(shù),然后畫出圖像求解即可.由圖像可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].變式訓(xùn)練

2寫出y=|x2-2x-3|的單調(diào)區(qū)間.所以y=|x2-2x-3|的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1],[1,3];單調(diào)遞增區(qū)間為[-1,1],[3,+∞).探究三函數(shù)單調(diào)性的簡單應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b.(1)若函數(shù)f(x)的圖像過點(diǎn)(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上不單調(diào),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)∵f(x)=x2+ax+b過點(diǎn)(1,4)和(2,5),∴f(x)=x2-2x+5.(2)由f(x)在區(qū)間[1,2]上不單調(diào)可知1<-<2,即-4<a<-2,a的取值范圍為(-4,-2).反思感悟

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”:利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性,反過來,若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.(2)若一個函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的,則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.延伸探究把本例(2)條件“不單調(diào)”改為“單調(diào)”,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

由f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)可知

,即a≤-4或a≥-2.a的取值范圍為(-∞,-4]∪[-2,+∞).

素養(yǎng)形成分類討論思想在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用分析要討論函數(shù)的單調(diào)性,只需要用定義判定,由于函數(shù)中含有參數(shù),因此要注意分類討論思想的應(yīng)用.解

設(shè)x1,x2是(-1,1)內(nèi)的任意兩個自變量,且x1<x2.∴當(dāng)a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此時f(x)在(-1,1)內(nèi)是增函數(shù).綜上所述,當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)a<0時,函數(shù)f(x)在(-1,1)內(nèi)是增函數(shù).方法點(diǎn)睛

1.討論一個含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性與證明一個函數(shù)的單調(diào)性的方法類似,都是利用定義,通過運(yùn)算,判斷f(x1)-f(x2)的正負(fù),從而得出結(jié)論,若所含參數(shù)符號不確定,必須分類討論.2.本題的規(guī)范解答中每一個環(huán)節(jié)都不能省略,既有開頭和結(jié)尾形式上的要求,也有對f(x1)-f(x2)的正負(fù)判定進(jìn)行實(shí)質(zhì)性說明.

當(dāng)堂檢測1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù)的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|答案

C解析

由一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=|x|的圖像與性質(zhì)知,只有選項(xiàng)C中的函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù).故選C.2.下列命題正確的是(

)A.定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)f(x),若存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)B.定義在(a,b)內(nèi)的函數(shù)f(x),若有無數(shù)多對x1,x2∈(a,b),使得當(dāng)x1<x2時有f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內(nèi)為增函數(shù)C.若f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù),在區(qū)間I2上也為增函數(shù),則f(x)在I1∪I2上為增函