中外數(shù)學(xué)競賽樣章

本書是我國著名數(shù)學(xué)家李炯生等人于#年編寫的一本數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料書中輯錄了大量的國內(nèi)外中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題根據(jù)其涉及的數(shù)學(xué)分支分為算術(shù)方程與不等式平面幾何立體幾何分析多項式組合數(shù)學(xué)等類別并把解題所需要的數(shù)學(xué)知識歸納總結(jié)為從#年中國數(shù)學(xué)會普及工作委員會成立到#年第!屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克在北京成功舉辦我國的數(shù)學(xué)競賽活動在普及的基礎(chǔ)之上逐漸提高起來當(dāng)時出版了一大批由我國著名數(shù)學(xué)家親自撰寫的科普讀物如上海教育出版社的中學(xué)生文庫叢書湖南教育出版社的走向數(shù)學(xué)叢書中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社的數(shù)學(xué)奧林匹克輔導(dǎo)叢書和數(shù)學(xué)奧林匹克競賽叢書等在當(dāng)時的經(jīng)濟條件和國際環(huán)境下各種國外資料的收集和整理是一件非常不容易的工作可以說老一輩數(shù)學(xué)家的著作是他們的汗水和心血的結(jié)晶他們的學(xué)識和經(jīng)驗值得我們傳承下去$如今我國的經(jīng)濟快速發(fā)展國際地位不斷得到提升參加國際數(shù)學(xué)競賽所取得的成績也一直名列前茅隨著我國數(shù)學(xué)競賽活動的深入和廣泛開展以普及數(shù)學(xué)知識激發(fā)數(shù)學(xué)興趣促進(jìn)數(shù)學(xué)教改提高數(shù)學(xué)素質(zhì)為宗旨的數(shù)學(xué)競賽活動被外界賦予了許多與數(shù)學(xué)競賽活動無關(guān)的職能在數(shù)學(xué)競賽乃至數(shù)學(xué)被妖魔化的今天再版重印這本書就顯得十分重要李炯生老師現(xiàn)已年近八旬應(yīng)李炯生老師和中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社的邀請我對原書的稿樣進(jìn)行了仔細(xì)的校對$與中國相比世界各地的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽活動都受到廣泛的重視數(shù)學(xué)競賽的水平也都非常高學(xué)生的能力并不比中國學(xué)生差例如在(年第'屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克中韓國隊力壓中國隊取得團體第一名有鑒于此我從最近幾年的世界各地數(shù)學(xué)奧林匹克競賽真題中!精選了一百余道具有各種難度的典型試題配上自己的解答補充進(jìn)書的新版中供讀者借鑒參考盡管題目的形式可能比較新穎難度也可能比較大但解題所需要的數(shù)學(xué)知識仍然離不開基本的數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維方式$本書主要面向從事數(shù)學(xué)競賽活動輔導(dǎo)的中學(xué)教師和參加高水平數(shù)學(xué)競賽的中學(xué)生可作為他們的培訓(xùn)資料或參考書也可供廣大數(shù)學(xué)競賽愛好者使用參考由于水平的限制雖 然希望不辜負(fù)李炯生老師的期望但書的新版中仍難免有錯誤對題目的解答也很可能不是最好的方法衷心希望讀者批評指正并提出建議$'年 自從"年羅馬尼亞首次舉行中學(xué)畢業(yè)生數(shù)學(xué)競賽以來已經(jīng)整整一百年這期間許多國家如匈牙利蘇聯(lián)波蘭保加利亞南斯拉夫捷克斯洛伐克美國中國民主德國加拿大印度典越南古巴荷蘭意大利盧森堡亞等都先后舉行了數(shù)學(xué)競賽"年在羅馬尼亞倡議下首屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克在布加勒斯特舉行以后每年由各國輪流舉辦迄今已進(jìn)行了!屆其規(guī)模不斷擴大由開始幾個國家參加發(fā)展到現(xiàn)在每年有四五十個國家參加近年來還出現(xiàn)許多地區(qū)性數(shù)學(xué)競賽如奧地利波蘭數(shù)學(xué)競賽由希臘羅馬尼亞保加利亞參加的巴爾干地區(qū)數(shù)學(xué)競賽由丹麥冰島挪威芬蘭瑞典共同舉辦的斯堪德那維亞地區(qū)數(shù)學(xué)競賽以及由埃及利比亞突尼斯阿爾及利亞摩洛哥參加的馬格里布地區(qū)數(shù)學(xué)競賽數(shù)學(xué)競賽受到各國如此的重視這是因為數(shù)學(xué)競賽是普及數(shù)學(xué)教育發(fā)現(xiàn)人才和培養(yǎng)人才的一種特殊而有效的形式在以往數(shù)學(xué)競賽的優(yōu)勝者中已經(jīng)涌現(xiàn)許多著名的世界一流數(shù)學(xué)家例如在特別重視數(shù)學(xué)競賽的匈牙利+年的數(shù)學(xué)競賽金牌得主8在級數(shù)的可加性理論方面做出了許多杰出工作'年的金牌得主提出了測度為測度論的發(fā)展做出了杰出貢獻(xiàn))年的金牌得主在泛函分析中提出了凸性定理(年的金牌得主H在逼近論方面的貢獻(xiàn)引人注目他和著名數(shù)學(xué)家合著的分析中的定理和問題已成為經(jīng)典性著作$在我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚的倡導(dǎo)和支持下北京上海天津營口都在%*&年華羅庚親自主持全國八省市數(shù)萬名高中學(xué)生參加的數(shù)學(xué)競賽從!年起全國各省市自治區(qū)高中數(shù)學(xué)競賽每年在#月舉行%年開始舉辦每年一屆的全國初中數(shù)學(xué)競賽*年在高年級小學(xué)生和初中一二年級學(xué)生中又舉辦了華羅庚金杯賽$%年我國首次選派兩名選手參加首戰(zhàn)失利成績欠佳為改變這種局面年起我國每年都舉辦全國高中數(shù)學(xué)冬令營經(jīng)過集中強化訓(xùn)練參加的六名選手的成+" ## 地位這一重大課題已經(jīng)擺在我們面前我國在中能取得優(yōu)異成績$除參賽選手的素質(zhì)和刻苦鉆研外教練員在系統(tǒng)輔導(dǎo)和強化訓(xùn)練方面所做的工作也極其重要在數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)方面我國已經(jīng)做了許多很好的工作積累了豐富經(jīng)驗但是在數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)工作的系統(tǒng)化科學(xué)化規(guī)范化上仍有許多課題值得進(jìn)一步探討例如數(shù)學(xué)競賽究竟涉及哪些數(shù)學(xué)分支,如何掌握每個分支在內(nèi)容上的廣度和深度,等等都是應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究的問題$積極參與活動而且成績一貫優(yōu)異的蘇聯(lián)在這方面做了大量細(xì)致的工作他們的經(jīng)驗很值得借鑒+年蘇聯(lián)科學(xué)出版社推出了謝爾蓋耶娃主編的外國數(shù)學(xué)競賽$&&!!*一書書中把數(shù)學(xué)競賽涉及的數(shù)學(xué)分支歸納為代數(shù)幾何數(shù)論初等微積分"初等概率論組合數(shù)學(xué)和圖論并且把上述各分支經(jīng)常在數(shù)學(xué)競賽中應(yīng)用的最為重要的事實歸納為#個定義和個定理然后應(yīng)用它們來解#年代以來選自#多個國家和地區(qū)國際數(shù)學(xué)奧林匹克的試題以及國際數(shù)學(xué)奧林匹克的各屆評審委員會中#多個成員國提供的備選題共約道題顯示了這個定理的威力謝爾蓋耶娃等人實際上是提出了一種設(shè)想或者說是給出了一個邊界使得數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)工作能夠擺脫那種在數(shù)學(xué)內(nèi)容的廣度上無限制擴展在深度上無限制延伸的局面這在數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)工作中還是首次誠然!個定理是否足夠這個定理是否選得都合宜其中的定理是否都不可替代等等都是可以討論的基于這個原因我們將該書編譯介紹到國內(nèi)以期引起重視促使數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)工作的系統(tǒng)化科學(xué)化規(guī)范化向更高層次發(fā)展$正如原著書名所表明的那樣原著沒有收入蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)競賽試題我國的試題收入的也很少為彌補這方面的欠缺我們增補了適量的蘇聯(lián)和我國的試題希望本書在內(nèi)容上盡可能包含國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中各種類型的題目在方法上能夠窮盡國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中各種典型的解題技巧以適應(yīng)有志于數(shù)學(xué)競賽的中學(xué)生自學(xué)的需要也便于中學(xué)數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)奧林匹克教練作為輔導(dǎo)教材之用讀者倘能悉心鉆研熟練掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識體會解題方法之精妙不論對親自參加數(shù)學(xué)競賽還是對進(jìn)行競賽輔導(dǎo)都是有益的$數(shù)學(xué)競賽活動將在我國繼續(xù)深入地開展下去我們謹(jǐn)把此書奉獻(xiàn)給全國廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師和中學(xué)生愿它能伴隨讀者在數(shù)學(xué)競賽中取得更好的成績$# 前 第!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第"部分題目!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!章算術(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!整除性素數(shù)與合數(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 數(shù)集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%數(shù)的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第(!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 方程與方程組!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!&含整數(shù)部分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第'!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#圓!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!多邊形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! '幾何不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)幾何極值問題!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第)章立體幾何!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%四面體!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第%章分析!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+數(shù)&極

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"函數(shù)的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!#函數(shù)方程!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第*章多項式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!多項式的根!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!((多項式的整除性和相等!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'多項式的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第+章組合數(shù)學(xué)

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%*

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+初等概率論!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第#!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!整除性素數(shù)與合數(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(方程的整數(shù)解和有理數(shù)解!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!'階乘與二項式系數(shù)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)數(shù)集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!%數(shù)的各種性質(zhì)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第( *方程與方程組!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!+不等式!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 平面幾何!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"三角形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 圓!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 多邊形!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!(點線段與直線!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!目錄幾何不等式幾何極值問題第第) 立體幾何 四面體*多面體球面和其他集合!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!第% 分析 數(shù)列 極值 函數(shù)的各種性質(zhì)# 函數(shù)方程第* 多項式! 多項式的根((多項式的整除性和相等 多項式的各種性質(zhì)第+ 組合數(shù)學(xué)()集合與子集% 利用圖的題目* 各種組合問題 初等概率論參考文獻(xiàn)第!部分概念和定理國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽試題涉及許多數(shù)學(xué)分支如代數(shù)幾何數(shù)論初等微積分初等概率論"組合數(shù)學(xué)和圖論等這一部分輯錄了求解各類數(shù)學(xué)競賽試題所必需的取自上述各分支的最重要的概念和定理數(shù)學(xué)名詞以及某些定理的名稱沿用現(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教科書即參考文獻(xiàn)!或引用參考文獻(xiàn)#這一部分包含了個定理大部分都已注明出處從中可查到定理的證明至于比較簡單的定理則不再指明參考文獻(xiàn)當(dāng)然如果能自行給出定理的證明!則不論對有關(guān)數(shù)學(xué)知識的理解與掌握還是對提高求解數(shù)學(xué)競賽題的能力都是有所裨益的關(guān)于集合的概念見參考文獻(xiàn) 定義!的每個元素都屬于集合#!稱為集合的子集記定義"集合和的并集"#是由所有至少屬于集合和中一個集合的元素組成的集合集合"和#的交集"$#是由所有既屬于"又屬于#的元素組成的集合!定義集合和的差集"%是集合的子集它由所有屬于但不屬于的元元素組由一些元素組成如果元素組中的元素相同而只是元素的排列次序不同不認(rèn)為是不同的元素組比如$&$則稱為無序組如果元素組中的元素排列次序不同得到的元素組認(rèn)為是不同的則稱為有序組!定義$集合"和的笛卡兒積"'#是所有有序元素對"#組成的定理狄利克雷原理 如果把&元集合表成它的'個子集的并集則有某個集至少含&個元素'定理數(shù)學(xué)歸納法原理 (%&命題成立如果對某個&&!'命題+成立則命題也成立則命題對每個&&!'都成立"# ,('!J LM+C">/!是兩條對棱C的長&是兩條對棱"+和#C的距離夾角則有第%題 定理棱錐的體積

!其中>%是棱錐底面的面積,!是它的高如果存在一個球它和棱錐的底面以及其他每個側(cè)J&# >! !其中2%是該球的半徑;!是棱錐的表面積定理參考文獻(xiàn)第題(外切于半徑為2!定理//和定理/"的公式對所有四面體均成立關(guān)于在平面上的射影也稱投影的概念見參考文獻(xiàn)#凡提到在平面上的應(yīng)用定理有如下結(jié)論定理*)設(shè)平面!和$相交其二面角為在平面!上取面積為>的圖形$!#!定理)!設(shè)!是空間中的非零向量H是任意一個點則對每個'&"!!=&'定理參考文獻(xiàn)第"題("#+C中連接三對對棱的中點得到三條線段它們交于一點--是這三條線段的每一條線段的中點并且對任意第"部分 第!章 見第#部分定義定理 英國設(shè)+(是整數(shù)#+(是它們的一個排列證明##,$$,+,( 美國紐約設(shè)+&是任意整數(shù)試問&99'&9%9' 捷克英國在無限的三角形&#'%) 中國安徽省證明在任意五個整數(shù)中必有三個數(shù)它們的和能被!整除 捷克對任意素數(shù)的分子.被6整除

&&!' 6,), 個重要定理和競賽題精 /!即方程無解總之原方程有三個解!$!&!$.&$$&!即(設(shè)$由數(shù)的定義有$$$明當(dāng)$/$時不等式$!$1!不滿足設(shè)$.則$$$$矛盾剩下只需研究$由#到由%到#及由#到$的情況&1 #中即在此區(qū)間中方程無解設(shè)$此時方程成為$!&!!由此$!但這個數(shù)大于1 &中也無解最后當(dāng)# $時有方程成為 !它1

&這樣!

! !$9端等 ''9''!!*1'.&&.!#&.1&.O&*第!部分 另一方面因此7對任意$&"都不成立.&&!.$!$$!即.$!&.$!$!&&+.&!當(dāng).&&時因為$1&!所以*+&&-&&.&&&& &#$&$ &&&!&1其次設(shè)對某個&&!則存在.&!使得

即 ##$$除但不被)整除不可能于是對任意&&!都有&&$&**#$,$, 中外數(shù)學(xué)競賽頂點的概率則質(zhì)點從出發(fā)最后停在的概率為用1表示質(zhì)點從出發(fā)最后停在的概率則質(zhì)點從#出發(fā)最后停在的概率為#由對稱性得到質(zhì)點從C