2024屆高三數(shù)學一輪復(fù)習-三角函數(shù)與解三角形第9練 解三角形的應(yīng)用含答案

2024屆高三數(shù)學一輪復(fù)習--三角函數(shù)與解三角形第9練解三角形的應(yīng)用一、單選題1．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）在中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點D，且，則周長的最小值為（

）A．7 B． C． D．43．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預(yù)測）如圖甲（左），圣索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美.為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為40，如圖乙（右），在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂?教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則估算索菲亞教堂的高度約為（

）A．50 B．55 C．60 D．704．（2023·全國·高一專題練習）在中，角的對邊分別為，已知三個向量，共線，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個角是的直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2023·全國·高一專題練習）在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023春·全國·高一專題練習）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”），當太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：）（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇·高一專題練習）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形8．（2023春·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）已知是雙曲線的左、右焦點，且到的一條漸近線的距離為，為坐標原點，點，為右支上的一點，則（

）A． B．過點M且斜率為1的直線與C有兩個不同的交點C． D．當四點共圓時，10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？级＃┰谥校瑑?nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則邊上的中線長為B．若，，，則有兩個解C．若不是直角三角形，則一定有D．若是銳角三角形，則一定有11．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．12．（2023秋·湖北黃岡·高三浠水縣第一中學?？茧A段練習）已知三個內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，且，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．面積的最大值為B．C．的最大值為D．的取值范圍為13．（2023·山東濰坊·昌樂二中校考模擬預(yù)測）在中，所對的邊為，，邊上的高為，則下列說法中正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為14．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┲?，角所對的邊分別為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是三、填空題15．（2023春·全國·高一專題練習）已知D是的邊BC上一點，且，，，則的最大值為．16．（2023春·上海寶山·高一?？计谥校竦毓珗@是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則千米．17．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學?？茧A段練習）已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為.18．（2023·四川自貢·統(tǒng)考二模）中，角、、所對的邊分別為、、.若，且，則周長的最大值為.四、解答題19．（2023春·高一單元測試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．20．（2023·陜西咸陽·校考模擬預(yù)測）已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.第9練解三角形的應(yīng)用一、單選題1．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圖1是南北方向、水平放置的圭表（一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成）示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻（太陽直射點的緯度為南緯）在某地利用一表高為的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為，則該地的緯度約為北緯（

）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．2．（2023·全國·高一專題練習）在中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點D，且，則周長的最小值為（

）A．7 B． C． D．43．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預(yù)測）如圖甲（左），圣索菲亞教堂是哈爾濱的標志性建筑，其中央主體建筑集球?圓柱?棱柱于一體，極具對稱之美.為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為40，如圖乙（右），在它們之間的地面上的點（三點共線）處測得樓頂?教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則估算索菲亞教堂的高度約為（

）A．50 B．55 C．60 D．704．（2023·全國·高一專題練習）在中，角的對邊分別為，已知三個向量，共線，則的形狀為（

）A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．有一個角是的直角三角形 D．等腰直角三角形5．（2023·全國·高一專題練習）在銳角中，、、分別是的內(nèi)角、、所對的邊，點是的重心，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023春·全國·高一專題練習）圭表（如圖甲）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”），當太陽在正午時刻照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖乙是一個根據(jù)某地的地理位置設(shè)計的主表的示意圖，已知某地冬至正午時太陽高度角（即∠ABC）大約為15°，夏至正午時太陽高度角（即∠ADC）大約為60°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（注：）（

）A． B． C． D．7．（2023·江蘇·高一專題練習）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形8．（2023春·河北石家莊·高一統(tǒng)考期末）在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）已知是雙曲線的左、右焦點，且到的一條漸近線的距離為，為坐標原點，點，為右支上的一點，則（

）A． B．過點M且斜率為1的直線與C有兩個不同的交點C． D．當四點共圓時，10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？级＃┰谥?，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則邊上的中線長為B．若，，，則有兩個解C．若不是直角三角形，則一定有D．若是銳角三角形，則一定有11．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．12．（2023秋·湖北黃岡·高三浠水縣第一中學?？茧A段練習）已知三個內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，且，.則下列結(jié)論正確的是（

）A．面積的最大值為B．C．的最大值為D．的取值范圍為13．（2023·山東濰坊·昌樂二中校考模擬預(yù)測）在中，所對的邊為，，邊上的高為，則下列說法中正確的是（

）A． B． C．的最小值為 D．的最大值為14．（2023·廣東茂名·茂名市第一中學?？既＃┲校撬鶎Φ倪叿謩e為.以下結(jié)論中正確的有（

）A．若，則必有兩解B．若，則一定為等腰三角形C．若，則一定為直角三角形D．若，且該三角形有兩解，則的范圍是三、填空題15．（2023春·全國·高一專題練習）已知D是的邊BC上一點，且，，，則的最大值為．16．（2023春·上海寶山·高一校考期中）濕地公園是國家濕地保護體系的重要組成部分，某市計劃在如圖所示的四邊形區(qū)域建一處濕地公園．已知，，，，千米，則千米．17．（2023春·河北保定·高一河北省唐縣第一中學校考階段練習）已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為.18．（2023·四川自貢·統(tǒng)考二模）中，角、、所對的邊分別為、、.若，且，則周長的最大值為.四、解答題19．（2023春·高一單元測試）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC為銳角三角形，求的取值范圍．20．（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）已知銳角中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若.(1)求；(2)若，求周長的取值范圍.參考答案：1．B【分析】由題意有，可得，從而可得【詳解】由圖1可得，又，所以，所以，所以，該地的緯度約為北緯，故選：．2．C【分析】先利用面積相等與三角形面積公式，結(jié)合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到的關(guān)系式，從而利用基本不等式求得，由此得解.【詳解】由題可得，，即，又，所以，則，因為，所以，則，所以，即，又因為，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，當且僅當時，等號成立，則，故周長的最小值為.故選：C..3．C【分析】在，由邊角關(guān)系得出，再由正弦定理計算出中的，最后根據(jù)直角三角形算出即可.【詳解】由題意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，故選：C4．A【分析】由向量共線的坐標運算可得，利用正弦定理化邊為角，再展開二倍角公式整理可得，結(jié)合角的范圍求得，同理可得，則答案可求．【詳解】向量，共線，，由正弦定理得：，，則，，，，即．同理可得．形狀為等邊三角形．故選：A．5．C【分析】連接并延長交于點，由重心的性質(zhì)可得出，利用平面向量的線性運算可得出，利用平面向量的數(shù)量積以及余弦定理可得出，推導出，再結(jié)合銳角三角形這一條件以及余弦定理求出的取值范圍，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求得的取值范圍.【詳解】連接并延長交于點，則為的中點，因為，則，由重心的性質(zhì)可得，則，因為，所以，，所以，，所以，，所以，，則為銳角，由余弦定理可得，所以，，因為為銳角三角形，則，即，即，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，任取、且，則.當時，，，則，當時，，，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以，，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：在涉及到三角形中的中線問題，一般利用向量法來處理，結(jié)合三角形中的余弦定理來求解，本題中要求解的是角的余弦值的取值范圍，要充分利用已知條件將角的余弦值表示為以某個變量為自變量的函數(shù)，結(jié)合銳角三角形這一條件求出變量的取值范圍，再利用相關(guān)函數(shù)的單調(diào)性求解.6．D【分析】由銳角三角函數(shù)的定義與同角三角函數(shù)的關(guān)系求解，【詳解】設(shè)表高為，則，，而，得，，故，得，故選：D7．A【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A8．A【分析】由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換及三角形內(nèi)角性質(zhì)可得，進而有，再把化為并確定的范圍，應(yīng)用余弦函數(shù)性質(zhì)求范圍即可.【詳解】由，則，所以，則，所以或（舍），故，綜上，，且所以，，由銳角△，則，可得，則，所以，故.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：將條件由邊化角求角的關(guān)系，即，再把目標式，由邊化角得求范圍.9．ACD【分析】選項A利用雙曲線的定義及性質(zhì)判斷即可，選項B利用直線與雙曲線方程聯(lián)立判斷即可，選項C利用雙曲線的定義及中線長的公式即可解決，選項D利用圓與雙曲線的關(guān)系及性質(zhì)即可.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，一條漸近線為：因為到的一條漸近線的距離為，即，所以，又，所以，故A正確，對于B，雙曲線的漸近線的斜率為1，所以過點M且斜率為1的直線為，聯(lián)立，消去得：，只有一個交點，故B錯誤，對于C，由雙曲線的定義知，，所以，因為為的中點，為右支上的一點，所以，所以，在中，由余弦定理得：，則有即，故C正確；對于D，當四點共圓時，所在的圓方程為，聯(lián)立得，因為，所以，當點的坐標為時，，又，所以，當點的坐標為時，，又，所以，故D正確，故選：ACD.10．CD【分析】利用向量化即可判斷A；利用正弦定理解三角形即可判斷B；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和的正弦定理即可判斷C；由，，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可比較，進而可判斷D.【詳解】對于A，由為的中點得：，所以邊上的中線長為，故A錯誤；對于B，，，，因為，所以，所以或，又因為，所以，且只有一個解，所以只有一個解，故B錯誤；對于C，因為，所以，又因為，所以，所以，故C正確；對于D，因為是銳角三角形，所以，又，所以，所以，所以，同理，所以，故D正確.故選：CD.11．BCD【分析】由，得到或，推出，判斷AB；由得到C正確；由三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合導數(shù)得到D正確.【詳解】因為中，，所以或，當時，，由于無意義，A錯誤；當時，，此時，故，B正確；因為，所以，由大角對大邊，得，C正確；因為，所以，即，令，，則，所以單調(diào)遞減，又，，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.12．ACD【分析】利用基本不等式、余弦定理可求得的最大值，結(jié)合三角形的面積公式可判斷A選項；利用余弦定理可判斷B選項；利用正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、三角恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷C選項；利用三角恒等變換可得出，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為，，由余弦定理和基本不等式可得，即，當且僅當時，等號成立，故，所以，的面積的最大值為，A對；對于B選項，，B錯；對于C選項，由正弦定理可得，則，因為，則，所以，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故的最大值為，C對；對于D選項，因為，則，由題意可知，，所以，，，當時，，則；當時，，則.綜上所述，的取值范圍為，D對.故選：ACD.13．ABD【分析】設(shè)邊上的高為，利用面積橋可知A正確；利用余弦定理和可整理得到，則，知B正確；將轉(zhuǎn)化為，利用三角恒等變換知識化簡整理得，由正弦函數(shù)值域可知CD正誤.【詳解】設(shè)邊上的高為，則，，，即，A正確；由余弦定理得：，又，，，B正確；，，，，；，，，，C錯誤，D正確.故選：ABD.14．AC【分析】根據(jù)正弦定理可判斷選項A；已知條件得出角的關(guān)系，可判斷選項B；化邊為角可判斷選項C；根據(jù)正弦定理可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，若，則，又，所以必有兩解，故A正確；對于B，若，則或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；對于C，由正弦定理得：，即，而，故，所以一定為直角三角形，故C正確；對于D，若，且該三角形有兩解，所以，即，也即，故D錯誤.綜上所述，只有AC正確，故選：AC.15．/【分析】設(shè)，，，則，，再在和中分別列出余弦定理，根據(jù)聯(lián)立可得，再結(jié)合，得到，進而消去，結(jié)合基本不等式求解最大值即可【詳解】設(shè)，，，則，．在中，；在中，．因為，所以，所以，整理①．因為，所以．在中，，即，結(jié)合①可得，所以，即，當且僅當時，等號成立．故答案為：16．【分析】在中由正弦定理可得，在中由余弦定理可得.【詳解】在