2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題8平面向量共線定理的靈活運(yùn)用含解析

Page1微專題8平面向量共線定理的靈活運(yùn)用與平面向量共線有關(guān)的求值問(wèn)題與最值問(wèn)題是平面向量中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，常以中檔小題、壓軸小題出現(xiàn)，解決此類問(wèn)題需要將題中的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為未知元之間的數(shù)量關(guān)系，再求出目標(biāo)，本專題主要研究平面向量線性表示背景下的求值問(wèn)題與最值問(wèn)題，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)平面向量共線定理的靈活運(yùn)用.例題：如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，求m＋n的值．變式1如圖，經(jīng)過(guò)△ABO的重心G的直線與OA，OB交于點(diǎn)P，Q，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為_(kāi)_______________．變式2已知點(diǎn)O是△ABC的外心，AB＝AC＝2，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，且x＋2y＝1，則△ABC的面積等于________________．串講1若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求△ABM與△ABC的面積之比；(2)若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)O，設(shè)eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，求x，y的值．串講2如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝1，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，則x＋y的最小值為_(kāi)_______．(2018·四省名校聯(lián)考改編)如圖，在△ABC中，已知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，P為AD上一點(diǎn)，且滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝meq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(CB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______________．如圖，在△OMN中，A，B分別是OM，ON的中點(diǎn)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)(含邊界)，求eq\f(y＋1,x＋y＋2)的取值范圍．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).解析：分三種情況討論：①當(dāng)P在線段AB上時(shí)，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋λ\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，2分由于eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，(x，y∈R)，∴x＝eq\f(λ,1＋λ)，y＝eq\f(1,1＋λ).3分故x＋y＝1；此時(shí)y∈[0，1]，所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)＝eq\f(y＋1,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))).4分②當(dāng)P在線段MN上時(shí)，設(shè)eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OM,\s\up6(→))＋λ\o(ON,\s\up6(→)),1＋λ).6分因?yàn)閑q\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(ON,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以eq\f(1,2)x＝eq\f(λ,1＋λ)，eq\f(1,2)y＝eq\f(1,1＋λ)，8分故x＋y＝2；此時(shí)y∈[0，2]，所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)＝eq\f(y＋1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).10分③當(dāng)P在四邊形ABNM內(nèi)(含邊界)，則x≥0，y≥0.eq\f(y＋1,x＋y＋2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).13分所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).14分微專題8例題答案：2.解析：eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，將eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))代入可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，設(shè)eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→))，由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＝1－λ，,\f(n,2)＝λ，))故eq\f(m＋n,2)＝1，所以m＋n的值為2.變式聯(lián)想變式1答案：3.解析：連接OG并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)C，因?yàn)镚是△ABC的重心，即OC是△ABC的中線，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))①，因?yàn)閑q\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,m)eq\o(OP,\s\up6(→))②，同理可得eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,n)eq\o(OQ,\s\up6(→))③，將②③代入①可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2m)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2n)eq\o(OQ,\s\up6(→))，即eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)\o(OP,\s\up6(→))＋\f(1,2n)\o(OQ,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3m)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3n)eq\o(OQ,\s\up6(→)).設(shè)eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，則有eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))，根據(jù)平面向量基本定理，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3m)＝1－λ，,\f(1,3n)＝λ，))eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3m)＝1eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3，故eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為3.變式2答案：eq\r(3).解析：如圖設(shè)D為AC中點(diǎn)，因?yàn)閑q\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))故eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AD,\s\up6(→))，因?yàn)閤＋2y＝1，所以B，O，D三點(diǎn)共線，即BD是△ABC的中線和高，又AB＝AC，故△ABC是等邊三角形，從而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin60°＝eq\r(3).說(shuō)明：平面向量線性表示背景下的求值問(wèn)題與最值問(wèn)題涉及平面向量的線性表示、平面向量基本定理、向量共線等知識(shí)點(diǎn)，解決此類問(wèn)題通常需要將題中的向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為未知元之間的數(shù)量關(guān)系，再求出目標(biāo)．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平面向量基本定理．串講激活串講1答案：(1)1∶4；(2)x＝eq\f(4,7)，y＝eq\f(6,7).解析：(1)如圖由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))可知，M，B，C三點(diǎn)共線，如圖，令eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即面積之比為1∶4.(2)由eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))得，eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，由(1)可知eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，由O，M，A三點(diǎn)共線及O，N，C三點(diǎn)共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))串講2答案：eq\f(5,4).解析：如圖，連接MN交AC于P，設(shè)eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\o(AP,\s\up6(→))＝t(λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→)))，所以x＝tλ，y＝tμ，x＋y＝t(λ＋μ)，故問(wèn)題等價(jià)于求t的最小值，即求AP的最大值，