2023屆高考數學二輪復習微專題8平面向量共線定理的靈活運用含解析

Page1微專題8平面向量共線定理的靈活運用與平面向量共線有關的求值問題與最值問題是平面向量中的熱點與難點，常以中檔小題、壓軸小題出現，解決此類問題需要將題中的向量關系轉化為未知元之間的數量關系，再求出目標，本專題主要研究平面向量線性表示背景下的求值問題與最值問題，并在解決問題的過程中體會平面向量共線定理的靈活運用.例題：如圖，在△ABC中，點O是BC的中點，過O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，求m＋n的值．變式1如圖，經過△ABO的重心G的直線與OA，OB交于點P，Q，設eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝neq\o(OB,\s\up6(→))，m，n∈R，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為________________．變式2已知點O是△ABC的外心，AB＝AC＝2，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，且x＋2y＝1，則△ABC的面積等于________________．串講1若點M是△ABC所在平面內一點，且滿足：eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)求△ABM與△ABC的面積之比；(2)若N為AB中點，AM與CN交于點O，設eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，求x，y的值．串講2如圖，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分別為線段BC，CD上的點，且滿足eq\f(1,CM2)＋eq\f(1,CN2)＝1，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝xeq\o(AM,\s\up6(→))＋yeq\o(AN,\s\up6(→))，則x＋y的最小值為________．(2018·四省名校聯考改編)如圖，在△ABC中，已知eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))，P為AD上一點，且滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝meq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(CB,\s\up6(→))，則實數m的值為________________．如圖，在△OMN中，A，B分別是OM，ON的中點，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，且點P落在四邊形ABNM內(含邊界)，求eq\f(y＋1,x＋y＋2)的取值范圍．答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).解析：分三種情況討論：①當P在線段AB上時，設eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PA,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))＋λ\o(OA,\s\up6(→)),1＋λ)，2分由于eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，(x，y∈R)，∴x＝eq\f(λ,1＋λ)，y＝eq\f(1,1＋λ).3分故x＋y＝1；此時y∈[0，1]，所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)＝eq\f(y＋1,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))).4分②當P在線段MN上時，設eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PN,\s\up6(→))，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(\o(OM,\s\up6(→))＋λ\o(ON,\s\up6(→)),1＋λ).6分因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)xeq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)yeq\o(ON,\s\up6(→))(x，y∈R)，所以eq\f(1,2)x＝eq\f(λ,1＋λ)，eq\f(1,2)y＝eq\f(1,1＋λ)，8分故x＋y＝2；此時y∈[0，2]，所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)＝eq\f(y＋1,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).10分③當P在四邊形ABNM內(含邊界)，則x≥0，y≥0.eq\f(y＋1,x＋y＋2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).13分所以eq\f(y＋1,x＋y＋2)的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3,4))).14分微專題8例題答案：2.解析：eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，將eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))代入可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，設eq\o(MO,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，可得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AM,\s\up6(→))＋λeq\o(AN,\s\up6(→))，由平面向量基本定理可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)＝1－λ，,\f(n,2)＝λ，))故eq\f(m＋n,2)＝1，所以m＋n的值為2.變式聯想變式1答案：3.解析：連接OG并延長，交AB于點C，因為G是△ABC的重心，即OC是△ABC的中線，所以eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))①，因為eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,m)eq\o(OP,\s\up6(→))②，同理可得eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,n)eq\o(OQ,\s\up6(→))③，將②③代入①可得eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2m)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,2n)eq\o(OQ,\s\up6(→))，即eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2m)\o(OP,\s\up6(→))＋\f(1,2n)\o(OQ,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3m)eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3n)eq\o(OQ,\s\up6(→)).設eq\o(PG,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，則有eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PG,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋λ(eq\o(OQ,\s\up6(→))－eq\o(OP,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(OP,\s\up6(→))＋λeq\o(OQ,\s\up6(→))，根據平面向量基本定理，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,3m)＝1－λ，,\f(1,3n)＝λ，))eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3m)＝1eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝3，故eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的值為3.變式2答案：eq\r(3).解析：如圖設D為AC中點，因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2y·eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))故eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AD,\s\up6(→))，因為x＋2y＝1，所以B，O，D三點共線，即BD是△ABC的中線和高，又AB＝AC，故△ABC是等邊三角形，從而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sin60°＝eq\r(3).說明：平面向量線性表示背景下的求值問題與最值問題涉及平面向量的線性表示、平面向量基本定理、向量共線等知識點，解決此類問題通常需要將題中的向量關系轉化為未知元之間的數量關系，再求出目標．解決問題的關鍵是靈活運用平面向量基本定理．串講激活串講1答案：(1)1∶4；(2)x＝eq\f(4,7)，y＝eq\f(6,7).解析：(1)如圖由eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))可知，M，B，C三點共線，如圖，令eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))λ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(S△ABM,S△ABC)＝eq\f(1,4)，即面積之比為1∶4.(2)由eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))得，eq\o(BO,\s\up6(→))＝xeq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\f(y,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，由(1)可知eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(x,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＋yeq\o(BN,\s\up6(→))，由O，M，A三點共線及O，N，C三點共線得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)＝1，,\f(x,4)＋y＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,7)，,y＝\f(6,7).))串講2答案：eq\f(5,4).解析：如圖，連接MN交AC于P，設eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\o(AP,\s\up6(→))＝t(λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(AN,\s\up6(→)))，所以x＝tλ，y＝tμ，x＋y＝t(λ＋μ)，故問題等價于求t的最小值，即求AP的最大值，