2023屆高考數(shù)學二輪復習大題專講專練第15講參數(shù)方程解決最值和范圍問題含解析

第15講參數(shù)方程解決最值和范圍問題參數(shù)方程的核心在于引入?yún)?shù)作為中間變量來統(tǒng)一坐標,把雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,結(jié)合三角函數(shù)來求解距離最值問題和范圍問題.解題時需要設(shè)出曲線上的點,的參數(shù)坐標,再代人距離公式計算即可.坐標最值【例1】已知圓的極坐標方程為。.(1)將極坐標方程化為直角坐標方程.(2)若點在該圓上,求1的最大值和最小值.【解析】(1)已知圓的極坐標方程為,整理得,即,圓的直角坐標方程為.(2)由(1)題知,圓的直角坐標方程為,圓的參數(shù)方程為（其中為參數(shù),),點的坐標為在該圓上,的坐標為,【例2】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是(其中為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸,且取相同的單位長度建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線和曲線的直角坐標方程.(2)設(shè)為曲線上的任意一點,求的取值范圍.【解析】(1)已知直線的參數(shù)方程是(其中為參數(shù)),消去參數(shù)可得直線的直角坐標方程:.由得,整理得,故由線的直角坐標方程為.(2)根據(jù)(1)題得曲線的直角坐標方程:.令,則,.的取值范圍是.點到點的距離【例1】在直角坐標系中,曲線的直角坐標方程為,在以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的直角坐標方程.(2)點為曲線上一動點,點為曲線上一動點,試求的最小值.【解析】(1)將代入曲線的極坐標方程,整理得曲線的直角坐標方程為.(2)根據(jù)已知,設(shè)點坐標為,,曲線是一個圓,其圓心為,.【例2】在極坐標系中,點的坐標為的坐標為,曲線的極坐標方程:.以極點為坐標原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系.(1)在直角坐標系中,求點的直角坐標及曲線的參數(shù)方程.(2)設(shè)點為曲線上的動點,求的取值范圍.【解析】(1)已知,【解析】得.,,即.曲線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)).(2)不妨設(shè)點的坐標為,,點線距離問題【例1】在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為.(1)求曲線和直線的直角坐標方程.(2)設(shè)點為曲線上的動點,求點到直線的距離的最小值.【解析】(1)曲線的直角坐標方程為,將代入直線的極坐標方程,得的直角坐標方程為.(2)設(shè)點,的坐標為,則點.到直線的距離,當時,距離最小,最小值.【例2】在極坐標系中,直線4,圓.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.(1)求直線的直角坐標方程和圓的參數(shù)方程.(2)已知點在圓上,點到和軸的距離分別為,求的最大值.【解析】(1)的極坐標方程為4,整理得.直線的直角坐標方程為.圓的極坐標方程為,整理得,圓的直角坐標方程為.由得圓的參數(shù)方程為（其中為參數(shù),且.(2)設(shè)點的坐標為,則.當時,取得最大值7.【例3】已知曲線,直線:(其中為參數(shù)).(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程.(2)過曲線上任意一點作與夾角為的直線,交于點,求的最大值與最小值.【解析】(1)曲線的參數(shù)方程為 直線的直角坐標方程為.(2)曲線上任意一點到的距離,則.其中為銳角,且.當時,取到最大值，最大值為.當時,取到最小值,最小值為.【例4】在平面直角坐標系中,橢圓的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線的極坐標方程為(1)求經(jīng)過橢圓右焦點且與直線垂直的直線的極坐標方程.(2)若點為橢圓上任意一點,當點到直線的距離最小時,求點的直角坐標.【解析】(1)已知橢圓的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）,消去參數(shù),整理得,橢圓的標準方程為.橢圓的右焦點為