2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)講專(zhuān)練第16講解析幾何解題總思路與第17講求軌跡方程的五種方法含解析

第16講解析幾何解題總思路作為解析析幾何的開(kāi)篇,本章會(huì)對(duì)解析幾何的總體解題思路做一個(gè)概述,這一節(jié)內(nèi)容綜合性很強(qiáng),讀者第一次沒(méi)看懂也沒(méi)關(guān)系,學(xué)習(xí)是一個(gè)反復(fù)的過(guò)程,“書(shū)讀百遍,其義自見(jiàn)”.首先讀者需要明白的第一個(gè)問(wèn)題就是:什么是解析幾何?顧名思義,解析幾何就是利用解析式(方程)來(lái)解決幾何問(wèn)題,幾何問(wèn)題包括位置關(guān)系、線(xiàn)段長(zhǎng)度、面積、角度等基礎(chǔ)問(wèn)題,還包括最值、范圍、定點(diǎn)、定值等問(wèn)題、根據(jù)解析幾何定義,我們可以看到,解析式只是作為一個(gè)工具,而真正的核心還是幾何,在解決這些幾何問(wèn)題時(shí),我們的核心思路是:幾何和解析式之間的相互轉(zhuǎn)換.一方面需要把給出的幾何條件翻譯成解析式,例如,,或者要把給出的解析式還原成幾何條件,例如:是平行四邊形.另一方面需要把待解決的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解析式,例如:證明點(diǎn)在以為直徑的圖內(nèi),要轉(zhuǎn)換為證明.在解決解析幾何問(wèn)題時(shí),我們的核心思路是：第一步:引參.引人參數(shù)設(shè)直線(xiàn)方程,分三種情況:(1)若題設(shè)條件中已知點(diǎn),,則引人斜率參數(shù),設(shè)點(diǎn)斜式直線(xiàn)式方程:;(2)若題設(shè)條件中已知斜率,點(diǎn)不固定,則引入截距參數(shù),設(shè)斜截式直線(xiàn)方程:;(3)若題設(shè)中只說(shuō)是動(dòng)直線(xiàn),則引人參數(shù)和,設(shè)斜截式直線(xiàn)方程:第二步:聯(lián)立方程.把所設(shè)直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程聯(lián)立,消去一個(gè)元,得到一個(gè)一元二次方程.第三步:求解判別式.計(jì)算一元二次方程的根的判別式.第四步:寫(xiě)出根之間的關(guān)系.設(shè)交點(diǎn)為,得到根與系數(shù)的關(guān)系:.第五步:湊韋達(dá),整體代換.根據(jù)題設(shè)條件和求解的問(wèn)題,去湊出韋達(dá)定理,進(jìn)而可以整體代換,這個(gè)過(guò)程把第一步引入的參數(shù)實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)移.第六步:消參.把第一步設(shè)出來(lái)的參數(shù)最終消掉(最值范圍問(wèn)題可以不用消完),消參的方式有等式帶人消參、因式相減消參、分式相除消參、因式無(wú)關(guān)消參等方式,具體方法在第7章的和中進(jìn)行講解.注意:以上是解題的大體思路,大家可以不按這個(gè)順序,核心就是三步:(1)引參.(2)湊韋達(dá).(3)消參.以上就是我們解析幾何的一個(gè)大體解題思路,其中最核心的就是“設(shè)而不求,整體代換”,也就是去湊韋達(dá)定理,韋達(dá)定理是用二次方程的系數(shù)運(yùn)算來(lái)表示兩個(gè)根的和、積與系數(shù)的關(guān)系(后面簡(jiǎn)稱(chēng)“根與系數(shù)的關(guān)系”),其在解析幾何中得到廣泛使用的原因主要有兩個(gè):一是聯(lián)立方程,消元后的二次方程通常含有參數(shù),進(jìn)而導(dǎo)致直接利用求根公式計(jì)算出來(lái)的實(shí)根形式非常復(fù)雜,難以參與后面的運(yùn)算;二是解析幾何的一些問(wèn)題或是步驟經(jīng)常與兩個(gè)根的和與差產(chǎn)生聯(lián)系進(jìn)而在思路上就想利用韋達(dá)定理,繞開(kāi)繁雜的求根結(jié)果,通過(guò)整體代人的方式得到答案.這里需要說(shuō)明的是,所謂湊韋達(dá)不僅指湊出根的和、積,湊出根的差、商也是可以的,如,,也就是說(shuō)得到兩根的加、減、乘、除關(guān)系都可以算是湊韋達(dá),從而實(shí)現(xiàn)整體代換.下面的例子就是湊出根的商的形式,我們通過(guò)下面這個(gè)例子來(lái)講解解析幾何問(wèn)題求解的一般思路.【例】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且在所有過(guò)焦點(diǎn)的弦中,弦長(zhǎng)的最小值為.(1)求橢圓方程.(2)若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與粗圓交于不同的兩點(diǎn)(點(diǎn)在之間),求三角形與三角形的面積比值的范圍.【解析】(1)..由橢圓性質(zhì)可得,焦點(diǎn)弦的最小值為..的方程為.(2)設(shè)直線(xiàn),點(diǎn),(直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),所以引入斜率參數(shù))..(湊韋達(dá),這里是兩根相除的形式).聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程:(得判別式)(整體代換,實(shí)現(xiàn)參數(shù)轉(zhuǎn)移).設(shè),所解不等式為雖然湊韋達(dá)是整個(gè)解析幾何的核心,但也并不是所有解析幾何的問(wèn)題都需要湊出韋達(dá)來(lái)求解.例如,直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),或者直線(xiàn)過(guò)曲線(xiàn)上的定點(diǎn)都是可以直接求出坐標(biāo)點(diǎn)的,或者所求的問(wèn)題與兩根的和、積無(wú)關(guān),這時(shí)候韋達(dá)定理豪無(wú)用武之地.第17講求軌跡方程的五種方法求軌跡方程是解析幾何最基本的問(wèn)題,通常放在第一問(wèn),相對(duì)比較簡(jiǎn)單,如果放在第二問(wèn)來(lái)考查,則通常用參數(shù)法.對(duì)于求軌跡方程,我們要明確的是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.其最終目的是求出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的無(wú)參等式,即或者極坐標(biāo)下.我們常用的有五種方法:待定系數(shù)法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、直接法、參數(shù)法,其一般解題步驟如下.(1)建系:建立直角坐標(biāo)系.(2)設(shè)點(diǎn):將所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為,同時(shí)將其他相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)化(末知的暫用參數(shù)表示).(3)列式:從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系,列出方程.(4)化簡(jiǎn):將方程進(jìn)行變形化簡(jiǎn),并求出的范圍.方法一:待定系數(shù)法題設(shè)條件:題目中明確給出所求曲線(xiàn)方程的形式.思路:只需設(shè)含有參數(shù)的曲線(xiàn)方程,根據(jù)條件,列出關(guān)于參數(shù)的方程組,解出參數(shù),即可得到曲線(xiàn)方程及其待求參數(shù).(1)直線(xiàn):.(2)圓:或者.(3)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:(或,由焦點(diǎn)所在的軸決定，橢圓方程通式:.(4)雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程:,或,由焦點(diǎn)所在的軸決定.雙曲線(xiàn)方程通式:.(5)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程:.拋物線(xiàn)方程通式:.【例1】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),且被直線(xiàn)截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為.求圓的方程.【解析】設(shè)圓的方程為.點(diǎn)在圓上,將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得.又由已知,聯(lián)立得.解得.由韋達(dá)定理知:.由已知有,即,即,整理得.則或者.所求圓的方程為:或.【例2】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)和點(diǎn)為橢圓上兩點(diǎn),求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】根據(jù)題意,設(shè)橢圓的方程為,點(diǎn)和點(diǎn)為梢圓上兩點(diǎn),將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程聯(lián)立得【解析】得.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【例3】已知橢圓的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為和,在橢圓上有一點(diǎn)滿(mǎn)足,且的面積為2,求橢圓的方程.【解析】由橢圓的定義得,.,解得.橢圓的方程為.【例4】橢圓的上頂點(diǎn)為是上的一點(diǎn),以為直徑的圓經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn),求橢圓的方程.【解析】由題意知,.為直徑的圓經(jīng)過(guò),....將點(diǎn)代入橢圓方程得..橢圓的方程為.方法二:定義法定義法:如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線(xiàn)(如圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn))的定義,根據(jù)定義,可先設(shè)出軌跡方程,再根據(jù)已知條件,待定方程中的參數(shù),即可得到軌跡方程.常見(jiàn)的曲線(xiàn)定義及特征待求參數(shù)有:(1)圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,或直角圓,即若,則點(diǎn)在以為直徑的圓上.確定方程的參數(shù):圓心坐標(biāo),半徑.(2)橢圓:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)(關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng))的距離之和為常數(shù)(常數(shù)大于定點(diǎn)距離)的點(diǎn)的軌跡.確定方程的參數(shù):到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為,兩個(gè)定點(diǎn)間的距離為.(3)雙曲線(xiàn):平面上到兩個(gè)定點(diǎn)(關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng))的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)(小于定點(diǎn)距離)的點(diǎn)的軌跡.注意:若只是到兩定點(diǎn)的距離之差為常數(shù)(小于定點(diǎn)距離),則為雙曲線(xiàn)的一支.確定方程的參數(shù):到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為,兩個(gè)定點(diǎn)間的距離.(4)拋物線(xiàn):平面上到一定點(diǎn)的距離與到一定直線(xiàn)的距離(定點(diǎn)在定直線(xiàn)外)相等的點(diǎn)的軌跡.確定方程的參數(shù):焦準(zhǔn)距.若曲線(xiàn)位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置(即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線(xiàn)),則通過(guò)準(zhǔn)線(xiàn)方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)也可確定方程.【例1】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)且與圓相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線(xiàn),求曲線(xiàn)的方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為,根據(jù)已知,點(diǎn)在圓內(nèi),則有..的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.設(shè)曲線(xiàn)的方程為0),則,,故曲線(xiàn)的軌跡方程為.【例2】已知圓的方程為,圓的方程為,若動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為,動(dòng)圓與圓內(nèi)切,與圓外切,,且.,.動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓,..故動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.【例3】已知圓的圓心為,點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn),線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程.【解析】(1)由題意知,線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn),..點(diǎn)在以為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓上,.點(diǎn)的軌跡的方程為.【例4】在平面內(nèi),已知點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大2,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.【解析】動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大2,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線(xiàn)的距離.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為非負(fù)數(shù)時(shí),點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn),曲線(xiàn)的方程為.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)數(shù)時(shí),點(diǎn)的軌跡方程是.【例5】已知一動(dòng)圓與定圓外切,且與直線(xiàn)相切,記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn),求曲線(xiàn)的方程.【解析】設(shè)圓的圓心為,動(dòng)圓的半徑為.由動(dòng)圓與定圓外切可知,.又動(dòng)圓與直線(xiàn)相切,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為.點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到定點(diǎn).的距離.點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn),其方程為.曲線(xiàn)的方程為.【例6】已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)并且與圓外切,動(dòng)圓圓心的軌跡為,求曲線(xiàn)的軌跡方程.【解析】方法三:相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法:若所求點(diǎn)與某已知曲線(xiàn)方程上的一點(diǎn)存在某種相關(guān)關(guān)系,則可根據(jù)相關(guān)關(guān)系用表示出,即,然后代人到所在的曲線(xiàn)方程中,即可得到關(guān)于的方程.【例1】已知圓,點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn),軸,垂足為,若,設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn),求曲線(xiàn)的方程.【解析】設(shè),則點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)為圓上的點(diǎn),.曲線(xiàn)的方程為.【例2】已知線(xiàn)段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是,端點(diǎn)在圓4上運(yùn)動(dòng),求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡的方程.【解析】點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于點(diǎn)的坐標(biāo)為,且點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn),于是有.點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程即.把(1)式代入(2)式得.整理得.點(diǎn)的軌跡的方程為.方法四:直接法直接法:如果難以判斷動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線(xiàn)的定義,但點(diǎn)滿(mǎn)足的等量關(guān)系容易建立,則可以先表示出點(diǎn)所滿(mǎn)足的幾何上的等量關(guān)系,再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式,即可得到軌跡方程.【例1】已知在中,點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,.,.化簡(jiǎn)得,即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為【例2】已知點(diǎn),圓,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn),線(xiàn)段的中點(diǎn)為點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】圓的方程可化為,圓的圓心為,半徑為4.設(shè),則.由題設(shè)知,故,即.點(diǎn)在圓的內(nèi)部,的軌跡方程是.【例3】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn),且在軸上截得弦的長(zhǎng)為4,求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為點(diǎn),由題可知當(dāng)點(diǎn)不在軸上,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),則點(diǎn)是的中點(diǎn)...化簡(jiǎn)得.當(dāng)在軸上時(shí),動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn),且在軸上截得弦的長(zhǎng)為4,與原點(diǎn)重合,即點(diǎn)也滿(mǎn)足方程.綜上,動(dòng)圓圓心的軌跡的方程為.【例4】已知圓上有一定點(diǎn)為圓內(nèi)一點(diǎn),為圓上的動(dòng)點(diǎn),若,求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)的中點(diǎn)為,在Rt中,.設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),伡接,則,.代入相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得.故線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程為.【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,平面內(nèi)兩點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件:(1)是三條邊中線(xiàn)的交點(diǎn).(2)是的外心.(3).求的頂點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè),是的外心，.在線(xiàn)段的中垂線(xiàn)上...又是三條邊中線(xiàn)的交點(diǎn),點(diǎn)是的重心心...又,,化簡(jiǎn)得.頂點(diǎn)的軌跡方程為.方法五:參數(shù)法參數(shù)法:從條件中無(wú)法直接找到的聯(lián)系,但可通過(guò)一輔助變量,分別找到與的聯(lián)系,從而得到和的方程:,即曲線(xiàn)的參數(shù)方程,消去參數(shù)后即可得到軌跡方程.【例1】已知拋物線(xiàn),過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn),分別以為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn),直線(xiàn)交于點(diǎn),求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.【解析】則以為切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為,整理得,同理,以為切點(diǎn)的切線(xiàn)為聯(lián)立方程,解得.設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程,整理得.恒成立.由韋達(dá)定理得2,故直線(xiàn)的交點(diǎn)為.的參數(shù)方數(shù)為(其中為參數(shù)).消去參數(shù)可得點(diǎn)的軌跡方程為.注意:本題可參看“8.5阿基米德三角形結(jié)論”一節(jié)快速解題.【例2】若斜率為2的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)為弦的中點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】依題意,設(shè)斜率為2的弦所在直線(xiàn)的方程為點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為,弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,聯(lián)立方程,消去整理得,即,兩式消掉,整理得.又因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)在橢圓內(nèi)部,.點(diǎn)的軌跡方程為.注意:本題可參看“8.1弦中點(diǎn)結(jié)論”節(jié)快速解題.【例3】為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn),若直線(xiàn)與的斜率之和為0,求線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】設(shè)直線(xiàn)的斜率為直線(xiàn)的方程為,即.與橢圓聯(lián)立方程整理得,即,點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.直