2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第22講定點(diǎn)定直線問(wèn)題含解析

第22講定點(diǎn)、定直線問(wèn)題圓錐曲線的定點(diǎn)、定直線問(wèn)題就是曲線或直線過(guò)定點(diǎn)，或者動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其核心思路就是消參，消參的手段主要用的有兩種：①等式代是消參（前面講過(guò)，就是找到兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，帶是從而消掉一個(gè)參數(shù)）．②參數(shù)無(wú)關(guān)性消參：和參數(shù)相關(guān)的因式為時(shí)，和參數(shù)的取值沒(méi)什么關(guān)系，比如，只要因式，就和參數(shù)沒(méi)什么關(guān)系了，或者說(shuō)參數(shù)不起作用．直線過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：題設(shè)為某直線恒過(guò)某個(gè)定點(diǎn)．目標(biāo)：建立出只含斜率一個(gè)參數(shù)的直線方程，形如，則會(huì)恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)，也就是當(dāng)時(shí)，與斜率參數(shù)沒(méi)有什么關(guān)系了，這個(gè)我把它稱之為參數(shù)無(wú)關(guān)性．一般解題步驟：（1）斜截式設(shè)直線方程：，此時(shí)引入了兩個(gè)參數(shù)，需要消掉一個(gè)．（2）找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．（3）參數(shù)無(wú)關(guān)找定點(diǎn)：找到和沒(méi)有關(guān)系的點(diǎn)．【例1】若點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解析】證明由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線方程：，，．將直線的方程代入中，得．∴，，，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．【例2】過(guò)點(diǎn)作相互垂直的兩條直線，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)分別為，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】證明由題意可知，直線的斜率均存在．設(shè)直線的方程為，，．聯(lián)立，消去得，，．∵點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴．同理，將換成得，當(dāng)，即時(shí)，∴直線的方程為．，即，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，也過(guò)點(diǎn)，∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．【例】3為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線分別又交橢圓于點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】證明（1）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓聯(lián)立，消去得．∴．設(shè)，，則，．∵，∴，，，∴．解得或．若，則直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，不符題意．若，則直線的方程為，號(hào)過(guò)點(diǎn)．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，聯(lián)立：，解得或（舍）．此時(shí)直線也過(guò)點(diǎn)．綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)在定直線上動(dòng)點(diǎn)在定直線上：題設(shè)為某動(dòng)點(diǎn)在某定直線．目標(biāo)：需要消掉關(guān)于動(dòng)點(diǎn)橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)的所有參數(shù)，從而建立一個(gè)無(wú)參的直線方程，此時(shí)會(huì)分為三種情況：（1），即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線．（2），即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線．（3），即動(dòng)點(diǎn)恒過(guò)直線．【例1】如下圖所示，過(guò)點(diǎn)任作一動(dòng)直線交橢圓于兩點(diǎn)，記．若在線段上取一點(diǎn)，使得，試判斷當(dāng)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)是否在某一定直線上運(yùn)動(dòng)？若在，請(qǐng)求出該定直線．若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】由已知，直線的斜率必存在，設(shè)其直線方程為，，．聯(lián)立，消去得，則，，．由得，故．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則由得．解得．又，，從而，故點(diǎn)在定直線上．【例2】設(shè)動(dòng)直線與橢圓：有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)作的垂線與直線交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上，求出定直線的方程．【解析】證明∵直線與橢圓相切，聯(lián)立得．∴．∴．切點(diǎn)坐標(biāo)，，即，∴，．∴方程為．聯(lián)立，∴，解得．∴在這條定直線上．【例3】如下圖所示，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，上、下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)，右焦點(diǎn)為點(diǎn)，，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過(guò)點(diǎn)作不與軸重合的直線與橢圓交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，試討論點(diǎn)是否在某條定直線上，若在，求出該直線方程．若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題意可得，解得，，∴，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，．聯(lián)立，消去并整理得，，由韋達(dá)定理得，．易知點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的方程為，直線的斜率為，直線的方程為，由，可得，其中，∴，解得．因此，點(diǎn)在定直線上．圓過(guò)定點(diǎn)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題：題設(shè)以線段為直徑的圓，恒過(guò)定點(diǎn)．（1）向量為零法：利用，整體代換消參之后求出點(diǎn)坐標(biāo)的確定值．（2）參數(shù)無(wú)關(guān)法：設(shè)出的中點(diǎn)，求出長(zhǎng)度，令，建立出圓的方程，形如，利用參數(shù)無(wú)關(guān)性，可知圓恒過(guò)．方法一：向量為零法【例1】已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于兩點(diǎn)．證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．【解析】證明∵直線的斜率存在且不為零，故設(shè)直線的方程為．聯(lián)立，消去得．設(shè)，，則，．．∴．①∵直線和圓相切，∴圓心到直線的距離，整理得．②將②式代入①式得，顯然以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．【例2】過(guò)點(diǎn)任作一直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【解析】證明設(shè)直線的方程為，，，則直線方程：，直線方程：．聯(lián)立，得．同理得，∴，．．聯(lián)立得，∴，則．因此，以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【例3】過(guò)點(diǎn)且斜率為的動(dòng)直線交橢圓：于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．【解析】設(shè)直線，代入得．設(shè)，，則，．若軸上存在定點(diǎn)滿足題設(shè)，則，．，如果成立，即對(duì)成立．∴，解得．∴在軸上存在定點(diǎn)，使以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)．方法二：參數(shù)無(wú)關(guān)法【例1】若過(guò)的直線與曲線：交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于兩點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)．若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，，，，直線的方程為．同理，直線的方程為．令得，，設(shè)的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，∴．．圓的半徑為．∴以為直徑的圓的方程為．展開(kāi)可得，令，可得，【解析】得或．從而以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和．【例2】如下圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)，試問(wèn)以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)（與的斜率無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．