2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題專講專練第48講導(dǎo)數(shù)中的端點(diǎn)效應(yīng)法含解析

第48講導(dǎo)數(shù)中的端點(diǎn)效應(yīng)法本節(jié)主要講解高考題的解題技巧:端點(diǎn)效應(yīng).“端點(diǎn)效應(yīng)”,是指在處理“定區(qū)間上函數(shù)不等式恒成立,求參量取值范圍”一類(lèi)問(wèn)題中,將變量在端點(diǎn)處的值代人,求出參量的取值范圍(題設(shè)成立的必要條件),再在所求出的參量的范圍內(nèi)進(jìn)行分類(lèi)討論,求解驗(yàn)證題設(shè)成立時(shí)參量所滿足的充分條件.“端點(diǎn)效應(yīng)”法最大的優(yōu)點(diǎn)就是,能夠縮小參量的范圍,避開(kāi)不必要的討論,為我們?cè)诮忸}中節(jié)約時(shí)間,做到快解.它也是高考數(shù)學(xué)中一種常用的技巧方法.端點(diǎn)效應(yīng)的多維度表達(dá)第一層維度:若(含參數(shù))在上恒成立,則在區(qū)間端點(diǎn)處也必須成立,即.第二層維度:若,要使(含參數(shù))在上恒成立,則必然有.第三層維度:若要使0(含參數(shù))在上恒成立,則必然有(函數(shù)凹凸性證明).第四層維度、第五層維度放心,不會(huì)考).端點(diǎn)效應(yīng)縮小必要性范圍利用端點(diǎn)效應(yīng)法的一般解題步驟：第一步:必要性縮小范圍,利用端點(diǎn)效應(yīng),我們可以得出參數(shù)的一個(gè)取值范圍,雖然很多考題中,我們得到的范圍就是最終的結(jié)果,但要注意的是這個(gè)范圍是必要性范圍,實(shí)際范圍可能會(huì)更小,不過(guò)有了這個(gè)范圍之后,可以大大降低我們后續(xù)的思考難度,減少解題步驟,接下來(lái),繼續(xù)正常求導(dǎo),只是需要讓剛剛得到的參數(shù)范圍幫幫忙.第二步:充分性驗(yàn)證或者確定結(jié)果,有了前面的必要性范圍之后,我們就按照常規(guī)的恒成立問(wèn)題的解題思路求解即可,利用反證法驗(yàn)證或者常規(guī)討論都行.

【例1】已知函數(shù),若對(duì)任意0恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】解法一:分類(lèi)討論由題.令,則.(1)當(dāng)時(shí),在時(shí),,從而.∴在上單調(diào)遞增.∴,不合題意.(2)當(dāng)時(shí),令,解得.i若,即,在時(shí),,∴.∴在上為減函數(shù).∴符合題意.ii.若,即,當(dāng)時(shí),在時(shí),∴在上單調(diào)遞增,從而時(shí),不合題意.綜上所述,若對(duì)征成立,則.法二:端點(diǎn)效應(yīng)法第一步:必要性縮小范圍.要使,在上恒成立,則需要在端點(diǎn)處也成立,即恒成立.∵,則由端點(diǎn)效應(yīng)可知有成立.又∵,則由端點(diǎn)效應(yīng)可知：有成立.又∵,則可得.第二步:充分性驗(yàn)證,見(jiàn)法一.

【例2】已知函數(shù),若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】解法一:分類(lèi)討論等價(jià)于0,即，記,則,(1)當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,由,∴,即不恒成立.(2)當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞增,不恒成立.(3)當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,,∴,即恒成立.故在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是.法二:端點(diǎn)效應(yīng)法第一步:必要性縮小范圍.等價(jià)于0,即,記,要使在上,恒成立.則,根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng),則必然有.又,可得.第二步:充分性驗(yàn)證結(jié)果.可以用法一中的分類(lèi)討論,來(lái)驗(yàn)證時(shí),不恒成立.

【例3】已知函數(shù),若當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.【解析】解法一:當(dāng)時(shí),等價(jià)于.設(shè),則.(1)當(dāng)時(shí),),故在上單調(diào)遞增,因此.(2)當(dāng)時(shí),令得由和得,故當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,因此.綜上,的取值范圍是.法二:端點(diǎn)效應(yīng)法第一步:必要性縮小范圍.要使在上恒成立,則需要在端點(diǎn)處也成立,即恒成立.∵,則由端點(diǎn)效應(yīng)可知有成立,又∵,則0可得.第二步:充分性驗(yàn)證,見(jiàn)法一.【例4】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】解法一:分類(lèi)討論第一步:求導(dǎo),討論函數(shù)單調(diào)性,并結(jié)合特殊值縮小參數(shù)范圍.第二步:當(dāng)時(shí),不等式恒成立.當(dāng)時(shí),在上恒成立,則有.第三步:當(dāng)時(shí),拆分函數(shù),結(jié)合指數(shù)不等式放縮,進(jìn)一步確定參數(shù)范圍.當(dāng)時(shí),令,由指數(shù)不等式可知,當(dāng),即時(shí),.此時(shí),同樣有.第四步:當(dāng)時(shí),利用隱零點(diǎn)和不等式放縮反證不等式不恒成立.當(dāng)時(shí),函數(shù)與相交于點(diǎn)和.同時(shí),當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),,即可知一,將代入得則.又由指數(shù)不等式可知,那么,即在區(qū)間上遞減,因此有,與矛盾,故不合題意.綜上可知,滿足題意的實(shí)數(shù)的取值范圍為.法二:端點(diǎn)效應(yīng)第一步:利用端點(diǎn)效應(yīng)得參數(shù)必要性范圍.,當(dāng)時(shí),恒成立.∵,又,即.∵,又,可得.第二步:充分性驗(yàn)證結(jié)果略.拉格朗日中值定理在高考中的應(yīng)用拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容,在高中數(shù)學(xué)中也是比較重要的一塊,其定理本身比較簡(jiǎn)潔,也可以在高考中解決一類(lèi)不等式問(wèn)題,其解法比較快捷,我們來(lái)認(rèn)識(shí)一下這個(gè)定理吧!拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:若函數(shù)滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間上連續(xù).(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).則在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.幾何意義:在以為端點(diǎn)的曲線上至少存在一點(diǎn),該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線.【例】已知函數(shù),問(wèn)是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于?若存在,求的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得的圖像上任意不同兩點(diǎn)連線的斜率都不小于,即對(duì)任意,都有.即求任意兩點(diǎn)割線斜率的大小,由中值定理知存在,有,轉(zhuǎn)為求切線斜率的大小.即在上恒成立的問(wèn)題.拉格朗日證明無(wú)參不等式用拉格朗日中值定理證明不等式的一般步驟:第一步:在不等式中找合適的函數(shù).第二步:利用拉格朗日中值定理轉(zhuǎn)換,即.（或）,并確定的范圍.第三步:利用的范圍對(duì)不等式放縮,從而證明不等式.【例1】設(shè),證明:.【解析】證明：令,∵在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),∴由拉格朗日中值定理得【例2】當(dāng)時(shí),證明:.【解析】∵在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，∴由拉格朗日中值定理得從而當(dāng)時(shí),.【例3】當(dāng)時(shí),證明:.【解析】令,∵在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),∴由拉格朗日中值定理得.即當(dāng)時(shí),.可導(dǎo),【例4】當(dāng)時(shí),證明:.【解析】令,∵在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),∴由拉格朗日中值定理得.即當(dāng)時(shí),.拉格朗日證明一元含參不等式利用拉格朗日中值定理證明一元含參不等式問(wèn)題的一般步驟:第一步:參變分離為:或成立.[其中,只有這種結(jié)構(gòu)才可以使用]第二步:拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化為或.[其中第三步:轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.【例1】設(shè)函數(shù),若對(duì)所有,都有,求的取值范圍.【解析】第一步:參變分離.要使恒成立,等價(jià)于:恒成立.第二步:拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化.,其中.第三步:求最值.要使恒成立,即恒成立.【例2】設(shè)函數(shù),證明:若對(duì)所有,都有,則的范圍是.【解析】第一步:分類(lèi)討論,參變分離.(16)(3)設(shè)函數(shù),如果對(duì)任何,都有,求的取值匯范圍.解第一步：分類(lèi)討論,參變分離.當(dāng)時(shí),顯然對(duì)任何,都有.當(dāng)時(shí).第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).由拉格朗日中值定理知內(nèi)至少存在一點(diǎn)(從而,使得由于.第三步:利用極限求出下確界,進(jìn)而得取值范圍.故在上是增函數(shù),讓得.∴的取值范圍是.【例3】設(shè)函數(shù),如果對(duì)任何,都有,求的取值范圍.【解析】第一步:分類(lèi)討論,參變分離.當(dāng)時(shí),顯然對(duì)任何,都有當(dāng)時(shí),.第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化函數(shù).由拉格朗中中值定理知,存在,使得.第三步:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)研究其單調(diào)性.,從而令得.令得.第四步:根據(jù)單調(diào)性得函數(shù)最值,進(jìn)而得參數(shù)范圍.∴在上,的最大值在上,的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.由知,當(dāng)時(shí),的最大值為.∴的最大值.為了使恒成立,應(yīng)有.∴的取值范圍是.拉格朗日證明雙變量含參不等式由拉格朗日中值定理解決具有特點(diǎn)的證明或求參數(shù)的范圍問(wèn)題的一般步驟:第一步：把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明或(其中結(jié)構(gòu)的問(wèn)題.第二步:利用拉格朗日中值定理簡(jiǎn)化.即證明或.第三步:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證與的大小關(guān)系.【例1】設(shè)函數(shù),.若對(duì)任意,恒成立,求的取值范圍.【解析】解法一:同構(gòu)函數(shù)法即,令.要使不等式恒成立,則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,∴恒成立,即在區(qū)間上恒成立.故.法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,其中.又,則.又單調(diào)遞減,∴.可得.【例2】設(shè)函數(shù),若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍。【解析】解法一:同構(gòu)函數(shù)法對(duì)任意恒成立,等價(jià)于恒成立.設(shè).∴等價(jià)于在上單調(diào)遞減.∴在恒成立.恒成立.恒成立.∴的取值范圍是.法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,其中.又,則.又,令,則.∴的取值范圍是.【例3】已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性.(2)設(shè)為曲線上的任意兩點(diǎn),并且,若恒成立,證明:.【解析】(1),對(duì)任意恒成立,等價(jià)于恒成立.設(shè).∴等價(jià)于在上單調(diào)遞減.∴在恒成立.恒成立.恒成立).∴的取值范圍是.法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,其中.又,則.又,令,則.∴的取值范圍是.【例4】已知.(1)討論的單調(diào)性.(2)設(shè),求證:,.【解析】(1)的定義域?yàn)?.為,即.,則恒成立,為增函數(shù).,則恒成立,為增函數(shù).③時(shí),.當(dāng),則恒成立,為減函數(shù).當(dāng)時(shí),解得.單調(diào)遞增單調(diào)遞減(2)法一:雙元構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)法不妨設(shè),∴由第(1)問(wèn)可得單調(diào)遞減.∴.∴所證不等式等價(jià)于:,令,只需證明單調(diào)遞減即可.設(shè).方程.∴.∴在單調(diào)遞減.∴,即所證不等式成立.法二:拉格朗日中值定理不妨設(shè),∴由第(1)題可得單調(diào)遞減,∴.∴.即證.在上恒成立即可,即可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次含參不等式恒成立問(wèn)題,用分類(lèi)討論或基本不等式即可證明.【例5】已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是,對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù),證明: