高中數(shù)學(xué)選修1-2全套教學(xué)課件講義ppt幻燈片

1．1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用1．知識與技能通過收集現(xiàn)實問題中兩個有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系．2．過程與方法通過求線性回歸方程，探究相關(guān)性檢驗的基本思想．通過對典型案例的探究，體會回歸分析在生產(chǎn)實際和日常生活中的廣泛應(yīng)用．本節(jié)重點(diǎn)：了解線性回歸模型與函數(shù)模型的差異，了解判斷刻畫模型擬合效果的方法——相關(guān)指數(shù)和殘差分析．本節(jié)難點(diǎn)：解釋殘差變量的含義，了解偏差平方和分解的思想．一、相關(guān)關(guān)系的概念當(dāng)一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系．二、回歸分析的相關(guān)概念1．回歸分析是處理兩個變量之間

的一種統(tǒng)計方法．若兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回歸分析為

．相關(guān)關(guān)系線性回歸分析3．線性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)與弱的判斷：用

來描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．當(dāng)r>0時，表明兩個變量

；當(dāng)r<0時，表明兩個變量 ．r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對值接近于0時，表明兩個變量之間

線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|大于

時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．4．隨機(jī)誤差的概念：當(dāng)樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上時，不能用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個變量之間的關(guān)系，而是用線性回歸模型

來表示，其中

為模型的未知參數(shù)，

稱為隨機(jī)誤差．相關(guān)系數(shù)r正相關(guān)負(fù)相關(guān)幾乎不存在0.75y＝bx＋a＋ea和beR2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越

．在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對預(yù)報變量變化的

．R2越接近于1，表示回歸的效果越好(因為R2越接近于1，表示解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強(qiáng))．好貢獻(xiàn)率(2)利用圖形來分析殘差特性，作圖時縱坐標(biāo)為

，橫坐標(biāo)可以選為

，這樣作出的圖形稱為殘差圖．如果圖中有某個樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯誤．如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因．另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高．殘差樣本編號回歸分析問題有線性回歸問題和非線性回歸問題，對于非線性回歸問題，往往利用轉(zhuǎn)換變量的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性回歸問題．[例1]有下列說法：①線性回歸分析就是由樣本點(diǎn)去尋找一條直線，使之貼近這些樣本點(diǎn)的數(shù)學(xué)方法；②利用樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖可以直觀判斷兩個變量的關(guān)系是否可以用線性關(guān)系表示；④因為由任何一組觀測值都可以求得一個線性回歸方程，所以沒有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗．其中正確命題的個數(shù)是 (

)A．1

B．2C．3 D．4[分析]由題目可獲取以下信息：①線性回歸分析；②散點(diǎn)圖；③相關(guān)性檢驗等的相關(guān)概念及意義．解答本題可先逐一核對相關(guān)概念及其性質(zhì)，然后再逐一作出判斷，最后得出結(jié)論．[答案]C[解析]

①反映的正是最小二乘法思想，故正確．②反映的是畫散點(diǎn)圖的作用，也正確．③解釋的是回歸方程＝x＋的作用，故也正確．④是不正確的，在求回歸方程之前必須進(jìn)行相關(guān)性檢驗，以體現(xiàn)兩變量的關(guān)系．[點(diǎn)評]

線性回歸分析的過程：(1)隨機(jī)抽取樣本，確定數(shù)據(jù)，形成樣本點(diǎn)(2)由樣本點(diǎn)形成散點(diǎn)圖，判定是否具有線性相關(guān)關(guān)系；(3)由最小二乘法確定線性回歸方程；(4)由回歸方程觀察變量的取值及變化趨勢．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是 (

)A．變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖C．線性回歸方程最能代表具有線性相關(guān)關(guān)系的x，y之間的關(guān)系D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的線性回歸方程[答案]

D[解析]只有對兩個變量具有線性相關(guān)性作出判斷時，利用最小乘法求出線性方程才有意義.[例2]某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求y關(guān)于x的回歸直線方程．x24568y3040605070[解析]

(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)列出下表，并用科學(xué)計算器進(jìn)行有關(guān)計算.[點(diǎn)評]

求回歸直線方程，關(guān)鍵在于正確地求出，，由于，的計算量較大，計算時要仔細(xì)謹(jǐn)慎、分層進(jìn)行，避免計算失誤．[例3]一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了10次試驗，測得數(shù)據(jù)如下：把零件數(shù)x作為解釋變量，加工時間y作為預(yù)報變量．(1)計算總偏差平方和、殘差平方和及相關(guān)指數(shù)；(2)作出殘差圖；(3)進(jìn)行殘差分析．零件數(shù)x(個)102030405060708090100加工時間y(min)626875818995102108115122[解析]

(1)由x，y的數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖如圖．由散點(diǎn)圖可以認(rèn)為樣本點(diǎn)大致分布在某條直線的附近，因此可以用線性回歸模型來擬合．設(shè)線性回歸方程為＝＋x，列出下表：i12345xi(個)1020304050yi(min)6268758189xiyi6201360225032404450x678910xi(個)60708090100yi(min)95102108115122xiyi5700714086401035012200續(xù)表將數(shù)據(jù)代入相應(yīng)公式可得如下數(shù)據(jù)表：續(xù)表(2)作出殘差圖如圖，橫坐標(biāo)為零件數(shù)的數(shù)據(jù)，縱坐標(biāo)為殘差．(3)由題中數(shù)據(jù)可得樣本相關(guān)系數(shù)r的值為0.9998，再結(jié)合散點(diǎn)圖可以說明x與y有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．由R2的值可以看出回歸效果很好，也說明用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好．由殘差圖也可以觀察到，第4個樣本點(diǎn)和第5個樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集在這兩個樣本點(diǎn)的過程中是否有人為的錯誤．[點(diǎn)評]

本題涉及公式多且復(fù)雜，計算量也很大，需首先了解公式，明白原理．(2)在利用殘差圖對數(shù)據(jù)進(jìn)行殘差分析時，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．這樣的帶狀區(qū)域?qū)挾仍秸?，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高．一、選擇題1．下列說法中錯誤的是 (

)A．如果變量x與y之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，則我們根據(jù)實驗數(shù)據(jù)得到的點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)將散布在某一條直線的附近B．如果兩個變量x與y之間不存在線性關(guān)系，那么根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)不能寫出一個線性方程[答案]

B[解析]

兩變量x與y之間不存在線性關(guān)系，根據(jù)它們的一組數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2,3，…n)可通過已有的函數(shù)知識進(jìn)行變換，利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程A．y平均增加2.5個單位B．y平均增加2個單位C．y平均減少2.5個單位D．y平均減少2個單位[答案]

C[答案]

C4．下列兩個變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是(

)A．角度和余弦值B．正n邊形的邊數(shù)和一個內(nèi)角的度數(shù)C．棱錐的體積和底面積D．某種物質(zhì)和溶解度和溫度[答案]

D6．某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有下表關(guān)系：已知y與x之間是線性相關(guān)關(guān)系，若實際銷售額不低于82.5萬元，則廣告費(fèi)支出最少是__________萬元．[答案]

10[解析]

由本節(jié)例2可知y關(guān)于x的回歸直線方程為＝6.5x＋17.5由6.5x＋17.5≥82.5得x≥10.故廣告費(fèi)支出最少為10萬元．x24568y30406050701．2獨(dú)立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用1．知識與技能通過典型案例，初步經(jīng)歷案例學(xué)習(xí)的過程，學(xué)習(xí)一些常見的統(tǒng)計思想與方法，并能用這些方法解決一些實際問題．2．過程與方法通過對案例的探究，了解獨(dú)立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用．3．情感態(tài)度與價值觀通過對數(shù)據(jù)的收集、整理和分析，增強(qiáng)社會實踐能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．本節(jié)重點(diǎn)：理解獨(dú)立性檢驗的基本思想及實施步驟．本節(jié)難點(diǎn)：(1)了解獨(dú)立性檢驗的基本思想．(2)了解隨機(jī)變量K2的含義．在學(xué)習(xí)中要多從實際問題考慮，對一些典型案例的數(shù)據(jù)的處理，了解和使用一些常用的統(tǒng)計方法，樹立應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，樹立數(shù)學(xué)為實踐服務(wù)的思想．1．分類變量和列聯(lián)表(1)分類變量變量的不同“值”表示個體所屬的

，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表①定義：列出的兩個分類變量的

稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表一般地，假設(shè)兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為

和

，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(也稱為2×2列聯(lián)表)為下表.不同類別頻數(shù)表{x1，x2}{y1，y2}2.等高條形圖(1)等高條形圖與表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否

，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的

．y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d互相影響頻率特征③如果

，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過a，否則就認(rèn)為在

不超過a的前提下不能推斷“X與Y的關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中

支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．4．在獨(dú)立性檢測中，當(dāng)K2>

時，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)K2>

時；有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)K2≤

時，認(rèn)為

．k≥k0犯錯誤的概率沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)3.8416.6353.841事件A與B是無關(guān)的[例1]在一項有關(guān)醫(yī)療保健的社會調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)被調(diào)查的男性有530人，女性有670人，其中男性中喜歡吃甜食的有117人，而女性中喜歡吃甜食的有492人，試判斷喜不喜歡吃甜食與性別有無關(guān)系．[解析]

作列聯(lián)表如下(單位：人)：性別與喜歡吃甜食列聯(lián)表畫三維柱形圖，如圖．喜歡吃甜食不喜歡吃甜食總計男117413530女492178670總計6095911200比較來說，主、副對角線上兩個柱體高度的乘積差別較大，因而可以在某種程度上認(rèn)為“喜不喜歡吃甜食與性別有關(guān)系”．[點(diǎn)評]

在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積與副對角線上兩個柱形高度的乘積相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大．作三維柱形圖時，作圖要精確，且比較易于觀察，以便對結(jié)論的判斷不出現(xiàn)偏差．[例2]下面2×2列聯(lián)表的K2的值為________.[答案]

1.7802．將K2的數(shù)值與兩個臨界值3.841與6.635進(jìn)行對比；做出統(tǒng)計推斷：當(dāng)根據(jù)具體的數(shù)據(jù)算出的K2>3.841時，有95%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)K2>6.635時，有99%的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)K2≤3.841時，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的．某防疫站對屠宰場及肉食零售點(diǎn)的豬肉檢查沙門氏菌情況，結(jié)果如下表，試檢驗屠宰場與零售點(diǎn)豬肉帶菌率有無差異.帶菌頭數(shù)不帶菌頭數(shù)合計屠宰場83240零售點(diǎn)141832合計225072[分析]

這是一個2×2列聯(lián)表，可以用K2檢驗來檢驗屠宰場與零售點(diǎn)豬肉帶菌率有無差異．[例3]在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，通過圖形判斷色盲與性別是否有關(guān)．利用獨(dú)立性檢驗判斷，是否能夠以99.9%的把握認(rèn)為“色盲與性別有關(guān)系”．你所得到的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？[解析]

根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表(單位：名)：色盲與性別列聯(lián)表根據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的二維條形圖，如圖所示．色盲非色盲總計男38442480女6514520總計449561000[點(diǎn)評]本題應(yīng)首先作出調(diào)查數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，再根據(jù)列聯(lián)表畫出二維條形圖或三維柱形圖，并進(jìn)行分析，最后利用獨(dú)立性檢驗作出判斷．1．利用圖形來判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，可以畫出三維柱形圖，也可以畫出二維條形圖，僅從圖形上只可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，可以結(jié)合所給的數(shù)值來進(jìn)行比較．作圖應(yīng)注意單位統(tǒng)一，圖形準(zhǔn)確，但它不能給我們兩個分類變量有關(guān)或無關(guān)的精確的可信程度，若要作出精確的判斷，可以作獨(dú)立性檢驗的有關(guān)計算．2．當(dāng)需要利用公式計算K2的觀測值大小來對問題作出推斷時，首先要牢記公式，再將經(jīng)過準(zhǔn)確運(yùn)算后得到的結(jié)果與臨界值進(jìn)行比較，最后才能得出合乎情理的結(jié)論．[例4]有甲、乙兩個班級進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計后，得到如下的列聯(lián)表班級與成績列聯(lián)表試問能有多大把握認(rèn)為“成績與班級有關(guān)系”？優(yōu)秀不優(yōu)秀總計甲班103545乙班73845總計177390[辨析]

由于對2×2列聯(lián)表中n11，n12，n21，n22的位置不確定，在代入公式時代錯了數(shù)值導(dǎo)致計算結(jié)果的錯誤．一、選擇題1．可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的是(

)A．散點(diǎn)圖B．三維柱形圖和二維條形圖C．獨(dú)立性檢驗的思想D．以上都不對

[答案]

B[解析]

用三維柱形圖和二維條形圖可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但無法精確給出結(jié)論的可靠程度．2．下表是一個2×2列聯(lián)表：則表中a，b處的值分別為 (

)A．94,96

B．52,50

C．52,54

D．54,52y1y2總計x1a2173x222527總計b46100[答案]

C3．對于分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k，下列說法正確的是 (

)A．k越大，推斷“X與Y有關(guān)系”，犯錯誤的概率越大B．k越小，推斷“X與Y有關(guān)系”，犯錯誤的概率越大C．k越接近于0，推斷“X與Y無關(guān)”，犯錯誤的概率越大D．k越大，推斷“X與Y無關(guān)”，犯錯誤的概率越小[答案]

B4．利用獨(dú)立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系時，通過查閱臨界值表來確定斷言“X與Y有關(guān)系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推斷“X和Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過 (

)A．0.25

B．0.75C．0.025 D．0.975[答案]

C[解析]

通過查表確定臨界值k.當(dāng)k＞k0＝5.024時，推斷“X與Y”有關(guān)系這種推斷犯錯誤的概率不超過0.025.二、填空題5．如果K2的觀測值k為8.654，可推斷“X與Y有關(guān)”犯錯誤的概率不超過______．[答案]

0.005[解析]

k＝8.654＞7.879，就推斷“X與Y有關(guān)”犯錯誤的概率不超過0.005.6．為了探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關(guān)，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠．在照射后14天內(nèi)的結(jié)果如下表所示：進(jìn)行統(tǒng)計分析時的統(tǒng)計假設(shè)是__________________．[答案]

假設(shè)電離輻射的劑量與人體受損程度無關(guān)．死亡存活合計第一種劑量141125第二種劑量61925合計203050章末歸納總結(jié)2．建立回歸模型的一般步驟(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預(yù)報變量．(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存在線性關(guān)系)．(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)．(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等)，若殘差存在異常，則應(yīng)檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．二、獨(dú)立性檢驗1．判斷兩個分類變量之間是否有關(guān)系的方式有三種：三維柱形圖、二維條形圖和獨(dú)立性檢驗．其中三維柱形圖和二維條形圖只能粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗可以精確地得到可靠的結(jié)論．2．獨(dú)立性檢驗的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式計算K2的值．(3)比較K2與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷．

[例1]已知對兩個變量x、y的觀測數(shù)據(jù)如下表：(1)畫出x、y的散點(diǎn)圖；(2)求出回歸直線方程．x35404239454642505848y5.906.206.306.556.539.526.998.729.497.50[解析]

(1)散點(diǎn)圖如下圖所示．[例2]想象一下一個人從出生到死亡，在每個生日都測量身高，并作出這些數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，這些點(diǎn)將不會落在一條直線上，但在一段時間內(nèi)的增長數(shù)據(jù)有時可以用線性回歸來分析．下表是一位母親給兒子作的成長記錄.年齡/周歲3456789身高/cm90.897.6104.2110.9115.6122.0128.5年齡/周歲10111213141516身高/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.5173.0(1)年齡(解釋變量)和身高(預(yù)報變量)之間具有怎樣的相關(guān)關(guān)系？(2)如果年齡相差5歲，則身高有多大差異？(3～16歲之間)(3)如果身高相差20cm，其年齡相差多少？(4)計算殘差，說明該函數(shù)模型能夠較好地反映年齡與身高的關(guān)系嗎？請說明理由．(2)如果年齡相差5歲，則預(yù)報變量變化6.314×5＝31.570.R2≈0.999，所以殘差平方和為4.53，相關(guān)指數(shù)為0.999，故該函數(shù)模型能夠較好地反映年齡與身高的關(guān)系.[例3]

(2010·遼寧理，18)為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做實驗，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗結(jié)果．(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)頻數(shù)30402010皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)頻數(shù)1025203015①完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大??；②完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．表3：皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計注射藥物Aa＝b＝注射藥物Bc＝d＝合計n＝[解析]

本小題考查頻率分布直方圖、獨(dú)立性檢驗及2×2列聯(lián)表等統(tǒng)計學(xué)知識．解題思路是(1)繪制頻率分布直方圖，并從圖中觀察出中位數(shù)進(jìn)行比較，(2)從頻率分布表中讀取數(shù)值填制2×2列聯(lián)表并計算K2與臨界值比較，說明是否有關(guān)．解：①可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)．②表3：皰疹面積小于70mm2皰疹面積不小于70mm2合計注射藥物Aa＝70b＝30100注射藥物Bc＝35d＝65100合計10595n＝200由于K2>10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”．[點(diǎn)評]

本題比較新穎，將統(tǒng)計學(xué)與古典概型、組合聯(lián)系在一起，難度不大，但考查知識全面，而且還需要一定的識圖表能力，是今年命題一熱點(diǎn)方向．2．1合情推理與演繹推理1．知識與技能了解合情推理的含義．2．過程與方法能利用歸納推理和類比推理進(jìn)行簡單的推理．體會并認(rèn)識合情推理在教學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．本節(jié)重點(diǎn)：合情推理的定義及歸納推理和類比推理的定義．本節(jié)難點(diǎn)：歸納和類比推理的基本方法．1．歸納推理由某類事物的

具有某些特征，推出該類事物的

都具有這些特征的推理，或者由

概括出

的推理，稱為歸納推理(簡稱

)．簡言之，歸納推理是由

、由

的推理．2．類比推理由兩類對象具有

和其中一類對象的

，推出另一類對象也具有

的推理稱為類比推理(簡稱

)．簡言之，類比推理是由

的推理．部分對象全部對象個別事實一般結(jié)論部分到整體個別到一般某些類似特征某些已知特征這些特征類比特殊到特殊歸納3．合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)

，經(jīng)過

，再進(jìn)行

，然后提出

的推理．我們把它們稱為合情推理．通俗地說，合情推理是指“

”的推理．已有的事實觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比猜想合乎情理[例1]下面各列數(shù)都依照一定規(guī)律排列，在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：(1)1,5,9,13,17，(

)；[解析]

要在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，必須正確地判斷出每列數(shù)所具有的規(guī)律，為此必須進(jìn)行仔細(xì)的觀察和揣摩．(1)考察相鄰兩數(shù)的差：5－1＝4,9－5＝4，13－9＝4,17－13＝4可見，相鄰兩數(shù)之差都是4.按此規(guī)律，括號里的數(shù)減去17等于4，所以應(yīng)填入括號里的數(shù)是17＋4＝21.(4)分成兩列數(shù)：奇數(shù)位的數(shù)為32,16，(

),4,2.可見前面括號中應(yīng)填入8；偶數(shù)位的數(shù)為31,26，(

),16,11.括號中的數(shù)應(yīng)填入21.所以兩括號內(nèi)依次填入8,21.[點(diǎn)評]

從上面例子可以看到，觀察時不可把眼光停留在某一點(diǎn)上固定不變，而要注意根據(jù)問題特點(diǎn)不斷調(diào)整自己觀察的角度，以利于觀察出有一定隱蔽性的內(nèi)在規(guī)律．[例2]如圖，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，同時將圓分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分．那么：(1)在圓內(nèi)畫5條線段，它們彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？(2)猜想：圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①在圓內(nèi)畫線段；②所畫線段彼此分割線段的條數(shù)和將圓分割的部分的個數(shù)．解答本題可先從幾個特殊的數(shù)值入手，再根據(jù)給出的數(shù)值特點(diǎn)進(jìn)行歸納猜想．[點(diǎn)評]在幾何中隨著點(diǎn)、線、面等元素的增加，探究相應(yīng)的線段、交點(diǎn)、區(qū)域部分等的增加情況常用歸納推理解決，分析時遞推關(guān)系的尋找是重點(diǎn)．

請運(yùn)用類比思想，對于空間中的四面體V－BCD，存在什么類似的結(jié)論？并用體積法證明．[解析]

考慮到用“面積法”證明結(jié)論時，把O點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)連結(jié)，把三角形分成三個三角形，利用面積相等來證明相應(yīng)結(jié)論．在證明四面體中類似結(jié)論時，可考慮利用體積的方法相應(yīng)結(jié)論．[點(diǎn)評]在類比推理中，找出兩類事物之間的相似性或一致性，特別是由平面向空間類比中，注意研究空間和平面的根本區(qū)別．[例4]在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N＋)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式________成立．[答案]

b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)[解析]

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比．一種較本質(zhì)的認(rèn)識是：等差數(shù)列→用減法定義→性質(zhì)用加法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq)；等比數(shù)列→用除法定義→性質(zhì)用乘法表述(若m、n、p、q∈N＋，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq)．由此，猜想本題的答案為：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．事實上，對等差數(shù)列{an}，如果ak＝0，則an＋1＋a2k－1－n＝an＋2＋a2k－2－n＝…＝ak＋ak＝0.所以有：a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋an＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2k－2－n＋a2k－1－n)(n<2k－1，n∈N＋)．從而對等比數(shù)列{bn}，如果bk＝1，則有等式：b1b2…bn＝b1b2…b2k－1－n(n<2k－1，n∈N＋)成立．[點(diǎn)評]本題是一道小巧而富于思考的妙題，主要考查觀察分析能力，抽象概括能力，考查運(yùn)用類比思想方法由等差數(shù)列{an}而得到等比數(shù)列{bn}的新的一般性的結(jié)論．一、選擇題1．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 (

)A．28

B．32

C．33

D．27[答案]

B[解析]

由以上各數(shù)可得每兩個數(shù)之間依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝322．下列說法正確的是 (

)A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤[答案]

B[解析]

合情推理的結(jié)論不一定正確，是否正確需進(jìn)一步證明且合情推理有前提，故A、D錯，合情推理能猜想，故C錯．3．若把正整數(shù)按下圖所示的規(guī)律排序，是從2010到2012的箭頭方向依次為 (

)

1

4→5

8→9

12

↓

↑

↓

↑

↓

↑

……

2→3

6→710→11A．↓→

B．→↓

C．↑→

D．→↑[答案]

D[解析]

根據(jù)箭頭方向找規(guī)律，每相鄰四個數(shù)字，箭頭方向相同，2010÷4＝502余2，故同數(shù)字2處的方向，故選D.4．下列說法中正確的是 (

)A．合情推理就是正確的推理B．合情推理就是類比推理C．歸納推理是從一般到特殊的推理過程D．類比推理是從特殊到特殊的推理過程[答案]

D二、填空題5．由數(shù)列1,10,100,1000，…猜想，數(shù)列的第n項可能是______．[答案]

10n－1.[解析]

∵1＝100,10＝101,100＝102,1000＝103，……，∴可猜想第n項是10n－16．正方形的面積為邊長的平方，則在立體幾何中，與之類比的圖形是______，結(jié)論是________________．[答案]

正方體正方體的體積為棱長的立方[解析]

利用類比思想可知平面圖形與空間幾何體對應(yīng)，故正方形類比正方體，面積與體積類比．1．知識與技能掌握演繹推理的基本模式，體會它們的重要性，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理．2．過程與方法了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．本節(jié)重點(diǎn)：演繹推理的含義及四種演繹推理規(guī)則．本節(jié)難點(diǎn)：演繹推理的應(yīng)用．一、演繹推理從

出發(fā)，推出

情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理，簡言之，演繹推理是由

的推理．二、三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的

；(2)小前提——所研究的

；(3)結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的

．一般性的原理某個特殊一般到特殊一般原理特殊情況判斷三、三段論的表示形式大前提：M是P.小前提：S是M.結(jié)論：

.利用集合知識說明“三段論”：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的一個子集，那么

.S是PS中所有元素也都具有性質(zhì)P[例1]試將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)；(2)等差數(shù)列的通項公式具有形式an＝pn＋q(p，q是常數(shù))，數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式．[分析]

分清三段論的大前提、小前提、結(jié)論是解題的關(guān)鍵．[解析]

(1)大前提：一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；小提提：函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)；結(jié)論：y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．(2)大前提：等差數(shù)列的通項公式具有形式an＝pn＋q；小前提：數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列；結(jié)論：數(shù)列1,2,3，…，n的通項具有an＝pn＋q的形式．[點(diǎn)評]

分清楚“三段論”中的大前提、小前提、結(jié)論，要抓住它們的含義，即大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．[例2]已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，M，N分別是△ABD和△BCD的重心．求證：MN∥平面ACD.[證明]

如圖，連結(jié)BM，BN并延長分別交AD，DC于P，Q兩點(diǎn)，連結(jié)PQ.[點(diǎn)評]

本題為一個三段論推理的問題，首先是在△PBQ中，由BM

MP＝21，BN

NQ＝21，得MN∥PQ.又有MN?平面ACD，PQ?平面ACD，從而有MN∥平面ACD.為了養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砹?xí)慣、提高抽象思維能力，應(yīng)詳細(xì)地分析幾何推理求證問題的每一個證明步驟，找準(zhǔn)大前提、小前提和結(jié)論，但書寫起來非常繁瑣，一般可以從實際出發(fā)，省略大前提或小前提，采用簡略的符號化寫法．一、選擇題1．演繹推理的特征為 (

)A．前提為真時，結(jié)論一定真B．前提為真時，結(jié)論可能真C．前提為真時，結(jié)論一定假D．前提為真時，結(jié)論不確定真假[答案]

A2．下列說法中正確的是 (

)A．演繹推理和合情推理都可以用于證明B．合情推理不能用于證明C．演繹推理不能用于證明D．以上都不對[答案]

B[答案]

C4．在不等邊三角形ABC中，a為最長邊，要想得到其對角∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足的條件是(

)A．a(chǎn)2<b2＋c2

B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2>b2＋c2

D．a(chǎn)2≤b2＋c2[答案]

C6．(2010·徐州高二檢測)已知推理：“因為△ABC的三邊長依次為3,4,5，所以△ABC是直角三角形”，若將其恢復(fù)成完整的三段論，則大前提是________________________．[答案]

一條邊的平方等于其它兩邊平方和的三角形是直角三角形．三、解答題7．如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且CD＝2AB，E為PC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PDC⊥平面PAD(2)求證：BE∥平面PAD.[證明]

(1)由PA⊥底面ABCD知PA⊥CD.又因為CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.因為CD?平面PDC，所以平面PDC⊥平面PAD.

(2)如圖，取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，由E為PC的中點(diǎn)，得EF為△PDC的中位線，則EF∥CD，且CD＝2EF.又因為CD＝2AB，故EF＝AB，故AB∥CD，得EF∥AB，所以四邊形ABEF為平行四邊形，則BE∥AF.又因為BE?平面PAD，AF?平面PAD，所以BE∥平面PAD.2．2直接證明與間接證明1．知識與技能了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)．2．過程與方法進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異．本節(jié)重點(diǎn)：綜合法和分析法的概念及思考過程、特點(diǎn)．本節(jié)難點(diǎn)：運(yùn)用綜合法和分析法解答問題．從實際問題中命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)果的真實性，從證明過程上認(rèn)識分析法和綜合法的推理過程，學(xué)會用分析法和綜合法證明實際問題，并且理解分析法和綜合法之間的內(nèi)在聯(lián)系．綜合法分析法定義利用

和某些數(shù)學(xué)

、

、

等，經(jīng)過一系列的

，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法從要證明的

，逐步尋求使它成立的

，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件)、

、

、

等)，這種證明方法叫做分析法框圖表示(P表示

、已有的

、

、

等，Q表示

)特點(diǎn)順推證法或由因?qū)Ч嫱谱C法或執(zhí)果索因法已知條件定義定理公理推理論證結(jié)論出發(fā)充分條件定理定義公理已知條件定義定理公理所要證明的結(jié)論[點(diǎn)評]

1.綜合法證明問題的步驟第一步：分析條件，選擇方向．仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法．第二步：轉(zhuǎn)化條件，組織過程．把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化．組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路．第三步：適當(dāng)調(diào)整，回顧反思．解題后回顧解題過程，可對部分步驟進(jìn)行調(diào)整，并對一些語言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選取．[點(diǎn)評]

(1)分析法證明不等式的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論；(2)分析法證明不等式的思維是從要證的不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式；(3)用分析法證明數(shù)學(xué)命題時，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”等詞語．[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①a、b、c是不全相等的三個正數(shù)；②所求的不等式是以對數(shù)形式給出且底數(shù)0＜x＜1.解答本題的關(guān)鍵是利用對數(shù)運(yùn)算法則和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化成證明整式不等式．[點(diǎn)評]綜合法推理清晰，易于書寫，分析法從結(jié)論入手，易于尋找解題思路，在實際證明命題時，常把分析法與綜合法結(jié)合起來使用，稱為分析綜合法，其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論Q；根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論P(yáng)；若由P可推出Q，即可得證．[答案]

D[答案]

B[解析]

∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝a2＋b2＋c2＋2≥3.3．下面敘述正確的是(

)A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法，分析法是間接證法C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的D．綜合法、分析法所用語氣都是假定的[答案]

A[解析]

在分析法中的語氣即有肯定又有否定兩種證明方法均是直接證明．4．A、B為△ABC的內(nèi)角，∠A＞∠B是sinA＞sinB的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]

C[答案]

96．函數(shù)y＝f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小關(guān)系是______．[答案]

f(3.5)＜f(1)＜f(2.5)[解析]

y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，則x＝2是f(x)的對稱軸，又f(x)在(0,2)上為增函數(shù)，∴f(1)＜f(1.5)＝f(2.5)，f(3.5)＝f(0.5)＜f(1)，∴f(3.5)＜f(1)＜f(2.5)1．知識與技能了解反證法是間接證明的一種基本方法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)．2．過程與方法感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用．本節(jié)重點(diǎn)：反證法概念的理解以及反證法的解題步驟．本節(jié)難點(diǎn)：應(yīng)用反證法解決問題．用反證法證明問題，一般由證明p?q，轉(zhuǎn)向證明?q?r?…?t，t與假設(shè)矛盾或與某個真命題矛盾，從而到判斷?q為假，得出q為真．反證法，不是從已知條件去直接證明結(jié)論，而是先否定結(jié)論，在否定結(jié)論的基礎(chǔ)上進(jìn)行演繹推理，導(dǎo)出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性．1．反證法的定義一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過

，最后得出

，因此說明假設(shè)

，從而證明了原命題

，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是

的一種基本方法．2．反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與

矛盾，或與

矛盾，或與定義、公理、

、

矛盾等．正確的推理矛盾錯誤成立間接證明已知條件假設(shè)定理事實[例1]

求證：若兩條平行直線a，b中的一條與平面α相交，則另一條也與平面α相交．[證明]

不妨設(shè)直線a與平面α相交，b與a平行，從而要證b也與平面α相交．假設(shè)b不與平面α相交，則必有下面兩種情況：(1)b在平面α內(nèi)．由a∥b，a?平面α，得a∥平面α，與題設(shè)矛盾．(2)b∥平面α.則平面α內(nèi)有直線b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因為a?平面α，所以a∥平面α，這也與題設(shè)矛盾．綜上所述，b與平面α只能相交．[點(diǎn)評]

直接證明直線與平面相交比較困難，故可考慮用反證法，注意該命題的否定形式不止一種，需一一駁倒，才能推出命題結(jié)論正確．[點(diǎn)評]該命題中有“至少……”，直接方法很難證明，故可采用反證法．類題解法揭示：當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語時，宜用反證法．注意“至少有一個”、“至多有一個”、“都是”的否定形式分別為“一個也沒有”、“至少有兩個”、“不都是”．[例4]求證：當(dāng)x2＋bx＋c2＝0有兩個不相等的非零實數(shù)根時，bc≠0.[證明]

假設(shè)bc＝0，則有三種情況出現(xiàn)：(1)若b＝0，c＝0，方程變?yōu)閤2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，這與已知方程有兩個不相等的實根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程變?yōu)閤2＋c2＝0，但當(dāng)c≠0時x2＋c2≠0與x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程變?yōu)閤2＋bx＝0，方程的根為x1＝0，x2＝－b，這與已知條件：方程有兩個非零實根矛盾．綜上所述，bc≠0.一、選擇題1．“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”的否定為(

)A．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)B．自然數(shù)a，b，c都是偶數(shù)C．自然數(shù)a，b，c中至少有兩個偶數(shù)D．自然數(shù)a，b，c都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù)[答案]

D[解析]

恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)，其二是至少有兩個偶數(shù)．[答案]

C3．命題“三角形中最多只有一個內(nèi)角是直角”的結(jié)論的否定是(

)A．有兩個內(nèi)角是直角B．有三個內(nèi)角是直角C．至少有兩個內(nèi)角是直角D．沒有一個內(nèi)角是直角[答案]

C[解析]

“最多”與“至少”互為否定，“一個”對應(yīng)“兩個”．4．a(chǎn)＋b＞c＋d的必要不充分條件是(

)A．a(chǎn)＞c

B．b＞dC．a(chǎn)＞c且b＞d D．a(chǎn)＞c或b＞d[答案]

D[解析]

A，B是既不充分也不必要條件，C是充分不必要條件，只有D正確，可用反證法證明；若a＞c或b＞d不成立，則a≤c且b≤d，相加得，a＋b≤c＋d，與a＋b＞c＋d矛盾，故條件是必要的．又取a＝10，b＝1，c＝4，d＝8知條件是不充分的．二、填空題5．有下列命題：①空間四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，則這四點(diǎn)必共面；②空間四點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，則這四點(diǎn)不共面；③垂直于同一直線的兩直線平行；④兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形．其中真命題是________．[答案]

①6．和兩條異面直線AB、CD都相交的兩條直線AC、BD的位置關(guān)系是________．[答案]異面章末歸納總結(jié)1．歸納推理和類比推理都是合情推理，歸納推理是由特殊到一般，由部分到整體的推理；后者是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推測未知，都能用于猜測，得出新規(guī)律，但推理的結(jié)論有待于去證明它的正確性．2．演繹推理與合情推理不同，演繹推理是由一般到特殊的推理，是數(shù)學(xué)證明中的基本推理形式，只要前提正確，推理形式正確，得到的結(jié)論就正確．3．合情推理與演繹推理既有聯(lián)系，又有區(qū)別，它們相輔相成，前者是后者的前提，后者證明前者的可靠性．[例1]設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N＋，計算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同時作出歸納推理，并用n＝40驗證猜想是否正確．[解析]

f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù)．于是猜想當(dāng)n取任何非負(fù)整數(shù)時f(n)＝n2＋n＋41的值為質(zhì)數(shù)．因為當(dāng)n＝40時，f(40)＝402＋40＋41＝41×41，所以f(40)為合數(shù)，因此，上面由歸納推理得到的猜想不正確．[例2]如圖①所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊，類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．[解析]

如圖②所示，在四面體P－ABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小，我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.[例3]求證：當(dāng)一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大．[例4]已知a、b>0，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.[證明]

因為b2＋c2≥2bc，a>0，所以a(b2＋c2)≥2abc.又因為c2＋a2≥2ac，b>0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因為a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc.

3．1數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念1．了解數(shù)系從自然數(shù)系到有理數(shù)到實數(shù)再到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想．2．理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示．3．理解復(fù)數(shù)相等的充要條件．本節(jié)重點(diǎn)：1．復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．復(fù)數(shù)的分類．本節(jié)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念及分類，復(fù)數(shù)相等．1．在理解復(fù)數(shù)有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，牢記實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，特別要明確：實數(shù)也是復(fù)數(shù)，要把復(fù)數(shù)與虛數(shù)加以區(qū)別，對于純虛數(shù)bi(b≠0，b∈R)不要只記形式，要注意b≠0.2．復(fù)數(shù)相等的充要條件是本章學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容，是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題的主要方法，在學(xué)習(xí)過程中要深刻體會轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．1．復(fù)數(shù)的概念及代數(shù)表示(1)定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝

.(2)表示：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的

與 ．－1實部虛部3．復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?

.a＝c且b＝d[例1]下列命題中，正確命題的個數(shù)是 (

)①若x，y∈C則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0.A．0

B．1

C．2

D．3[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①題中給出了三個命題；②判斷正確命題的個數(shù)．解答本題只需根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念判斷即可．[答案]

A[解析]

①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件，①是假命題．②由于兩個虛數(shù)不能比較大小，∴②是假命題．③當(dāng)x＝1，y＝i時x2＋y2＝0成立，∴③是假命題．[點(diǎn)評]

1.數(shù)系擴(kuò)充的原則(1)為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實數(shù)集中無解的問題，人們引進(jìn)了一個新數(shù)i，叫做虛數(shù)單位，并且規(guī)定i2＝－1.這樣原數(shù)集中不能解決的問題在新數(shù)集中就能夠解決了．(2)規(guī)定i與實數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行運(yùn)算時，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立，即與原數(shù)集不矛盾．2．關(guān)于復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中注意以下幾點(diǎn)：(1)a，b∈R，否則不是代數(shù)形式．(2)從代數(shù)的形式可判定z是實數(shù)，虛數(shù)還是純虛數(shù)．反之，若z是純虛數(shù)，可設(shè)z＝bi(b≠0，b∈R)；若z是虛數(shù)，可設(shè)z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；若z是復(fù)數(shù)，可設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R).[點(diǎn)評]

①判斷一個含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證參數(shù)值使虛數(shù)表達(dá)式有意義，如果忽略了實部分式中的分母m＋3≠0，就會釀成根本性的錯誤，其次對參數(shù)值的取舍，是取“并”還是“交”，非常關(guān)鍵，多與少都是不對的，解答后進(jìn)行驗算是很必要的．②對于復(fù)數(shù)z＝a＋bi

(a，b∈R)，既要從整體的角度去認(rèn)識它，把復(fù)數(shù)z看成一個整體，又要從實部與虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識它．這是解復(fù)數(shù)問題的重要思路之一．[例3]已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求實數(shù)x，y的值．[點(diǎn)評]找到兩復(fù)數(shù)的實部與虛部后，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，實部與虛部分別相等即可求得x，y的值．[例4]在下列命題中，正確命題的個數(shù)是(

)①兩個復(fù)數(shù)不能比較大??；②z1、z2、z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z3；③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x＝±1；④若a、b是兩個相等的實數(shù)，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)．A．0

B．1

C．2

D．3若a、b是兩個相等的實數(shù)，則a－b＝0，但是當(dāng)a＝b＝0時，a＋b＝0，此時(a－b)＋(a＋b)i是實數(shù)．所以(a－b)＋(a＋b)i不一定是純虛數(shù)，故④不正確．綜上可知：只有①②正確，故選C.[辨析]

兩個復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，錯解①中忽視了這一特殊情況導(dǎo)致錯誤；而錯解②中運(yùn)算的依據(jù)“a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”在復(fù)數(shù)集中是不成立的，例如“由i2＋12＝0，不能推出i＝1＝0.”錯解中忽視了實數(shù)集中的結(jié)論在擴(kuò)充后的復(fù)數(shù)集中不一定成立這個事實，從而導(dǎo)致錯誤．[正解]兩個復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實數(shù)時，是可能比較大小的，故①是不正確的；反例法：“若(i－0)2＋(0－1)2＝0，則i＝1”顯然是錯誤的，故②是不正確的；③④的判斷同錯解．綜上可知：①②③④均不正確，故選A.一、選擇題1．下列結(jié)論錯誤的是(

)A．自然數(shù)集是非負(fù)整數(shù)集B．實數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實數(shù)集C．實數(shù)集與虛數(shù)集的交集是{0}D．純虛數(shù)集與實數(shù)集的交集為空集[答案]

C[解析]

實數(shù)集與虛數(shù)集的交集為．[答案]

C3．若復(fù)數(shù)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是實數(shù)，則a＝(

)A．－1 B．1C．±1 D．不存在[答案]

C[解析]

(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)為實數(shù)的充要條件是a2－1＝0，∴a＝±1.二、填空題4．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，則a2＋b2＝______[答案]

55．方程2x2－3x－2＋(x2－5x＋6)i＝0的實數(shù)解為x＝__________.[答案]

2三、解答題6．實數(shù)m分別取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．1．理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，掌握復(fù)數(shù)的幾何意義．2．能夠進(jìn)行復(fù)數(shù)模的計算．本節(jié)重點(diǎn)：1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來表示復(fù)數(shù)以及它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系．2．掌握實軸、虛軸、模等概念．3．掌握用向量的模來表示復(fù)數(shù)的模的方法．本節(jié)難點(diǎn)：1.在復(fù)平面內(nèi)求點(diǎn)的軌跡等問題．2．對復(fù)數(shù)幾何意義的理解．?dāng)?shù)和形的有機(jī)結(jié)合，是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的重要途徑之一，在學(xué)習(xí)過程中要認(rèn)真體會數(shù)形結(jié)合思想在本章學(xué)習(xí)中的重要性．1．復(fù)平面的定義建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做

，y軸叫做

，實軸上的點(diǎn)都表示實數(shù)，除了

外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．實軸虛軸原點(diǎn)2．復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量間的對應(yīng)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用點(diǎn)

或向量

表示．Z(a，b)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與點(diǎn)Z(a，b)和向量O的一一對應(yīng)關(guān)系如下：[例1]在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對應(yīng)點(diǎn)(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上．分別求實數(shù)m的取值范圍．[解析]

復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的實部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2.(1)由題意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.[點(diǎn)評]復(fù)數(shù)的幾何意義包含兩種：(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系：每一個復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的一個點(diǎn)一一對應(yīng)，兩者聯(lián)系：復(fù)數(shù)的實部、虛部分別是對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，從而討論復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)的位置，關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實、虛部，由條件列出相應(yīng)的方程(或不等式組)．(2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)關(guān)系：當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時，該向量可由終點(diǎn)唯一確定，從而可與該終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，借助平面向量的有關(guān)知識，可以更好的理解復(fù)數(shù)的相關(guān)知識．[分析]

由題目可獲取以下主要信息：①z1，z2均已知；②求|z1|、|z2|，并比較模的大?。獯鸨绢}可先確定復(fù)數(shù)的實、虛部，再代入公式即可．[例4]求適合下列條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上表示的圖形．(1)2≤|z|<3；(2)z＝x＋yi，x<0，y>0，且x2＋y2<9.[點(diǎn)評]復(fù)數(shù)的幾何意義實現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，使復(fù)數(shù)在平面問題中得到廣泛的應(yīng)用．[例5]已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是(

)A．1個圓 B．線段C．2個點(diǎn) D．2個圓[誤解]

由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故選D.[辨析]

錯解中忽視了“|z|”的幾何意義是“點(diǎn)Z到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離”導(dǎo)致錯誤.

[正解]由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1應(yīng)舍去，故應(yīng)選A.一、選擇題1．在下列結(jié)論中正確的是 (

)A．在復(fù)平面上，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸B．任何兩個復(fù)數(shù)都不能比較大小C．如果實數(shù)a與純虛數(shù)ai對應(yīng)，那么實數(shù)集與純虛數(shù)集是一一對應(yīng)的D．－1的平方根是i[答案]

A[解析]

兩個虛數(shù)不能比較大小排除B，當(dāng)a＝0時，ai是實數(shù)排除C，－1的平方根是±i排除D，故選A.2．復(fù)數(shù)z＝a2－b2＋(a＋|a|)i

(a、b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是(

)A．|a|＝|b|

B．a(chǎn)<0且a＝－bC．a(chǎn)>0且a≠b D．a(chǎn)>0且a＝±b[答案]

D[解析]

a2－b2＝0，且a＋|a|≠0.[答案]

A[解析]

(x－1)2＋(2x－1)2<10.二、填空題4．設(shè)復(fù)數(shù)z的模為17，虛部為－8，則復(fù)數(shù)z＝______.[答案]

±15－8i5．已知|z|＝3，且z＋3i是純虛數(shù)，則z＝________.[答案]

3i3．2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算1．知識與技能掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法、運(yùn)算法則，并熟練地進(jìn)行化簡、求值．2．過程與方法了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加法、減法運(yùn)算的幾何意義．本節(jié)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算．本節(jié)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義．1．復(fù)數(shù)加法的幾何意義復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則(或三角形法則)．3．對復(fù)數(shù)加減法幾何意義的理解它包含兩個方面：一方面是利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理，另一方面對于一些復(fù)數(shù)的運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．1．復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1＋z2＝

，z1－z2＝

.(2)對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝

，(z1＋z2)＋z3＝

(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)iz2＋z1z1＋(z2＋z3)2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖：設(shè)復(fù)數(shù)z1，