南航《矩陣論》第3章Jordan-標(biāo)準(zhǔn)形

教學(xué)目的了解多項(xiàng)式矩陣及其初等變換理解

矩陣的定義及不變因子掌握用初等變換的方法化

矩陣為Smith標(biāo)準(zhǔn)形理解行列因子、初等因子及相關(guān)理論掌握求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法了解Cayley-Hamilton定理

本章通過(guò)矩陣在相似變換下的標(biāo)準(zhǔn)型繼續(xù)研究線性變換的結(jié)構(gòu)第一節(jié)內(nèi)容自學(xué)

矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)乘運(yùn)算同數(shù)字矩陣的對(duì)應(yīng)運(yùn)算有相同的運(yùn)算定律。數(shù)字矩陣行列式的定義也可應(yīng)用到

矩陣，且性質(zhì)相同。

例

n階數(shù)字矩陣A的特征矩陣

I-A是

矩陣。

例如n階數(shù)字矩陣A的特征矩陣

I-A秩為n。因?yàn)閨

I-A|是

的n次多項(xiàng)式，所以

I-A的秩為n，即

I-A滿秩。例3.2.1

求

矩陣的Smith標(biāo)準(zhǔn)形

解題思路：經(jīng)過(guò)一系列初等行變換或初等列變換使得左上角的元素次數(shù)逐漸降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。

解

不變因子：解：將其化成Smith標(biāo)準(zhǔn)形。例3.2.2解

由于(

+1,

)=1,所以D1(

)=1

其余的二階子式都是0，所以D2(

)=

(

+1)

最后

D3(

)=det(A(

))=

2(

+1)2例3.3.2

一般來(lái)說(shuō)應(yīng)用行列式因子求不變因子較復(fù)雜，但對(duì)一些特殊的矩陣先求行列式因子再求不變因子反而簡(jiǎn)單。解

由于A(

)的一個(gè)m-1階子式故Dm-1(

)=1,根據(jù)行列式因子的依次整除性，有

D1(

)=D2(

)=…=Dm-2(

)=1

而Dm(

)=(

-a)m，因此A(

)的不變因子為

d1(

)=d2(

)=…=dm-1(

)=1,dm(

)=(

-a)m例如果矩陣的不變因子為則A(

)的初等因子為

反過(guò)來(lái)，如果知道了A(

)的秩和初等因子，因?yàn)锳(

)的秩確定了不變因子的個(gè)數(shù)，則同一個(gè)一次因式的方冪做成的初等因子中，方次最高的必在dr(

)的分解中，方此次高的必在dr-1(

)的分解中，如此順推，可知屬于同一一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中唯一確定。例如如果的秩為4，且其初等因子為則A(

)的不變因子依次為(

-1)2,(

-1)3,(

-i)3,(

+i)3d4(

)=

2

(

-1)3

(

-i)3

(

+i)3d3(

)=

(

-1)2d2(

)=

(

-1)d1(

)=1對(duì)塊對(duì)角矩陣，我們有定理3.3.7

設(shè)矩陣為塊對(duì)角形矩陣，則與的初等因子的全體是的全部初等因子。該定理可以推廣到n個(gè)分塊的情形例3.3.3求的Smith標(biāo)準(zhǔn)型解

記那么因?yàn)锳1(

)的初等因子為

,+1;A2(

)的初等因子為,A3(

)的初等因子為,-1,+1；由上面的定理可知A(

)的初等因子為

所以A(

)的不變因子為因此的Smith標(biāo)準(zhǔn)形為例3.5