高等數(shù)學(xué)BI(2022級上)學(xué)習(xí)通章節(jié)答案期末考試題庫2023年

高等數(shù)學(xué)BI(2022級上)學(xué)習(xí)通超星課后章節(jié)答案期末考試題庫2023年計(jì)算下列極限：;

答案:

=,又,故==1;

計(jì)算下列極限：；

答案:

=-1；

求下列曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：.

答案:

函數(shù)的定義域?yàn)?,,令得在處不存在，在，曲線是凸的；在，曲線是凹的；在，曲線是凹的；故凹區(qū)間為,，凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為

求下列曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：；

答案:

函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)在處不可導(dǎo)，但時(shí)，曲線是凸的，時(shí)，曲線是凹的.故凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點(diǎn)為；

證明方程有且只有一個(gè)小于1的正根.

答案:

令，因在閉區(qū)間連續(xù)，且.根據(jù)零點(diǎn)定理在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),即方程至少有一個(gè)小于1的正根.在內(nèi)，所以在內(nèi)單調(diào)增加，即曲線在內(nèi)與軸至多只有一個(gè)交點(diǎn).綜上所述，方程有且只有一個(gè)小于1的正根.

當(dāng)時(shí)，應(yīng)用單調(diào)性證明下列不等式成立：.

答案:

設(shè)則在上連續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，在上單調(diào)增加，當(dāng)時(shí)，即又設(shè)因?yàn)樵谏线B續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，又故當(dāng)時(shí)，所以綜上，當(dāng)時(shí)，有，證畢.

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：.

答案:

,,令解得在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)減少；在內(nèi)，函數(shù)單調(diào)增加.

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：；

答案:

,解方程得，在內(nèi)，在內(nèi)單調(diào)減少；在內(nèi)，在單調(diào)增加.

函數(shù)在處()

答案:

連續(xù)但不可導(dǎo)；

函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在，是在可導(dǎo)的()

答案:

必要但非充分條件；

設(shè),可導(dǎo),求

答案:

=

設(shè)函數(shù)是定義在處處可導(dǎo)的奇函數(shù),試用羅爾定理證對任意正數(shù)a,存在,使.

答案:

設(shè),因處處可導(dǎo),則在上滿足:上連續(xù),上可導(dǎo),且故由羅爾中值定理可知,至少存在一點(diǎn)使即.

求由下列曲線圍成的平面圖形繞指定坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：，繞y軸；

答案:

，dx改為dy

已知，求下列極限：

答案:

=

計(jì)算下列極限：;

答案:

.

已知可導(dǎo)，求下列函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)：.

答案:

=

已知可導(dǎo)，求下列函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)：；

答案:

=

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

答案:

=.

求下列不定積分：

答案:

.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；

答案:

=；

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；

答案:

=

求下列極限:.

答案:

.

當(dāng)時(shí)，無窮小量與（1）；（2）是否同階？是否等價(jià)？

答案:

因?yàn)椋耘c是同階無窮小，因?yàn)?，故無窮小量與是等價(jià)無窮小。

證明方程至少有一個(gè)正根,并且它不大于.

答案:

設(shè).因?yàn)楹瘮?shù)在閉區(qū)間上連續(xù),又有,故.根據(jù)零點(diǎn)存在定理知,至少存在一點(diǎn),使,即

.因此,方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根,即方程至少有一個(gè)正根,并且它不大于

。

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：；

答案:

=;

求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：，求.

答案:

，故

在下列函數(shù)中,當(dāng)a取什么值時(shí)函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)?

答案:

在區(qū)間是連續(xù)函數(shù),因此只要在時(shí)連續(xù),就在其定義域內(nèi)連續(xù)。因?yàn)?,所以只要,就在其定義域內(nèi)連續(xù)

是函數(shù)的();

答案:

跳躍間斷點(diǎn)

求等邊雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率,并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程.

答案:

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得切線斜率為所求切線方程為即法線方程為即

討論函數(shù)在點(diǎn)和處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.

答案:

(1)考察處的左、右導(dǎo)數(shù)==,所以，函數(shù)在處不可導(dǎo)；又,所以，函數(shù)在處連續(xù).(2)考察處的左、右導(dǎo)數(shù)==所以，函數(shù)在處的可導(dǎo)，且.

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4);(5)；(6)

答案:

(1)；(2)；(3)；(4);(5)；(6)

設(shè)函數(shù)在連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()

答案:

若

求下列不定積分：；

答案:

于是所以.

求下列不定積分：(1)；(2)；

答案:

(1).(2).

求下列不定積分：(1)；(2)；

答案:

(1).(2).

求下列不定積分：(1)；(2)．

答案:

(1).(2).

解答下列各題：設(shè)為的一個(gè)原函數(shù)，求；

答案:

由題意有,即,故,所以

解答下列各題：某商品的需求量是價(jià)格的函數(shù)，該商品的最大需求量為(即時(shí)),已知需求量的變化率(邊際需求)為,求需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系．

答案:

由得將時(shí),代入上式得；所以需求量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系是．

求下列不定積分：；

答案:

；

求下列不定積分：．

答案:

令，則，所以．

判斷函數(shù)的單調(diào)性