常用概率分布

常用概率分布第一頁，共32頁。例如，擲一枚骰子，出現(xiàn)的結(jié)果可能是1點(diǎn)，2點(diǎn)，…，6點(diǎn)，其結(jié)局為一個(gè)隨機(jī)變量。例如，用針灸治療頭痛患者3人，治療結(jié)果可能是1人有效，2人有效，3人有效，也可能是無效。治療結(jié)果為一個(gè)隨機(jī)變量。第一頁第二頁，共32頁。表4-1擲一枚骰子結(jié)局的概率分布可能的結(jié)局1點(diǎn)2點(diǎn)3點(diǎn)4點(diǎn)5點(diǎn)6點(diǎn)概率1/61/61/61/61/61/6第二頁第三頁，共32頁。第一節(jié)二項(xiàng)分布（binomialdistribution)及其應(yīng)用一、二項(xiàng)分布的概念和特征例：設(shè)有一口袋，內(nèi)裝形狀、重量完全相同的黑球和白球，各占80%和20%。攪勻后從該口袋中摸出一球，記錄顏色，放回?cái)噭颍倜磺?，…，如此重?fù)5次。若把摸到黑球的次數(shù)作為一個(gè)隨機(jī)變量X。求該隨機(jī)變量的概率分布。第三頁第四頁，共32頁。摸球試驗(yàn)中摸到黑球的概率分布X的可能取值012345概率P(x)0.00030.00640.05120.20480.40960.3277第四頁第五頁，共32頁。一是每次試驗(yàn)結(jié)果，只能是兩種對立的結(jié)果之一。即每次摸球只有兩種可能結(jié)果，或黑球或白球。二是每次試驗(yàn)的條件不變，發(fā)生某種結(jié)果的概率是固定不變的。即每次試驗(yàn)摸到黑球的概率是固定的。三是每次試驗(yàn)獨(dú)立，即一次試驗(yàn)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果與前面已出現(xiàn)的結(jié)果無關(guān)。即各次摸球是彼此獨(dú)立的。Bernoulli試驗(yàn)序列：滿足以上三個(gè)條件的n次試驗(yàn)構(gòu)成的序列。實(shí)際上，醫(yī)學(xué)研究中很多試驗(yàn)都能滿足上述三個(gè)條件，例如用同種屬、同性別且體重相近的大白鼠作某藥物一定劑量的毒性試驗(yàn)；某新療法臨床試驗(yàn)觀察患者是否治愈；觀察某指標(biāo)的化驗(yàn)結(jié)果是否呈陽性。第五頁第六頁，共32頁。

如果每一次試驗(yàn)只有陽性或陰性兩種可能結(jié)果；每次試驗(yàn)陽性結(jié)果的發(fā)生概率均為π，陰性結(jié)果的發(fā)生概率為１－π；每次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的，那么重復(fù)n次實(shí)驗(yàn)，發(fā)生陽性結(jié)果的次數(shù)X的概率分布為二項(xiàng)分布，記為B(X;n,π)。恰好有Ｘ例陽性結(jié)果的概率為第六頁第七頁，共32頁。則摸出黑球次數(shù)的可能結(jié)果及其概率如下表所示第七頁第八頁，共32頁。上例中離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)X的可能取值012345概率P(x)0.00030.00640.05120.20480.40960.3277第八頁第九頁，共32頁。例4-2臨床上用針灸治療某型頭痛，有效的概率為60%，現(xiàn)以該法治療3例，其中兩例有效的概率為多大？分析：治療結(jié)果為有效和無效兩類，每個(gè)患者是否有效不受其他病例的影響，有效概率均為0.6，符合二項(xiàng)分布的條件。因此可用二項(xiàng)分布的概率函數(shù)來求得兩例有效的概率。第九頁第十頁，共32頁。二、二項(xiàng)分布的特征1。二項(xiàng)分布的圖形特征第十頁第十一頁，共32頁。π=0.5時(shí)，不同n值對應(yīng)的二項(xiàng)分布n=3,π=0.5n=10,π=0.5第十一頁第十二頁，共32頁。P0.000.100.200.300.3400123012345n=3,π=0.3n=6,π=0.3第十二頁第十三頁，共32頁。n=10,π=0.301234567第十三頁第十四頁，共32頁。n=20,π=0.301234567891011第十四頁第十五頁，共32頁。二項(xiàng)分布圖的形態(tài)取決于π和n。當(dāng)π=1-π時(shí)，它呈對稱分布。當(dāng)π≠1-π時(shí)，呈偏態(tài)分布。當(dāng)π接近0.5時(shí)，圖形接近對稱；當(dāng)π離0.5愈遠(yuǎn)，對稱性越差，但隨著n的增大，分布趨于對稱。當(dāng)n足夠大，且π不太靠近0或1時(shí)，二項(xiàng)分布逼近正態(tài)分布。一般來說，當(dāng)nπ和n（1-π）都大于5時(shí)，二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布。第十五頁第十六頁，共32頁。2二項(xiàng)分布的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差對于任何二項(xiàng)分布問題，如果每一次實(shí)驗(yàn)出現(xiàn)陽性結(jié)果的概率均為π，進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，出現(xiàn)X次陽性結(jié)果，則第十六頁第十七頁，共32頁。式中是樣本率的標(biāo)準(zhǔn)差，又稱為樣本率的標(biāo)準(zhǔn)誤，它反映率的抽樣誤差的大小。第十七頁第十八頁，共32頁。例4-4已知某地鉤蟲感染率為6.7%,如果隨機(jī)抽查該地150人，記樣本鉤蟲感染率為p,求p的抽樣誤差。本例n=150,π=0.067,第十八頁第十九頁，共32頁。三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用（一）概率估計(jì)例4-5如果某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)觀察當(dāng)?shù)?50人，其中有10人感染鉤蟲的概率有多大？分析計(jì)算：第十九頁第二十頁，共32頁。（二）單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性的次數(shù)至少為k次的概率為二項(xiàng)分布出現(xiàn)陽性的次數(shù)至多為k次的概率為第二十頁第二十一頁，共32頁。例4-6例4-5中某地鉤蟲感染率為13%，隨機(jī)抽查當(dāng)?shù)?50人，其中至多有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有2名感染鉤蟲的概率有多大？至少有20名感染鉤蟲的的概率有多大？至多有2名感染鉤蟲的概率為第二十一頁第二十二頁，共32頁。至少有2名感染鉤蟲的概率為第二十二頁第二十三頁，共32頁。至少有20名感染鉤蟲的概率為第二十三頁第二十四頁，共32頁。三、二項(xiàng)分布資料的假設(shè)檢驗(yàn)（一）樣本率和總體率的比較1.直接計(jì)算概率法：即按二項(xiàng)分布概率函數(shù)，直接求出累積概率，與所定檢驗(yàn)水準(zhǔn)比較，作出檢驗(yàn)推斷。例根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)以常規(guī)療法治某病，其有效率為65％，今用新療法治療該病患者20人，結(jié)果1人無效。問新療法是否較以往療法為優(yōu)？第二十四頁第二十五頁，共32頁。這里65％作為總體有效率，而19/20＝95%是樣本有效率，按以往有效率推算，在20人中全部有效的概率為（0.65）20，19人有效、1人無效的概率為20(0.35)(0.65)19。故20人中最多1人無效的概率為P＝（0.65）20＋20(0.35)(0.65)19＝0.002133<0.05可以認(rèn)為新療法較以往療法為優(yōu)第二十五頁第二十六頁，共32頁。2.正態(tài)近似法當(dāng)n足夠大時(shí)第二十六頁第二十七頁，共32頁。例6-8某醫(yī)院稱治療聲帶白斑的有效率為80%。今統(tǒng)計(jì)前來治療的此類患者60例，其中45例有效，問該醫(yī)院宣稱的療效是否客觀？1.建立檢驗(yàn)假設(shè)第二十七頁第二十八頁，共32頁。第二十八頁第二十九頁，