矩陣范數(shù)課件

矩陣分析主講教師：魏豐北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**

第五章向量與矩陣的范數(shù)定義：

設(shè)是實數(shù)域（或復(fù)數(shù)域）上的維線性空間，對于中的任意一個向量按照某一確定法則對應(yīng)著一個實數(shù)，這個實數(shù)稱為的范數(shù)，記為，并且要求范數(shù)滿足下列運算條件：

（1）非負性：當(dāng)只有且僅有當(dāng)

（2）齊次性：為任意數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**（3）三角不等式：對于中的任意兩個向量都有例：在維線性空間中，對于任意的向量定義北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**證明：都是上的范數(shù)，并且還有引理（Hoider不等式）：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**則其中且。引理（Minkowski不等式）：設(shè)則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**其中實數(shù)。幾種常用的范數(shù)定義：設(shè)向量，對任意的數(shù)，稱為向量的范數(shù)。常用的范數(shù)：（1）1－范數(shù)

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**（2）2－范數(shù)也稱為歐氏范數(shù)。（3）－范數(shù)定理：

證明：令，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**于是有另一方面北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**故由此可知定義：設(shè)是維線性空間上定義的兩種向量范數(shù)，如果存在兩個與無關(guān)的正數(shù)使得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定理：有限維線性空間上的任意兩個向量范數(shù)都是等價的。利用向量范數(shù)可以去構(gòu)造新的范數(shù)。例：設(shè)是上的向量范數(shù)，且，則由所定義的是上的向量范數(shù)。例：設(shè)數(shù)域上的維線性空間，北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**為其一組基底，那么對于中的任意一個向量可唯一地表示成又設(shè)是上的向量范數(shù)，則由所定義的是上的向量范數(shù)。

矩陣范數(shù)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定義：對于任何一個矩陣，用表示按照某一確定法則與矩陣相對應(yīng)的一個實數(shù)，且滿足（1）非負性：當(dāng)只有且僅有當(dāng)（2）齊次性：為任意復(fù)數(shù)。（3）三角不等式：對于任意兩個同種形狀矩陣都有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**（4）矩陣乘法的相容性：對于任意兩個可以相乘的矩陣，都有那么我們稱是矩陣的范數(shù)。例1：對于任意，定義可以證明如此定義的的確為矩陣的范數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**證明：只需要驗證此定義滿足矩陣范數(shù)的四條性質(zhì)即可。非負性，齊次性與三角不等式容易證明。現(xiàn)在我們驗證乘法的相容性。設(shè)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例2：設(shè)矩陣，證明：是矩陣范數(shù)。證明：非負性，齊次性和三角不等式容易證得。現(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。設(shè)，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**因此為矩陣的范數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例3：對于任意，定義可以證明也是矩陣的范數(shù)。我們稱此范數(shù)為矩陣的Frobenious范數(shù)。證明：此定義的非負性，齊次性是顯然的。利用Minkowski不等式容易證明三角不等式?，F(xiàn)在我們驗證乘法的相容性。設(shè)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**于是有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例4：對于任意，定義證明如此定義的是矩陣的范數(shù)。證明：首先注意到這樣一個基本事實，即由一個例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**Frobenious范數(shù)的性質(zhì)：（1）如果，那么（2）（3）對于任何階酉矩陣與階酉矩陣北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**都有等式關(guān)于矩陣范數(shù)的等價性定理。定理：設(shè)是矩陣的任意兩種范數(shù)，則總存在正數(shù)使得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**

誘導(dǎo)范數(shù)定義：設(shè)是向量范數(shù)，是矩陣范數(shù)，如果對于任何矩陣與向量都有則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。例1：矩陣的Frobenius范數(shù)與向量的2-范數(shù)是相容的.證明:因為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**根據(jù)Hoider不等式可以得到北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**于是有例2：設(shè)是向量的范數(shù)，則滿足矩陣范數(shù)的定義，且是與向量范相容的矩陣范數(shù)。證明：首先我們驗證此定義滿足范數(shù)的四條性質(zhì)。非負性，齊次性與三角不等式易證?，F(xiàn)在考慮矩陣范數(shù)的相容性。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**設(shè)，那么因此的確滿足矩陣范數(shù)的定義。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**最后證明與是相容的。由上面的結(jié)論可知這說明與是相容的。定義：上面所定義的矩陣范數(shù)稱為由向量范數(shù)所誘導(dǎo)的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)。由北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**向量P--范數(shù)所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為矩陣P--范數(shù)。即常用的矩陣P--范數(shù)為，和。定理：設(shè)，則（1）我們稱此范數(shù)為矩陣的列和范數(shù)。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**（2）

表示矩陣的第個特征值。我們稱此范數(shù)為矩陣的譜范數(shù)。（3）我們稱此范數(shù)為矩陣的行和范數(shù)。

例1：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**計算，，和。解：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**因為所以。練習(xí)：設(shè)或北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**分別計算這兩個矩陣的，，和。例2：證明：對于任何矩陣都有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**如何由矩陣范數(shù)構(gòu)造與之相容的向量范數(shù)？定理：設(shè)是矩陣范數(shù)，則存在向量范數(shù)使得證明：對于任意的非零向量，定義向量范數(shù)，容易驗證此定義滿足向量范數(shù)的三個性質(zhì)，且北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例：已知矩陣范數(shù)求與之相容的一個向量范數(shù)。解：取。設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**那么矩陣的譜半徑及其性質(zhì)定義：設(shè)，的個特征值為，我們稱為矩陣的譜半徑。例1：設(shè)，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**這里是矩陣的任何一種范數(shù)。例2：設(shè)是一個正規(guī)矩陣，則證明：因為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**于是有例3：設(shè)是上的相容矩陣范數(shù)。證明：（1）

（2）為可逆矩陣，為的特征值則有北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例5：如果，則均為可逆矩陣，且這里是矩陣的算子范數(shù)。

矩陣序列與極限定義：設(shè)矩陣序列，其中北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**，如果個數(shù)列都收斂，則稱矩陣序列收斂。進一步，如果那么我們稱矩陣為矩陣序列的極限。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例：如果設(shè)，其中那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定理：矩陣序列收斂于的充分必要條件是其中為任意一種矩陣范數(shù)。證明：取矩陣范數(shù)必要性：設(shè)

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**那么由定義可知對每一對都有從而有上式記為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**充分性：設(shè)那么對每一對都有即北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**故有現(xiàn)在已經(jīng)證明了定理對于所設(shè)的范數(shù)成立，如果是另外一種范數(shù)，那么由范數(shù)的等價性可知北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**這樣，當(dāng)時同樣可得因此定理對于任意一種范數(shù)都成立。同數(shù)列的極限運算一樣，關(guān)于矩陣序列的極限運算也有下面的性質(zhì)。（1）一個收斂的矩陣序列的極限是唯一的。（2）設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**則（3）設(shè)，其中，那么（4）設(shè)，其中

北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**那么（5）設(shè)，且，均可逆，則也收斂，且例1：若對矩陣的某一范數(shù)，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室*