第五章：線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)1

第五章線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)

斷裂力學(xué)的核心內(nèi)容從這一章我們正式開(kāi)始講授，其學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)就是我們前面講授的彈性力學(xué)的有關(guān)知識(shí)?！?.1引言§5.2柯洛索夫—Muskhelishvili應(yīng)力函數(shù)§5.3Westergaard應(yīng)力函數(shù)§5.4Ⅰ型裂紋§5.5Ⅱ型裂紋§5.6Ⅲ型裂紋§5.7疊加原理的應(yīng)用§5.8應(yīng)力強(qiáng)度因子與斷裂韌度應(yīng)力強(qiáng)度因子的基本概念斷裂韌性應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算§5.9無(wú)限大板中裂紋體受集中力及集中力偶作用時(shí)的應(yīng)力強(qiáng)度因子§5.10其它一些情況下求應(yīng)力強(qiáng)度因子無(wú)限大板中集中力作用于裂紋上表面無(wú)限大板中相等的集中力作用于裂紋上下表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)上無(wú)限大板中裂紋面上作用對(duì)稱(chēng)于x、y軸的集中力無(wú)限大板中裂紋面上作用對(duì)稱(chēng)于x、y分布載荷無(wú)限大板中裂紋面上受對(duì)稱(chēng)于x軸的任意分布載荷的作用有限寬板中心裂紋受無(wú)限遠(yuǎn)分布載荷的作用有限寬板中邊緣裂紋受無(wú)限遠(yuǎn)分布載荷的作用有限寬板中心裂紋受有限遠(yuǎn)對(duì)稱(chēng)于x軸點(diǎn)載荷的作用應(yīng)用疊加原理求K的例子－單邊受無(wú)限遠(yuǎn)分布力和裂紋面單邊受點(diǎn)力的作用無(wú)限大彈性體中有一圓盤(pán)形裂紋,無(wú)限遠(yuǎn)處在垂直于裂紋面的方向上作用均勻拉應(yīng)力§5.11能量釋放率及其與應(yīng)力強(qiáng)度因子間的關(guān)系基本概念常位移情形常載荷情形一般的情況下貝克納爾公式G與K之間的關(guān)系裂紋應(yīng)變能小結(jié)§5.12裂紋應(yīng)力場(chǎng)的作用范圍5.2柯洛索夫—Muskhelishvili應(yīng)力函數(shù)

5.2.1裂紋的三種基本類(lèi)型圖5.1裂紋的三種基本類(lèi)型(圖中箭頭表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向)

I型裂紋代表在垂直于裂紋面的拉應(yīng)力作用下，裂紋表面位移垂直于裂紋面的情況，所以又稱(chēng)之為張開(kāi)型。II型及III型裂紋代表在剪應(yīng)力作用下，裂紋表面互相滑移的情形，稱(chēng)之為剪切型裂紋。其中II型裂紋稱(chēng)為面內(nèi)剪切型裂紋；III型裂紋稱(chēng)之為面外剪切型或反平面裂紋。5.2.2柯洛索夫—Muskhelishvili函數(shù)5.2.1.1

I型裂紋圖5.2單向拉伸的中心穿透裂紋此兩式為引入之解析函數(shù)，需驗(yàn)證是否滿(mǎn)足邊界條件。代入柯洛索夫公式就整個(gè)大平板而言就上述推導(dǎo)，證明了內(nèi)外邊界條件都是滿(mǎn)足的。就裂紋面而言5.2.1.2II型裂紋圖5.4II型裂紋平板邊界條件裂紋表面邊界條件此引入之解析函數(shù)，滿(mǎn)足上述邊界條件。5.3Westergaard應(yīng)力函數(shù)

Westergaard(1939)定義了一個(gè)復(fù)應(yīng)函數(shù)，設(shè)為解析函數(shù)。記，…，為其導(dǎo)數(shù)，，…，表示它的積分。根據(jù)解析函數(shù)的性質(zhì)，其導(dǎo)數(shù)和積分仍為解析函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量之間的關(guān)系應(yīng)滿(mǎn)足(3.15)式。這樣，應(yīng)力函數(shù)就滿(mǎn)足了雙調(diào)和方程的條件。5.4I型裂紋對(duì)I型裂紋，Westergaard提出的應(yīng)力函數(shù)為（3.15）（3.15）應(yīng)力的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式位移的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式

稱(chēng)為I型裂紋的Westergaard函數(shù)。圖5.2所示的問(wèn)題，其Westergaard函數(shù)為把上式代入到應(yīng)力的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式中可得：把Westgaard函數(shù)代入到位移的復(fù)變函數(shù)表達(dá)式中可得：圖5.5裂紋前緣坐標(biāo)(,)稱(chēng)為I型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子

坐標(biāo)變換，得到在極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量奇異項(xiàng)為裂紋端部（r<<a）的位移場(chǎng)為：

證明I型Griffith裂紋變形后近似為一橢圓。（習(xí)題）

I型裂紋的Westergaard函數(shù)與柯洛索夫公式應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系

5.5II型裂紋稱(chēng)為II型裂紋的Westergaard函數(shù)。（邊界條件：）裂紋端點(diǎn)附近的應(yīng)力場(chǎng)及位移場(chǎng)為：

II型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。在極坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量與位移分量為：

II型裂紋的Westergaard函數(shù)與柯洛索夫公式應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系。5.6Ⅲ型裂紋圖5.9III型裂紋本問(wèn)題不是平面問(wèn)題，故不能直接應(yīng)用彈性力學(xué)中平面問(wèn)題的解法。但在此問(wèn)題中各物理量都與z無(wú)關(guān)，只依賴(lài)于坐標(biāo)x,y，所以仍然是二維問(wèn)題。通常稱(chēng)之為反平面或法平面剪切問(wèn)題。反平面剪切問(wèn)題的特點(diǎn)是:因此問(wèn)題歸結(jié)為在給定的邊界條件下解拉普拉斯方程，而w必須為調(diào)和函數(shù)。所以可以取:ZIII

稱(chēng)之為III型裂紋的Westergaard函數(shù)。

裂紋端部附近區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)：

稱(chēng)為III型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子。III型裂紋在柱坐標(biāo)中的應(yīng)力分量為：將上面I,II,III型三種裂紋端部的應(yīng)力場(chǎng)與位移場(chǎng)的公式，歸納為統(tǒng)一的形式：5.7疊加原理的應(yīng)用在線(xiàn)彈性斷裂力學(xué)中疊加原理仍然有效。對(duì)于三種型式的裂紋，應(yīng)用疊加原理后可使問(wèn)題變換如下：如圖6.11所示，三種在無(wú)窮遠(yuǎn)處（板的邊緣）受載荷作用而裂紋表面應(yīng)力自由的裂紋問(wèn)題（問(wèn)題A），可以轉(zhuǎn)化為問(wèn)題B與C的疊加。問(wèn)題B相當(dāng)于除板邊力以外，在裂紋面上還作用一組反力，使裂紋恢復(fù)原狀，從而相當(dāng)于裂紋不存在。因此問(wèn)題B是一般的彈性力學(xué)問(wèn)題。它的解在研究裂紋尖端的應(yīng)力奇異性時(shí)是可以不予考慮的。問(wèn)題C是裂紋表面受應(yīng)力作用而板邊不受力的問(wèn)題。因此在裂紋端部問(wèn)題的意義上，問(wèn)題A等價(jià)于問(wèn)題C。對(duì)于問(wèn)題C三種型式的裂紋的解有共同的表達(dá)式：裂紋面上的邊界條件為