相似三角形詳細(xì)講義

教育教學(xué)講義學(xué)員姓名：年級：學(xué)科教師：上課時間：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時數(shù)：2課題相似三角形教學(xué)目的1通過本章的學(xué)習(xí)，要熟悉數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想特殊值法。2轉(zhuǎn)化思想：運用相似性質(zhì)處理問題時，常常用到轉(zhuǎn)化思想，如在有關(guān)面積的問題中，往往要借助于線段的比，周長的比等進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而處理問題。3數(shù)形結(jié)合思想：對于諸多幾何圖形，我們都要善于觀測，找出其中的隱含條件，做到數(shù)形結(jié)合，從而處理問題。4分類討論思想：在運用相似三角形的對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)時，假如題目的條件中，不能確定怎樣對應(yīng)，則應(yīng)予以討論。教學(xué)內(nèi)容課前檢測全等三角形的概念?知識梳理相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符號“∽”表達(dá)，讀作“相似于”．相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))．相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．注意：①對應(yīng)性：即兩個三角形相似時，一般把表達(dá)對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較輕易找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊．②次序性：相似三角形的相似比是有次序的．③兩個三角形形狀同樣，但大小不一定同樣．=4\*GB3④全等三角形是相似比為1的相似三角形．兩者的區(qū)別在于全等規(guī)定對應(yīng)邊相等，而相似規(guī)定對應(yīng)邊成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．定理的基本圖形：用數(shù)學(xué)語言表述是：，∽．相似三角形的等價關(guān)系(1)反身性：對于任一有∽．(2)對稱性：若∽，則∽．(3)傳遞性：若∽，且∽，則∽．三角形相似的鑒定措施1、定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似．2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．3、鑒定定理1：假如一種三角形的兩個角與另一種三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．4、鑒定定理2：假如一種三角形的兩條邊和另一種三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似．5、鑒定定理3：假如一種三角形的三條邊與另一種三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似．簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似．（在碰到兩個三角形的三邊都懂得的狀況優(yōu)先考慮，把邊長分別從小到大排列，然后分別計算他們的比值與否相等來判斷與否相似）6、鑒定直角三角形相似的措施：(1)以上多種鑒定均合用．(2)假如一種直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一種直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似．(3)直角三角形被斜邊上的高提成的兩個直角三角形與原三角形相似．直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC，（3）（AC）2=CD·BC。證明：在△BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）2=BD·DC。其他類似可證。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC=（BD+CD)·BC=（BC）2，即（AB）2+（AC）2=（BC）2。這就是勾股定理的結(jié)論。判斷相似三角形的幾條思緒：1條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理2條件中假如有一對等角，可再找一對等角（用鑒定1）或再找夾邊成比例。（用鑒定2）3條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等（直角可以直接得出相似）4條件中若有一對直角，可考慮在找一對等角或證明斜邊，直角邊對應(yīng)成比例。5條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，也可找一對底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例。對應(yīng)角和對應(yīng)邊關(guān)系是對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角。對應(yīng)角相等一般是公共角，平行時的內(nèi)錯角，同位角相等，對頂角相等，同角的余角或補角相等。大邊對大角，大角對大邊。溫馨提醒：在解題中要善于借助于中間量的牽線搭橋，這里的中間量重要指中間比，中間線段，中間角，中間等積式等。靈活的運用等積式與比例式的互化，尋找解題思緒，創(chuàng)設(shè)條件，善于運用類比的措施分析思索問題。加強運用觀測，分析，聯(lián)想，歸納，探索等措施技巧。相似三角形性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．(2)相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．(3)相似三角形周長的比等于相似比．(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等相似三角形與全等三角形有關(guān)聯(lián)絡(luò)：不相似的三角形一定不是全等三角形。（對）相似三角形也也許是全等三角形。（對）全等三角形一定是相似三角形。（對）不全等的三角形一定不是相似三角形（錯）相似三角形一定不是全等三角形（錯）全等三角形不一定是相似三角形（錯）相似三角形常見的圖形（1）若DE∥BC（A型和X型）則△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD為Rt△ABC斜邊上的高（雙直角圖形）則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；（3）滿足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可鑒定△ADC∽△ACB．（4）當(dāng)或AD·AB=AC·AE時，△ADE∽△ACB．（直角梯形）相似三角形的應(yīng)用1測量物體的高度（寬度，長度）在運用相似三角形的性質(zhì)解題的過程中要牢記（1）太陽光線是平行線，易找到相似三角形。2在某一時刻，3臺球的入射角和反射角會形成相似。鏡子的反射，球的反彈等都會形成相似。測量物高的措施有1運用陽光下的影子原理旗桿高：人高＝旗桿影長：人影長缺陷需要陽光，陰天不行2運用標(biāo)桿在人和旗桿中間樹立一種可以測量長度的標(biāo)桿，形成兩個三角形相似長處無需陽光，有關(guān)數(shù)據(jù)易測，測量工具簡樸。缺陷增長了標(biāo)桿的測量，規(guī)定觀測者的眼睛必須與標(biāo)桿的頂端和旗桿的頂端對齊，三點共線。如圖若AD.AC＝AE.AB,∠DAB＝∠CAE則△ADE與△ABC相似嗎？1經(jīng)典例題1、已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，DB=5，求AD的長．分析：由已知AC=6，DB=5，選用來處理，考慮△ACD∽△ABC．解：在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ACD∽△ABC．∴．∴．設(shè)AD=x，則AB=x+5，又AC=6，∴．解得：x=4（舍去負(fù)值）∴AD=4．針對練習(xí)：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底邊上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm．（1）求證：；2經(jīng)典例題2已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求證：BC2＝2CD·AC．思索：欲證BC2＝2CD·AC，只需證．但由于結(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，該怎么辦？證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DE＝DC，∵BD⊥AC于D，∴BD是線段CE的垂直平分線，∴BC=BE，∴∠C=∠BEC，又∵AB＝AC，∴∠C=∠ABC．∴△BCE∽△ACB．∴，∴∴BC2＝2CD·AC．針對練習(xí)：證法二（構(gòu)造2AC）：證法三（構(gòu)造）：經(jīng)典例題．如圖，為的角平分線，垂直于的延長線于，于，，的延長線交于點，求證：證明 ，，，.又，∽，即. 針對練習(xí)：如圖，梯形中，，為的中點，分別連結(jié)，，，，且與交于，與交于，求證：求相似三角形的周長經(jīng)典例題例：兩相似三角形的對應(yīng)邊的比為4：5，周長和為360cm，這兩個三角形的周長分別是多少？假如△ABC∽△A′B′C′，相似比為3：2，若它們的周長的差為40厘米，則△A′B′C′的周長為厘米。針對練習(xí)：如圖，D、E分別是AC，AB上的點，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F.若AD＝3，AB＝5，求：（1）EQ\F(AG,AF)；（2）△ADE與△ABC的周長之比；如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝2cm，AB＝3.5cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，則MN＝，PQ＝。DDCMPNQAB求多邊形的面積經(jīng)典例題1．如圖，已知：在與中，，交于，且，交于，。求和解答：，∽又，，，∽ ，又∽，， ，與等高 針對練習(xí)．如圖，已知，在梯形中，對角線、相交于點，若的面積為，的面積為，其中，.求：梯形的面積經(jīng)典例題2．已知等腰直角三角形的面積為，它的內(nèi)接矩形的一邊在斜邊上，且矩形的兩邊之比為5：2，求矩形的面積解：如圖，中，，，內(nèi)接矩形由等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，得，設(shè)為，則由勾股定理得 矩形面積漏解：如圖所示的狀況時，，同理可得針對練習(xí)1：如圖所示直角中，兩直角邊長分別為3和4，它的內(nèi)接正方形有兩種狀況：①一邊在斜邊上；②一邊在直角邊上。試比較這兩種狀況中正方形的大小。針對練習(xí)2：是的高，是的中點，交于，若，，，求一、怎樣證明三角形相似例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F，則△AGD∽∽。例2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD例3：已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC二、怎樣應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例1、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例2：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點，DM⊥BC于點E，交BA的延長線于點D。求證：（1）MA2=MDME；（2）例3：如圖△ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，證：AE：ED=2AF：FB。已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥DC，E是AB的中點，直線ED分別與對角線AC和BC的延長線交于M、N點NDNDCAEBM證明：三、怎樣用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例1：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且。求證：∠AEF=∠FBD例2、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ∥AB，RP∥BCAABCDFGE例3、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG測量旗桿的高度例1.AB是斜靠在墻壁上的長梯，梯腳B距墻80cm，梯上點D距墻70cm，BD長55cm，求梯子的長。2（?定西）如圖，小東用長為3.2m的竹竿做測量工具測量學(xué)校旗桿的高度，移動竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點．此時，竹竿與這一點相距8m，與旗桿相距22m，則旗桿的高為（）A．12mB．10mC．8mD．7m．（?丹東）某一時刻，身髙1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m，同一時刻同一地點測得某旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是（）A．1.25mB．10mC．20mD．8m（?金華）如圖是小明設(shè)計用手電來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米課堂練習(xí)練習(xí)題1、如圖1,∠ADC=∠ACB=900,∠1=∠B,AC=5,AB=6,則AD=______.2.如圖2,AD∥EF∥BC,則圖的相似三角形共有_____對.3.如圖3,正方形ABCD中,E是AD的中點,BM⊥CE,AB=6,CE=3,則BM=______.4.ΔABC的三邊長為,,2,ΔA'B'C'的兩邊為1和,若ΔABC∽ΔA'B'C',則ΔA'B'C'的笫三邊長為________.已知是△ABC的三條邊，對應(yīng)高分別為，且，那么等于（）A、4：5：6B、6：5：4C、15：12：10D、10：12：155.兩個相似三角形的面積之比為1∶5,小三角形的周長為4,則另一種三角形的周長為_____.6.如圖4,RtΔABC中,∠C=900,D為AB的中點,DE⊥AB,AB=20,AC=12,則四邊形ADEC的面積為__________.7.如圖5,RtΔABC中,∠ACB=900,CD⊥AB,AC=8,BC=6,則AD=____,CD=_______.8.如圖6,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,EF垂直平分BD,則EF=_________.9.如圖7,ΔABC中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD∶SΔABC=2∶3,則CD=______.10.如圖8,梯形ABCD中,AD∥BC,兩腰BA與CD的延長線相交于P,PF⊥BC,AD=3.6,BC=6,EF=3,則PF=_____.11.如圖9,ΔABC中,DE∥B