高等數學教學大綱

高等數學教學大綱一、課程的任務高等數學課程是高等工程學校教學計劃中的重要基礎理論課，在培養(yǎng)高素質科技人才方面具有獨特而不可替代的作用。通過本課程的學習，為此后其他基礎課程和最專業(yè)課程的學習提供了必要的數學基礎，并為這些課程提供了必要的數學概念、理論、措施和計算技能。作為未來的工程應用人才，還要通過本課程的學習，獲得基本的數學訓練和質量。二、課程的教學目的與總體規(guī)定通過本課程的研究，學生獲得了一元函數微積分及其應用、向量算法與空間分析幾何、多功能微積分及其應用、無限序列和常數分方程的基本知識（基本概念、基本理論、基本措施）和基本計算技能，為后續(xù)課程的研究和深入的數學知識奠定了必要的持續(xù)數學基礎。在傳授知識的同步，要通過多種教學環(huán)節(jié)培養(yǎng)學生的計算能力、空間想象能力、抽象思維能力和邏輯推理能力，培養(yǎng)學生運用所學知識分析問題的能力和獨立學習能力，逐漸培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和能力。三、課程的教學內容與課時分派

章節(jié)號

教學內容

重要教學內容教學基本規(guī)定

課時

課時分派

講授

試驗

上機

第一章

函數與極限

(1)理解函數與復合函數的概念，理解反函數的概念。

(2)會建立簡樸實際問題中的函數關系式。

(3)理解極限的定性定義。

(4)掌握極限的有理運算法則，會用變量代換求某些簡樸復合函數的極限。

(5)理解極限的性質（唯一性、有界性、保號性）和兩個存在準則（夾逼準則與單調有界準則），會用兩個重要極限

求極限。

(6)理解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念，會用等價無窮小求極限。

(7)理解函數在一點持續(xù)和在一區(qū)間上持續(xù)的概念。

(8)理解函數間斷點的概念，會鑒別間斷點的類型。

(9)理解初等函數的持續(xù)性和閉區(qū)間上持續(xù)函數的介值定理與最大值、最小值定理。

14

14

第二章

導數與微分

(1)理解導數的概念及其幾何意義（不規(guī)定學生做運用導數的定義研究抽象函數可導性的習題），理解函數的可導性與持續(xù)性之間的關系。

(2)理解導數作為函數變化率的實際意義，會用導數體現科學技術中某些量的變化率。

(3)掌握導數的有理運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數的導數公式。

(4)理解微分的概念，理解微分概念中所包括的局部線性化思想，理解微分的有理運算法則和一階微分形式不變性。

(5)理解高階導數的概念，掌握初等函數一階、二階導數的求法（不規(guī)定學生求函數的階導數的一般體現式）。

(6)會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階導數以及這兩類函數中比較簡樸的二階導數，會解某些簡樸實際問題中的有關變化率問題。

12

12

第三章

中值定理及導數應用

(1)理解羅爾（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，理解柯西（Cauchy）定理（對三個定理的分析證明不作規(guī)定，并且不規(guī)定學生掌握構造輔助函數證明有關問題的技巧），會用洛必達（L'Hospital）法則求不定式的極限。

(2)理解泰勒（Taylor）定理以及用多項式迫近函數的思想（對定理的分析證明以及運用泰勒定理證明有關問題不作規(guī)定）。

(3)理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求極值的措施。會求解較簡樸的最大值與最小值的應用問題。

(4)會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求拐點，會描繪某些簡樸函數的圖形（包括水平和鉛直漸近線）。

(5)理解曲率和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑。

14

14

第四章

不定積分

(1)理解原函數與不定積分的概念，

(2)掌握不定積分的基本公式以及求不定積分的直接積分法、換元法與分部積分法（淡化特殊積分技巧的訓練，對于求有理函數積分的一般措施不作規(guī)定，對于某些簡樸無理函數的積分可作為兩類積分法的例題作合適訓練）。

12

12

第五章

定積分

(1)理解定積分的概念和幾何意義（對于運用定積分定義求定積分與求極限不作規(guī)定），理解定積分的性質和積分中值定理。

(2)理解變上限的積分作為其上限的函數及其求導定理，掌握牛頓－萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式。

(3)掌握求定積分的換元法與分部積分法.

(4)理解兩類反常積分及其收斂性的概念。

10

10

第六章

定積分應用

（1）掌握科學技術問題中建立定積分體現式的元素法（微元法）。

（2）會建立某些簡樸幾何量和物理量的積分體現式。

8

8

第七章

微分方程

(1)理解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念。

(2)掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法。

(3)會解齊次方程，并從中領會用變量代換求解微分方程的的思想。

(4)會用降階法求下列三種類型的高階方程：，。

(5)理解二階線性微分方程解的構造。

(6)掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，理解高階常系數齊次線性微分方程的解法。

(7)會求自由項形如，的二階常系數非齊次線性微分方程的特解，其中為實系多次多項式，為實數。

(8)會通過建立微分方程模型，處理某些簡樸的實際問題。

16

16

第八章

空間解析幾何與矢量代數

（1）理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表達。

(2)掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積），理解兩個向量垂直、平行的條件。

(3)掌握單位向量、方向余弦、向量的坐標體現式以及用坐標體現式進行向量運算的措施。

(4)掌握平面的方程和直線的方程及其求法，會運用平面、直線的互相關系處理有關問題。

（5）理解曲面方程的概念，理解常用的二次曲面的方程及其圖形，理解坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行坐標軸的柱面方程。

（6）懂得空間曲線的參數方程和一般方程。

16

16

第九章

多元函數微分法及其應用

(1)理解二元函數的概念，理解多元函數的概念。

(2)理解二元函數的極限與持續(xù)性的概念，理解有界閉區(qū)域上持續(xù)函數的性質。

(3)理解二元函數偏導數與全微分的概念，理解全微分存在的必要條件與充足條件。

(4)掌握復合函數一階偏導數的求法，會求復合函數的二階偏導數（對于求抽象復合函數的二階導數，只規(guī)定作簡樸訓練）。

(5)會求隱函數（包括由兩個方程構成的方程組確定的隱函數）的一階偏導數（對求二階偏導數不作規(guī)定）。

(6)理解曲線的切線和法平面以及曲面的切平面與法線，并會求出它們的方程。

(7)理解二元函數極值與條件極值的概念，會求二元函數的極值，理解求條件極值的拉格朗日乘數法，會求解某些比較簡樸的最大值與最小值的應用問題。

18

18

第十章

重積分

(1)理解二重積分的概念，理解三重積分的概念，理解重積分的性質。

(2)掌握二重積分的計算措施（直角坐標、極坐標）。

（3）會計算簡樸的三重積分（直角坐標、柱面坐標）。

（4）理解科學技術問題中建立重積分體現式的元素法（微元法），會建立某些簡樸的幾何量和物理量的積分體現式。

12

12

第十一章

曲線積分與曲面積分

(1)理解兩類曲線積分的概念，理解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系，會計算兩類曲線積分（對于空間曲線積分的計算只作簡樸訓練）。

(2)掌握格林（Green）公式，會使用平面線積分與途徑無關的條件，理解第二類平面線積分與途徑無關的物理意義。

(3)理解兩類曲面積分的概念、互相聯絡及其計算措施。

(4)理解高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的證明以及運用該公式計算空間曲線積分不作規(guī)定）。

（5）理解科學技術問題中建立曲線、曲面積分體現式的元素法（微元法），會建立某些簡樸的幾何量和物理量的積分體現式。

18

18

第十二章

無窮級數

(1)理解無窮級數收斂、發(fā)散以及和的概念，理解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件。

(2)理解正項級數的比較審斂法以及幾何級數與-級數的斂散性，掌握正項級數的比值審斂法。

(3)理解交錯級數的萊布尼茨定理，會估計交錯級數的截斷誤差。理解絕對收斂與條件收斂的概念及兩者的關系。

(4)理解函數項級數的收斂域與和函數的概念，掌握簡樸冪級數收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點的收斂性不作規(guī)定）。理解冪級數在其收斂區(qū)間內的某些基本性質（對求冪級數的和函數只規(guī)定作簡樸訓練）。

(5)會運用，，，與的麥克勞林（Maclaurin）展開式將某些簡樸的函數展開成冪級數。

(６)理解用三角函數迫近周期函數的思想，理解函數展開為傅里葉（Fourier）級數的狄利克雷（Dirichlet）條件，會將函數展開為傅里葉級數及正弦或余弦級數。

18

18

四、主選教材及重要參照書目（寫明教材名稱、出版社、版別、作者姓名）主選教材：《高等數學》第六版，同濟大學數學系編，高等教育出版社。重要參照書目：《高等數學》第四版，同濟大學數學教研室主編，高等教育出版社?！豆た茢祵W分析基礎》第二版，王綿森馬知恩主編，高等教育出版社?！陡叩葦祵W附冊學習輔導與習題選解》，同濟大學數學系編，高等教育出版社。五、闡明（1）本課程與其他課程的關系學習高等數學課程需具有良好的數學基礎。