七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)培優(yōu)專題01 借助數(shù)軸將數(shù)與形結(jié)合-原卷版

/培優(yōu)專題01借助數(shù)軸將數(shù)與形結(jié)合【專題精講】在數(shù)學(xué)里“數(shù)”和“形”是有密切聯(lián)系的,我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題;反過來,也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題,尋找解題思路,這種“數(shù)”與“形”之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合,它是一種重要的數(shù)學(xué)思想。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系,現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具,主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；(2)利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù);(3)利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小;(4)利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題;(5)巧用數(shù)軸可以探究動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律;(6)應(yīng)用數(shù)軸解決行程問題◎類型一：利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小解題方法：利用“數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù),右邊的總比左邊的大”的性質(zhì)把有理數(shù)表示在數(shù)軸上,由相對(duì)位置得出大小.1．（2022·陜西咸陽·七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)軸上表示：3.5，0，2.5，－1，－3，－，并把這些數(shù)由小到大用“＜”號(hào)連接起來．2．（2021·江蘇鹽城·七年級(jí)期中）已知一組數(shù)：

，

0，

－3.5，

3，

．(1)把這些數(shù)在下面的數(shù)軸上表示出來：(2)請(qǐng)將這些數(shù)按從小到大的順序排列（用“＜”連接）．．3．（2021·遼寧·彰武縣第三初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：，并用“<”把這些數(shù)連接起來．4．（2021·福建·政和縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”號(hào)連接．◎類型二：利用數(shù)軸表示相反數(shù)、絕對(duì)值解題方法：確定數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù),首先要確定原點(diǎn)的位置,再根據(jù)此點(diǎn)在原點(diǎn)的左右得到其符號(hào),根據(jù)此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離得到絕對(duì)值。5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）1厘米為1個(gè)單位長(zhǎng)度用直尺畫數(shù)軸時(shí)，數(shù)軸上互為相反數(shù)的點(diǎn)A和點(diǎn)B剛好對(duì)著直尺上的刻度2和刻度8(1)寫出點(diǎn)A和點(diǎn)B表示的數(shù)；(2)寫出與點(diǎn)B距離為9.5厘米的直尺左端點(diǎn)C表示的數(shù)；(3)在數(shù)軸上有一點(diǎn)D，其到A的距離為2，到B的距離為4，求點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)表示的數(shù)．6．（2021·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖．在一條不完整的數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)A向左移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C．（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為0，求點(diǎn)B、點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）若點(diǎn)C表示的數(shù)為6，求點(diǎn)B、點(diǎn)A表示的數(shù)；（3）如果點(diǎn)A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點(diǎn)B表示的數(shù)．7．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知表示數(shù)a的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示．(1)在數(shù)軸上表示出a的相反數(shù)的位置．(2)若數(shù)a與其相反數(shù)相距20個(gè)單位長(zhǎng)度，則a表示的數(shù)是多少？(3)在（2）的條件下，若數(shù)b表示的數(shù)與數(shù)a的相反數(shù)表示的點(diǎn)相距5個(gè)單位長(zhǎng)度，求b表示的數(shù)是多少？8．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在一條不完整的數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)A向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，再向右移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)C．（1）若點(diǎn)A表示的數(shù)為0，求點(diǎn)B、點(diǎn)C表示的數(shù)；（2）如果點(diǎn)A、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，求點(diǎn)B表示的數(shù).◎類型三：利用數(shù)軸求整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)問題解題方法：數(shù)軸上整數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)便是整數(shù)點(diǎn),確定區(qū)間內(nèi)整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù),先要明確區(qū)間內(nèi)的最大整數(shù)與最小整數(shù),再通過計(jì)算得到結(jié)果.9．（2021·黑龍江雞西·七年級(jí)期末）在數(shù)軸上位于-3和3之間（不包括-3和3）的整數(shù)點(diǎn)有（

）A．7個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．無數(shù)個(gè)10．（2018·天津·南開中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．1998 B．1999 C．2000 D．200111．（2019·四川·三臺(tái)博強(qiáng)外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）數(shù)軸上從-3.9到它的相反數(shù)有a個(gè)整數(shù)點(diǎn)，則a個(gè)單位長(zhǎng)度的木條，在數(shù)軸上最少要覆蓋（

）個(gè)整數(shù)點(diǎn).A．8 B．7 C．6 D．412．（2014·湖北黃岡·七年級(jí)期中）在數(shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整數(shù)點(diǎn),某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1㎝，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)2015㎝的線段AB，則被線段AB蓋住的整數(shù)有（

）A．2012個(gè)或2013個(gè) B．2013個(gè)或2014個(gè)C．2014個(gè)或2015個(gè) D．2015個(gè)或2016個(gè)◎類型四：應(yīng)用數(shù)軸解決行程問題解題方法：點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),如何表示點(diǎn)在數(shù)軸上的位置,是應(yīng)用數(shù)軸解決行程問題的關(guān)鍵,由于數(shù)軸以向右的方向?yàn)檎较?因此向右運(yùn)動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度看作+a,向左運(yùn)動(dòng)a個(gè)單位長(zhǎng)度看作-a,這樣就可以結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式,再運(yùn)用行程問題的相遇公式即可解決。13．（2019·河南南陽·七年級(jí)期中）如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)點(diǎn)表示數(shù)是最小的正整數(shù)，且滿足．（1）求的值；（2）若將數(shù)軸折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)與數(shù)_______表示的點(diǎn)重合；（3）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即返回，仍然以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)表示的有理數(shù)；②當(dāng)點(diǎn)表示的有理數(shù)與點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，直接寫出所有滿足條件的值．14．（2022·福建·福州教院二附中七年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)，，是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，．(1)求點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)；(2)動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，出發(fā)，分別以每秒個(gè)單位和個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，為的中點(diǎn)，在上，且，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為。①求點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)用含的式子表示；②為何值時(shí)，15．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）綜合與探究閱讀理解：數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，使數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣能夠用“數(shù)形結(jié)合”的方法解決一些問題．?dāng)?shù)軸上，若A，B兩點(diǎn)分別表示數(shù)a，b，那么A，B兩點(diǎn)之間的距離與a，b兩數(shù)的差有如下關(guān)系：或．問題解決：如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B分別表示有理數(shù)2，．填空：(1)A，B兩點(diǎn)之間的距離為_______；(2)點(diǎn)C為數(shù)軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)A的左側(cè)，且，則點(diǎn)C表示的數(shù)是_______；(3)拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），當(dāng)t為何值時(shí)，P，C兩點(diǎn)之間的距離為12個(gè)單位長(zhǎng)度？16．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）已知數(shù)軸上有三點(diǎn)，，分別表示有理數(shù)，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為．（1）用含的代數(shù)式表示點(diǎn)分別到點(diǎn)和點(diǎn)的距離：______，______．（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后，再立即以同樣的速度返回，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止．當(dāng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，求點(diǎn)，間的距離．【鞏固訓(xùn)練】1．（2020·廣東東莞·一模）如圖，數(shù)軸上順次有A，B，C三個(gè)整數(shù)點(diǎn)（即各點(diǎn)均表示整數(shù)）且BC＝2AB．若A，C兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是﹣3和3，則點(diǎn)B所表示的數(shù)是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣12．（2020·山西太原·七年級(jí)期末）如圖，數(shù)軸上有，，，四個(gè)整數(shù)點(diǎn)（即各點(diǎn)均表示整數(shù)），且．若，兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別是和，則線段的中點(diǎn)所表示的數(shù)是（

）．A． B． C． D．3．（2021·福建·政和縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，﹣4，|﹣5|，2，并用“＜”號(hào)連接．4．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校七年級(jí)）先以1厘米長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度畫一條數(shù)軸，然后在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點(diǎn)，并用“<”把這些數(shù)按從小到大的順序排列起來：．排列：______________________________．5．（2020·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)階段練習(xí)）已知有理數(shù)所表示的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為4個(gè)單位長(zhǎng)度，互為相反數(shù)，且都不為零，互為倒數(shù)．（1）求的值；（2）求的值．6．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)在一條沒有標(biāo)明原點(diǎn)的數(shù)軸上．（1）若點(diǎn)A和點(diǎn)C表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為；（2）若點(diǎn)B和點(diǎn)D表示的數(shù)互為相反數(shù)，則原點(diǎn)為；（3）若點(diǎn)A和點(diǎn)D表示的數(shù)互為相反數(shù)，則在數(shù)軸上表示出原點(diǎn)O的位置．7．（2022·江蘇·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)P、A、B表示的數(shù)分別是﹣6、﹣3、2．點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、B運(yùn)動(dòng)的