十二　夾角問題

11十二夾角問題1.若平面α的一個法向量為n1=(1,0,1),平面β的一個法向量是n2=(-3,1,3),則平面α與β所成的角等于 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選D.因為n1·n2=(1,0,1)·(-3,1,3)=0,所以α⊥β,即平面α與β所成的角等于90°.2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=2,則異面直線AB1與BC1所成角的正弦值為 ()A.1 B.77 C.12 D【解析】選A.設(shè)線段A1B1,AB的中點分別為O,D,連接OC1,OD,則OC1⊥平面ABB1A1,以,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則A(-1,0,2),B1(1,0,0),B(1,0,2),C1(0,3,0),所以=(2,0,-2),=(-1,3,-2),因為·=(2,0,-2)·(-1,3,-2)=0,所以⊥,即異面直線AB1和BC1所成的角為直角,則其正弦值為1.3.在正四棱錐S-ABCD中,已知SA=AB=2,則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為 ()A.36 B.66 C.33 【解析】選C.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(-2,0,0),B(0,2,0),S(0,0,2),所以=(22,0,0),=(0,2,-2),=(-2,0,-2).設(shè)平面SBC的法向量為n=(x,y,z),則即2y取x=1,則y=-1,z=-1,于是n=(1,-1,-1)是平面SBC的一個法向量.設(shè)直線AC與平面SBC所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|==33.故直線AC與平面SBC所成角的正弦值為334.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為 ()A.64 B.104 C.32 【解析】選A.由題意可知,∠CB1C1=60°,∠DC1D1=45°,所以CC1=3B1C1,C1D1=DD1.設(shè)B1C1=1,則CC1=3,C1D1=3.如圖,以A1為原點,建立空間直角坐標(biāo)系,則B1(3,0,0),C(3,1,3),C1(3,1,0),D(0,1,3),所以=(0,1,3),=(-3,0,3).設(shè)B1C和C1D所成的角為θ,則cosθ=|cos<,>|==64.故異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為645.(多選題)正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為CC1,BC,CD,BB1的中點,則下列結(jié)論正確的是 ()A.B1G⊥BCB.平面AEF∩平面AA1D1D=AD1C.A1H∥面AEFD.二面角E-AF-C的大小為π【解析】選BC.連接BG由題可知,B1G在底面上的射影為BG,而BC不垂直BG,則B1G不垂直于BC,則選項A不正確;連接AD1和BC1,E,F,G,H分別為CC1,BC,CD,BB1的中點,可知EF∥BC1∥AD1,所以平面AEF與平面AD1EF重合,則平面AEF∩平面AA1D1D=AD1,所以選項B正確;由題意,可設(shè)正方體的棱長為2,以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則各點坐標(biāo)如下:A(2,0,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),H(2,2,1),F(1,2,0),=(0,2,-1),=(-1,2,0),=(1,0,-1),=(0,0,2),設(shè)平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z),則,即-x+2令y=1,得x=2,z=2,得n=(2,1,2),所以·n=0,所以A1H∥平面AEF,則C選項正確;由圖可知,AA1⊥平面AFC,所以是平面AFC的一個法向量,則cos<,n>==23.所以二面角E-AF-C的大小不是π4,所以D不正確.6.(多選題)如圖,三棱錐D-ABC的各條棱長均為2,OA,OB,OC兩兩垂直,則下列說法正確的是 ()A.OA,OB,OC的長度相等B.直線OD與BC所成的角是45°C.直線AD與OB所成的角是45°D.直線OB與平面ACD所成的角的余弦值為3【解析】選AC.因為三棱錐D-ABC的各條棱長均為2,OA,OB,OC兩兩垂直,將幾何體放入正方體中,所以O(shè)A=OB=OC=2,故A中說法正確;如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.可得O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),D(2,2,2),所以=(0,2,0),=(-2,0,2),=(0,2,2),=(2,2,2),=(0,-2,2).故·=0,即⊥,直線OD與BC所成的角是90°,故B中說法不正確;cos<,>==22,可得直線AD與OB所成的角是45°,故C中說法正確;設(shè)平面ACD的法向量n=(x,y,z),則即-2令x=1,則y=-1,z=1.所以n=(1,-1,1)為平面ACD的一個法向量.設(shè)直線OB與平面ACD所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|==22×3=33,cosθ=67.在空間直角坐標(biāo)系中,若A(1,-2,0),B(2,1,6),則向量與平面Oxz的法向量的夾角的正弦值為________.

【解析】設(shè)平面Oxz的法向量為n=(0,t,0)(t≠0).由題意知=(1,3,6),所以cos<n,>==3t4|因為<n,>∈[0,π],所以sin<n,>=1-3t4答案:78.在空間中,已知平面α過點(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0,a)(a>0),如果平面α與平面Oxy的夾角為45°,則a=________.

【解析】平面xOy的一個法向量為n=(0,0,1),設(shè)平面α的一個法向量為m=(x,y,z),則-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,則x=由題意得|cos<n,m>|=1a29又因為a>0,所以a=125答案:129.如圖,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=3,求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.【解析】以O(shè)為坐標(biāo)原點,,的方向為x軸,y軸的正方向.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則O(0,0,0),O1(0,1,3),A(3,0,0),A1(3,1,3),B(0,2,0),所以=(-3,1,-3),=(3,-1,-3).所以|cos<,>|==|(-3,1,-3)·(所以異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為1710.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2,BC=3,PC=23,E為PB的中點,________.試證明四邊形ABCD是直角梯形,并求直線AE與平面PCD所成角的正弦值.

從下列兩個條件中選一個,補充在上面問題中,并完成解答.①CD⊥BC;②BC∥平面PAD.【解析】選擇條件①.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.因為PA=AD=CD=2,所以PD=22.又因為PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.因為PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,則CD⊥AD.又因為CD⊥BC,所以AD∥BC.所以四邊形ABCD是直角梯形.如圖,過點A作AD的垂線,交BC于點M.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),B(2,-1,0).所以=(2,2,-2),=(0,2,-2).因為E為PB的中點,所以E1,-所以=1,-1設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則令y=1,得n=(0,1,1).設(shè)直線AE與平面PCD所成的角為α,所以sinα=|cos<n,>|=-12×1+1×12所以直線AE與平面PCD所成角的正弦值為26選擇條件②.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥CD.因為PA=AD=CD=2,所以PD=22.因為PC=23,所以CD2+PD2=PC2,得CD⊥PD.因為PA∩PD=P,所以CD⊥平面PAD,則CD⊥AD.因為BC∥平面PAD,BC?平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BC∥AD,則四邊形ABCD是直角梯形.求直線AE與平面PCD所成角的正弦值同①.11.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,F為PC的中點,則平面PBC與平面BDF的夾角的正切值為 ()A.36 B.34 C.33 【解析】選D.設(shè)AC與BD交于點O,連接OF,則由題意可知,OB,OC,OF兩兩互相垂直.以O(shè)為原點,OB,OC,OF所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=3,所以O(shè)(0,0,0),B(32,0,0),F(0,0,12),C(0,12,0),所以=(0,1,-1),=(-32,12,0),=(0,12,0).易知=0,12,0設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z).則即y-取x=1,則y=3,z=3,所以n=(1,3,3)是平面PBC的一個法向量.設(shè)平面PBC與平面BDF的夾角為θ,則cosθ=|cos<n,>|=217.所以sinθ=277,tanθ=所以平面PBC與平面BDF的夾角的正切值為2312.在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,AC=22,PB⊥平面ABC,點M,N分別為AC,PB的中點,MN=6,Q為線段AB上的點(不包括端點A,B),若使異面直線PM與CQ所成角的余弦值為3434,則BQBA為 (A.14 B.13 C.12 【解析】選A.易知PB,BC,BA兩兩垂直,故以B為原點,BA,BC,BP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),A(2,0,0),所以BM=2,又MN=6,所以BN=MN所以PB=4,則P(0,0,4),設(shè)BQBA=λ則=λ,且0<λ<1,所以Q(2λ,0,0),易知=(1,1,-4),=(2λ,-2,0),所以·=1×2λ+1×(-2)+(-4)×0=2λ-2,||=12+12+(-||=4λ2因為異面直線PM與CQ所成的角的余弦值為3434,所以|cos<,>|==|2λ-2|32·4λ2+4=343413.已知點E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則異面直線AE與A1C1所成角的余弦值等于__________,平面AEF與平面ABCD的夾角的正切值為________.

【解析】如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,則A(1,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E(1,1,13),F0所以=0,1,13,=(-1,1,0),=所以cos<,>==3510.所以異面直線AE與A1C1所成角的余弦值等于35由題意可知,平面ABCD的一個法向量為n1=(0,0,1).設(shè)平面AEF的法向量為n2=(x,y,z),由n2·=0,n2·=0,可得平面AEF的一個法向量為n2=(1,-1,3).所以cos<n1,n2>=n1·n設(shè)平面AEF與平面ABCD的夾角為α,則cosα=|cos<n1,n2>|=31111,從而sinα=所以tanα=23答案:351014.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=AA1=2BC=2,D為AA1上一點.若二面角B1-DC-C1的大小為30°,則AD的長為________.

【解析】如圖,以C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz,則C(0,0,0),B1(0,1,2),B(0,1,0),所以=(0,1,2),=(0,1,0).設(shè)AD=a(0≤a≤2),則點D的坐標(biāo)為(2,0,a),=(2,0,a).設(shè)平面B1CD的法向量為m=(x,y,z),則?y+2z=0,得m=(a2,2,-1).又平面C1DC的一個法向量為=(0,1,0),記為n,則由cos30°=|m·n||解得a=233(負(fù)值舍去),故AD=答案:215.(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點.(1)證明:OE∥平面PAC;(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.【解析】(1)如圖,連接BO并延長交AC于點D,連接OA,PD,因為PO是三棱錐P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,AO,BO?平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,易得△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O(shè)為BD的中點,又E為PB的中點,所以O(shè)E∥PD,又OE?平面PAC,PD?平面PAC,所以O(shè)E∥平面PAC.(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,因為PO=3,AP=5,所以O(shè)A=AP又∠OB