三十一　雙曲線及其標準方程的應用

9三十一雙曲線及其標準方程的應用【基礎必會練】1.已知雙曲線的中心在原點,一個焦點為F1(-5,0),點P在雙曲線上,且線段PF1的中點的坐標為(0,2),則此雙曲線的方程是 ()A.x24-y2=1 B.x2-C.x22-y23=1 D.【解析】選B.由已知條件,得焦點在x軸上,設雙曲線的方程為x2a2-y2b則a2+b2=5.①因為線段PF1的中點的坐標為(0,2),所以點P的坐標為(5,4),將其代入雙曲線的方程,得5a2-16b由①②解得a2=1,b2=4,所以雙曲線的方程為x2-y242.下列選項中的曲線與x212-y224=1共焦點的雙曲線是A.x224+y212=1 B.C.y226-x210=1 D.【解析】選D.與x212-y224=1共焦點的雙曲線系方程為x212+λ-3.已知F1,F2是雙曲線x24-y2=1的兩個焦點,P在雙曲線上,且滿足∠F1PF2=90°,則△F1PF2的面積為 (A.1 B.52 C.2 D.【解析】選A.不妨設|PF1|=m,|PF2|=n,則由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=|m-n|=4.又因為∠F1PF2=90°,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20,即m2+n2=20.又||PF1|-|PF2||2=|m-n|2=16,所以mn=2.所以△F1PF2的面積為S=12mn=14.已知雙曲線C:x2-y23=1的右焦點為F,P是雙曲線C的左支上一點,M(0,2),則△PFM的周長的最小值為 (A.2+42 B.4+22C.32 D.26+3【解析】選A.依題意可知,c=2,a=1,所以|MF|=22,|PM|+|PF|=|PM|+|PF1|+2a(F1為左焦點),當M,P,F1三點共線時,|PM|+|PF1|最小,最小值為|MF1|,|MF1|=22,故周長的最小值為22+2+22=2+42.5.(多選題)已知雙曲線8kx2-ky2=8的焦距為6,則k的可取值為 ()A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】選AC.由8kx2-ky2=8得x21k-y2若焦點在x軸上,則1k+8k=9k=c2=9,所以若焦點在y軸上,則方程可化為y2-8k-x2-1k=1,k6.(多選題)已知F1,F2為雙曲線x24-y25=1的左、右焦點,雙曲線上一點P到左焦點F1的距離為10,則PF1的中點N到坐標原點O的距離可以為A.3 B.6 C.14 D.7【解析】選AD.連接ON(圖略),則ON是△PF1F2的中位線,所以|ON|=12|PF2因為||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,所以|PF2|=14或6,所以|ON|=12|PF2|=7或37.P為雙曲線x2-y215=1右支上一點,M,N分別是圓(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|-|PN|的最大值為【解析】雙曲線的兩個焦點F1(-4,0),F2(4,0)分別為兩圓的圓心,且兩圓的半徑分別為r1=2,r2=1,易知|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值為|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2+3=5.答案:58.橢圓y249+x224=1與雙曲線y2-x224=1有公共點P,則P與橢圓兩焦點連線構成三角形的周長為【解析】由已知橢圓與雙曲線具有共同的焦點F1(0,5),F2(0,-5),由橢圓與雙曲線的定義可得|所以|PF又|F1F2|=10,所以△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90°,所以周長為|PF1|+|PF2|+|F1F2|=14+10=24,S△F1PF2=12|答案:24249.設聲速為a米/秒,在相距10a米的A,B兩哨所,聽到炮彈爆炸聲的時間差為6秒,求炮彈爆炸點所在曲線的方程.【解析】以直線AB為x軸,線段BA的中點為坐標原點,建立平面直角坐標系.設炮彈爆炸點的軌跡上的點P的坐標為(x,y),由題意可得||PA|-|PB||=6a<10a,所以炮彈爆炸點的軌跡方程為雙曲線x29a210.在△ABC中,已知|AB|=42,且三個內角A,B,C滿足2sinA+sinC=2sinB,建立適當?shù)淖鴺讼?求頂點C的軌跡方程.【解析】以AB邊所在的直線為x軸,AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,則A(-22,0),B(22,0).由正弦定理得sinA=|BC|2R,sinsinC=|AB|2R(R為因為2sinA+sinC=2sinB,所以2|BC|+|AB|=2|AC|,從而有|AC|-|BC|=12|AB=22<|AB|.由雙曲線的定義知,點C的軌跡為雙曲線的右支(除去與x軸的交點).因為a=2,c=22,所以b2=c2-a2=6,即所求軌跡方程為x22-y26=1(x【能力進階練】11.若雙曲線x2n-y2=1(n>1)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2n+2,則△PF1F2的面積為 A.1 B.12 C.2 D.【解析】選A.設點P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2解得|PF1|=n+2+n|PF2|=n+2-n則|PF1|·|PF2|=2.又|F1F2|=2n+1則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以△PF1F2為直角三角形,且∠F1PF2=90°,所以S△PF1F2=12|PF112.(多選題)點P到圖形C上每一個點的距離的最小值稱為點P到圖形C的距離,那么平面內到定圓C的距離與到定點A的距離相等的點的軌跡可能是 ()A.圓 B.直線C.橢圓 D.雙曲線的一支【解析】選ACD.設動點為Q,圓C的半徑為r.當A在圓C內且不與圓心C重合時,如圖所示,平面內到定圓C的距離為|QB|,到定點A的距離為|QA|,依題意|QB|=|QA|,所以|QC|+|QA|=|QC|+|QB|=r>|CA|,所以Q的軌跡為橢圓,所以C正確.當A在圓C內且與圓心C重合時,Q點的軌跡即為圓C,所以A正確.當A在圓C上時,連接CA并延長,Q點的軌跡即為以C為端點的射線CA,如圖所示.當A在圓C外時,設B是圓C上任意一點,連接AB,作線段AB的垂直平分線DQ,交直線BC于點Q.則|QA|=|QB|,所以|QC|-|QA|=|QC|-|QB|=r<|CA|,所以Q的軌跡為雙曲線的一支,所以D正確.13.在平面直角坐標系Oxy中,已知△ABC頂點A(-5,0)和B(5,0),點C在雙曲線x216-y29=1的右支上,則sinAA.23 B.-23 C.45 D【解析】選D.因為點C在雙曲線x216-y29=1的右支上,且A(-5,0)和B(5,0)為雙曲線的兩個焦點,所以|又因為|AB|=10,所以由正弦定理得sinA-sinBsinC=14.從雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線,切點為T,延長FT交雙曲線右支于點P,若M是線段PF的中點,O為原點,則|【解析】如圖所示,設雙曲線的右焦點為F1,連接PF1,則|PF|-|PF1|=2a,在Rt△FTO中,|OF|=c,|OT|=a,所以|FT|=|OF|2-|OT又M是線段PF的中點,O為FF1的中點,所以|PF|=2|MF|=2(|MT|+b),所以|MO|=12|PF1|=12(|PF|-2=12(2|MT|+2b-2a)=|MT|+b-a即|MO|-|MT|=b-a.答案:b-a15.設圓C與兩圓(x+5)2+y2=4,(x-5)2+y2=4中的一個內切,另一個外切.(1)求C的圓心軌跡L的方程;(2)已知點M(355,455),F(5,0),且P為L上動點.求||MP【解析】(1)兩圓的圓心分別為A(-5,0),B(5,0),半徑為2,設圓C的半徑為r.由題意得|CA|=r-2,|CB|=r+2,或|CA|=r+2,|CB|=r-2,兩式相減得|CA|-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即||CA|-|CB||=4.則圓C的圓心軌跡為雙曲線,其中2a=4,c=5,所以a2=4,b2=1,所以圓C的圓心軌跡L的方程為x24-y2(2)由(1)知F為雙曲線L的一個焦點,如圖,連接MF并延長交雙曲線于一點P,此時|PM|-|PF|=|MF|為||PM|-|FP||的最大值.又|MF|=(3所以||MP|-|FP||的最大值為2.【創(chuàng)新拓展練】16.已知△OFQ的面積為26,且·=m,其中O為坐標原點.設以O為中心,F為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q,如圖所示,||=c,m=(64-1)c2,當||取得最小值時,求此雙曲線的標準方程.【解析】設雙曲線的