濟(jì)南備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)一元二次方程綜合經(jīng)典題

一、一元二次方程真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1．已知關(guān)于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍；（2）若方程的兩根恰好是一個(gè)矩形兩鄰邊的長，且k＝2，求該矩形的對(duì)角線L的長．【答案】（1）k＞；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出△＞0，再解不等式即可；（2）當(dāng)k=2時(shí)，原方程x2-5x+5=0，設(shè)方程的兩根是m、n，則矩形兩鄰邊的長是m、n，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出m+n=5，mn=5，則矩形的對(duì)角線長為，利用完全平方公式進(jìn)行變形即可求得答案.【詳解】（1）∵方程x2－(2k＋1)x＋k2＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×(k2＋1)＝4k－3＞0，∴k＞；(2)當(dāng)k＝2時(shí)，原方程為x2－5x＋5＝0，設(shè)方程的兩個(gè)根為m，n，∴m＋n＝5，mn＝5，∴矩形的對(duì)角線長為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、矩形的性質(zhì)等，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．2．計(jì)算題

（1）先化簡，再求值：÷（1+），其中x=2017．（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值．【答案】（1）2018；（2）m=4【解析】分析：（1）根據(jù)分式的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，先算括號(hào)里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根據(jù)一元二次方程的根的判別式求解即可.詳解：（1）÷（1+）===x+1，當(dāng)x=2017時(shí)，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4點(diǎn)睛：此題主要考查了分式的混合運(yùn)算和一元二次方程的根的判別式，關(guān)鍵是熟記分式方程的運(yùn)算順序和法則，注意通分約分的作用.3．關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．求實(shí)數(shù)的取值范圍；是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩實(shí)數(shù)根之積的算術(shù)平方根？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）且；（2）不存在符合條件的實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩實(shí)數(shù)根之積的算術(shù)平方根．【解析】【分析】由于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以它的判別式，由此可以得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍.首先利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與兩根之積，再由方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩實(shí)數(shù)根之積的算術(shù)平方根，可以得出關(guān)于的等式，解出值，然后判斷值是否在中的取值范圍內(nèi).【詳解】解：依題意得，，又，的取值范圍是且；解：不存在符合條件的實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩實(shí)數(shù)根之積的算術(shù)平方根，理由是：設(shè)方程的兩根分別為，，由根與系數(shù)的關(guān)系有：，又因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩實(shí)數(shù)根之積的算術(shù)平方根，，，由知，，且，不符合題意，因此不存在符合條件的實(shí)數(shù)，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之和等于兩實(shí)數(shù)根之積的算術(shù)平方根．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。4．已知關(guān)于x的一元二次方程．若此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且滿足，求m的值．【答案】（1）的最小整數(shù)值為；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根得,列式即可求解,（2）利用韋達(dá)定理即可解題.【詳解】（1）解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即的最小整數(shù)值為（2）由根與系數(shù)的關(guān)系得：，由得：，【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和韋達(dá)定理,中等難度,熟悉韋達(dá)定理是解題關(guān)鍵.5．某水果店銷售某品牌蘋果，該蘋果每箱的進(jìn)價(jià)是40元，若每箱售價(jià)60元，每星期可賣180箱．為了促銷，該水果店決定降價(jià)銷售．市場調(diào)查反映:若售價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多賣10箱．設(shè)該蘋果每箱售價(jià)x元（40≤x≤60），每星期的銷售量為y箱．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每箱售價(jià)為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤達(dá)到3570元？（3）當(dāng)每箱售價(jià)為多少元時(shí)，每星期的銷售利潤最大，最大利潤多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2)57；(3)當(dāng)售價(jià)為59元時(shí)，利潤最大，為3610元【解析】【分析】（1）根據(jù)售價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多賣10箱,設(shè)售價(jià)x元,則多銷售的數(shù)量為60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利潤將函數(shù)變成頂點(diǎn)式即可求解.【詳解】解：（1）∵售價(jià)每降價(jià)1元，每星期可多賣10箱,設(shè)該蘋果每箱售價(jià)x元（40≤x≤60），則y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依題意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴當(dāng)每箱售價(jià)為57元時(shí)，每星期的銷售利潤達(dá)到3570元.（3）設(shè)每星期的利潤為w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-100,二次函數(shù)向下,函數(shù)有最大值,當(dāng)x=59時(shí),利潤最大，為3610元.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,熟悉二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是解題關(guān)鍵.6．如圖，要利用一面墻(墻長為25米)建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長AB，BC各為多少米？【答案】羊圈的邊長AB，BC分別是20米、20米.【解析】試題分析：設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米；然后根據(jù)矩形的面積公式列出方程．試題解析：設(shè)AB的長度為x米，則BC的長度為（100﹣4x）米．根據(jù)題意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．則100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．7．“分塊計(jì)數(shù)法”：對(duì)有規(guī)律的圖形進(jìn)行計(jì)數(shù)時(shí)，有些題可以采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法．例如：圖1有6個(gè)點(diǎn)，圖2有12個(gè)點(diǎn)，圖3有18個(gè)點(diǎn)，……，按此規(guī)律，求圖10、圖n有多少個(gè)點(diǎn)？我們將每個(gè)圖形分成完全相同的6塊，每塊黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（如圖），這樣圖1中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×1=6個(gè)；圖2中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×2=12個(gè)：圖3中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×3=18個(gè)；所以容易求出圖10、圖n中黑點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是、．請(qǐng)你參考以上“分塊計(jì)數(shù)法”，先將下面的點(diǎn)陣進(jìn)行分塊（畫在答題卡上），再完成以下問題：（1）第5個(gè)點(diǎn)陣中有個(gè)圓圈；第n個(gè)點(diǎn)陣中有個(gè)圓圈．（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271嗎？如果會(huì)，請(qǐng)求出是第幾個(gè)點(diǎn)陣．【答案】60個(gè)，6n個(gè)；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣．【解析】分析：根據(jù)規(guī)律求得圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×10=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)；（1）第2個(gè)圖中2為一塊，分為3塊，余1，第2個(gè)圖中3為一塊，分為6塊，余1；按此規(guī)律得：第5個(gè)點(diǎn)陣中5為一塊，分為12塊，余1，得第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解則存在這樣的點(diǎn)陣．詳解：圖10中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6×10=60個(gè)；圖n中黑點(diǎn)個(gè)數(shù)是6n個(gè)，故答案為：60個(gè)，6n個(gè)；（1）如圖所示：第1個(gè)點(diǎn)陣中有：1個(gè)，第2個(gè)點(diǎn)陣中有：2×3+1=7個(gè)，第3個(gè)點(diǎn)陣中有：3×6+1=17個(gè)，第4個(gè)點(diǎn)陣中有：4×9+1=37個(gè)，第5個(gè)點(diǎn)陣中有：5×12+1=60個(gè)，…第n個(gè)點(diǎn)陣中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案為：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圓圈的個(gè)數(shù)會(huì)等于271，它是第10個(gè)點(diǎn)陣．點(diǎn)睛：本題是圖形類的規(guī)律題，采用“分塊計(jì)數(shù)”的方法解決問題，仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)恰當(dāng)?shù)胤謮K是關(guān)鍵．8．為了讓學(xué)生親身感受合肥城市的變化，蜀山中學(xué)九（1）班組織學(xué)生進(jìn)行“環(huán)巢湖一日研學(xué)游”活動(dòng)，某旅行社推出了如下收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：（1）如果人數(shù)不超過30人，人均旅游費(fèi)用為100元；（2）如果超過30人，則每超過1人，人均旅游費(fèi)用降低2元，但人均旅游費(fèi)用不能低于80元．該班實(shí)際共支付給旅行社3150元，問：共有多少名同學(xué)參加了研學(xué)游活動(dòng)？【答案】共有35名同學(xué)參加了研學(xué)游活動(dòng)．【解析】試題分析：由該班實(shí)際共支付給旅行社3150元，可以判斷出參加的人數(shù)在30人以上，等量關(guān)系為：（100﹣在30人基礎(chǔ)上降低的人數(shù)×2）×參加人數(shù)=3150，得到相關(guān)解后根據(jù)人均活動(dòng)費(fèi)用不得低于80元作答即可．試題解析：∵100×30=3000＜3150，∴該班參加研學(xué)游活動(dòng)的學(xué)生數(shù)超過30人．設(shè)九（1）班共有x人去旅游，則人均費(fèi)用為[100﹣2（x﹣30）]元，由題意得：x[100﹣2（x﹣30）]=3150，整理得x2﹣80x+1575=0，解得x1=35，x2=45，當(dāng)x=35時(shí)，人均旅游費(fèi)用為100﹣2（35﹣30）=90＞80，符合題意．當(dāng)x=45時(shí)，人均旅游費(fèi)用為100﹣2（45﹣30）=70＜80，不符合題意，應(yīng)舍去．答：該班共有35名同學(xué)參加了研學(xué)旅游活動(dòng)．考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用．9．閱讀下面內(nèi)容：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)：∵（）2=a﹣2+b≥0∴a+b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)．請(qǐng)利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請(qǐng)直接寫出答案：當(dāng)x＞0時(shí)，x+的最小值為．當(dāng)x＜0時(shí)，x+的最大值為；（2）若y=，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△COD的面積分別為4和9，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y的最小值為9；（3）四邊形ABCD面積的最小值為25．【解析】【分析】（1）當(dāng)x＞0時(shí)，按照公式a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來計(jì)算即可；當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，0，則也可以按公式a+b≥2（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）來計(jì)算；（2）將y的分子變形，分別除以分母，展開，將含x的項(xiàng)用題中所給公式求得最小值，再加上常數(shù)即可；（3）設(shè)S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9，由三角形面積公式可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，用含x的式子表示出S△AOD，再表示出四邊形的面積，根據(jù)題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【詳解】（1）當(dāng)x＞0時(shí)，x22；當(dāng)x＜0時(shí)，﹣x＞0，0．∵﹣x22，∴則x（﹣x）≤﹣2，∴當(dāng)x＞0時(shí)，x的最小值為2．當(dāng)x＜0時(shí)，x的最大值為﹣2．故答案為：2，﹣2．（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴y=（x+1）5≥25=4+5=9，∴y的最小值為9．（3）設(shè)S△BOC=x，已知S△AOB=4，S△COD=9則由等高三角形可知：S△BOC：S△COD=S△AOB：S△AOD，∴x：9=4：S△AOD，∴S△AOD，∴四邊形ABCD面積=4+9+x13+225．當(dāng)且僅當(dāng)x=6時(shí)，取等號(hào)，∴四邊形ABCD面積的最小值為25．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用．對(duì)不能直接應(yīng)用公式的，需要正確變形才可以應(yīng)用．10．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，．求的取值范圍．是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？【答案】(1)且；(2)不存在,理由見解析【解析】【分析】（1）因?yàn)榉匠蹋╧﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2．得出其判別式△＞0，可解得k的取