第二章 2.3.3　點到直線的距離公式

6第二章2.3直線的交點坐標與距離公式2.3.3點到直線的距離公式【素養(yǎng)導引】1.探索并掌握點到直線的距離公式.(數(shù)學抽象)2.掌握點到直線的距離公式,并能靈活應用.(邏輯推理、數(shù)學運算)點到直線的距離公式條件點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式d=|A【批注】1.直線的方程應為一般式,若給出其他形式應化為一般式.2.當點P在直線l上時,點到直線的距離為0,公式仍然適用.[診斷]1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)利用直線的斜截式方程可以直接求點到直線的距離. ()(2)當A=0或B=0時,點P到直線Ax+By+C=0的距離公式仍然適用. ()(3)點P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=b(b≠0)的距離d=y0-b. ()提示:(1)×.不能,必須先化成一般式,再代入公式求距離.(2)√.(3)×.點P(x0,y0)到與x軸平行的直線y=b(b≠0)的距離應為d=|y0-b|,因為y0與b的大小不確定.2.(教材改編題)原點到直線x+2y-5=0的距離為 ()A.1 B.3 C.2 D.5【解析】選D.d=|0+2×0?5|12+3.(教材改編題)點P(1,2)到直線y=2x+1的距離為__________.

【解析】直線y=2x+1化一般式為2x-y+1=0,由點到直線的距離公式,得d=|2×1?2+1|22+(?1答案:5學習任務一求點到直線的距離(數(shù)學運算)1.已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),則點M到直線NF的距離為 ()A.5 B.23C.22 D.33【解析】選B.易知直線NF的斜率k=-3,故直線NF的方程為y=-3(x-1),即3x+y-3=0,所以點M到直線NF的距離為|33+232.點P(5,-1)到直線x3+y4=1的距離為__________,到直線x=2【解析】把直線x3+y4=1化為一般式,得4x+3y-12=0,所以點P(5,-1)到直線x3+y4=1的距離為|4×5+3×(?1)?12|32+答案:13求點到直線距離的關注點(1)解題步驟:先把直線化成一般式方程,再套用點到直線的距離公式.(2)特殊情況:①點P(x0,y0)到x軸的距離d=|y0|;②點P(x0,y0)到y(tǒng)軸的距離d=|x0|;③點P(x0,y0)到直線y=b(b≠0)的距離d=|y0-b|;④點P(x0,y0)到直線x=a(a≠0)的距離d=|x0-a|.學習任務二利用距離公式求參數(shù)(數(shù)學運算)【典例1】已知點P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,則a的取值范圍是__________.

【解析】點P到直線4x-3y-1=0的距離為|4×4?3×a?1|5=|15?3a|5.又|15?3a|5所以a的取值范圍是[0,10].答案:[0,10]本例若把“距離不大于3”改為“距離等于6”,求a的值.【解析】點P到直線4x-3y-1=0的距離為|4×4?3×a?1|5=|15?3a|5.又|15?3a|5=6,所以求參數(shù)的值或取值范圍的方法利用點到直線的距離公式建立關于參數(shù)的方程(組)或不等式,通過解方程(組)或不等式求解.已知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數(shù)a的值等于 ()A.79 B.-C.-79或-13 D.-7【解析】選C.由點到直線的距離公式可得|?3a?4+1|a2+1=|6|6a+4|,解得實數(shù)a=-79或-1學習任務三利用距離公式解決幾何問題(邏輯推理)【典例2】如圖,在△ABC中,A(5,-2),B(7,4),且AC邊的中點M在y軸上,BC邊的中點N在x軸上.(1)求點C的坐標;(2)求△ABC的面積.【解析】(1)設點C的坐標為(x,y).根據(jù)AC邊的中點M在y軸上,BC邊的中點N在x軸上,可得x+52所以點C的坐標是(-5,-4).(2)因為A(5,-2),B(7,4),所以|AB|=(7?5)2+[4?(?2)kAB=4?(?2)7?5所以直線AB的方程為y+2=3(x-5),即3x-y-17=0,所以點C到直線AB的距離d=|?15+4?17|32+(?1)2=2810,所以△ABC的面積為12|AB|·d=距離公式在幾何中的應用利用兩點間的距離公式可以求幾何圖形的邊長大小,利用點到直線的距離公式可以求幾何圖形的高的大小.△ABC的三個頂點的坐標分別為A(2,1),B(3,4),C(-2,-1),則△ABC的面積為__________.

【解析】由兩點式得AB的直線方程為y?14?1=x?23?2,即3x再由點到直線的距離公式得點C到直線AB的距離為d=|?6+1?5|32+(?1又|AB|=(3?2)2+(4?1所以S△ABC=12×10×10=5答案:5【補償訓練】在平面直角坐標系中,△ABC的頂點A(-1,3),B(3,-4),邊AC上的高線所在的直線方程為2x+3y+6=0,邊BC上的中線所在的直線方程為2x+3y-7=0.(1)求點B到直線AC的距離.(2)求△ABC的面積.【解析】(1)由題意,kAC=32,直線AC的方程為y-3=32(x+1),即3x-2y+9=0.點