數(shù)學(xué)人教B版必修4學(xué)案2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標運算

2.2.2向量的正交分解與向量的直角坐標運算基礎(chǔ)知識基本能力1．理解平面向量的正交分解及其作用．(重點)2．了解向量的坐標表示與平面直角坐標系中點的坐標的異同．(易錯點)3．掌握平面向量的坐標運算法則．(重點、難點)1．結(jié)合平面向量正交分解的意義，能夠?qū)懗鼋o定向量的坐標，會作出已知坐標表示的向量．(重點)2．能熟練地運用向量的加法、向量的減法及實數(shù)與向量的積的坐標運算法則進行有關(guān)運算．(難點)3．理解平面直角坐標系內(nèi)任一點的坐標，只與以原點為始點以該點為終點的向量的坐標相同，并且相等向量的坐標相同，但始點和終點坐標卻可以不同．(易錯點)1．向量的坐標(1)如果兩個向量的基線互相垂直，則稱這兩個向量互相垂直．(2)如果基底的兩個基向量e1，e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．(3)在直角坐標系xOy內(nèi)，分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量e1，e2，則對任一向量a，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐標，即a＝(a1，a2)．其中a1叫做向量a在x軸上的坐標分量，a2叫做a在y軸上的坐標分量.(4)向量的坐標：設(shè)點A的坐標為(x，y)，則eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x，y)．符號(x，y)在直角坐標系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(x，y)，或向量(x，y)．名師點撥同一個向量不論怎樣平移，其坐標都是唯一的．這一結(jié)論告訴我們，當(dāng)一個向量在原來位置不容易解決問題時，可以通過平移到合適的位置再進行處理，這樣可以使得問題得以轉(zhuǎn)化．與坐標軸平行的向量的坐標有何特點？答：與x軸平行的向量的縱坐標為0，即b＝(0，y)；與y軸平行的向量的橫坐標為0.【自主測試1】已知{e1，e2}為正交基底，且e1，e2為單位向量，a在此基底下的坐標為(2011，－2012)，且a＝xe1＋ye2，則x＝__________，y＝__________.答案：2011－20122．向量的直角坐標運算(1)設(shè)a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，則a±b＝(a1±b1，a2±b2)，即兩個向量的和與差的坐標等于兩個向量相應(yīng)坐標的和與差；若λ∈R，則λa＝(λa1，λa2)，即數(shù)乘向量的積的坐標等于數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標的積．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的坐標．歸納總結(jié)(1)在同一直角坐標系中，兩向量的坐標相同時，兩個向量相等，但是它們的始點和終點的坐標卻不一定相同，如A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(3,3)，顯然eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，但A，B，C，D各點的坐標卻不相同．(2)在平面直角坐標系中，給出了向量的坐標，將向量的運算代數(shù)化，同時也給出一種用向量運算解決問題的方法——向量坐標法．【自主測試2－1】已知a＝(1，－1)，b＝(3,0)，則3a－2b等于()A．(5,3)B．(4，－1)C．(－2，－1)D．(－3，－3)答案：D【自主測試2－2】已知向量＝(9，－7)(O為原點)，則點N的坐標為()A．(9，－7)B．(9,7)C．(－9,7)D．(－9，－7)答案：A對平面向量的坐標表示的理解剖析：(1)在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與向量a的坐標統(tǒng)一為(x，y)．(2)向量的坐標只與始點和終點的相對位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．(3)在同一直角坐標系中，向量確定后，向量的坐標就被確定了，相等的向量，其坐標的表示必然相同．(4)引入向量的坐標表示以后，向量就有兩種表示方法：一種是幾何法，即用向量的長度和方向表示；另一種是坐標法，即用一對有序?qū)崝?shù)表示．有了向量坐標表示，就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．題型一求向量的坐標【例題1】已知邊長為2的正三角形ABC，頂點A在坐標原點，AB邊在x軸上，C在第一象限，D為線段AC的中點，分別求向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))的坐標．分析：eq\x(表示出各點的坐標)→eq\x(用終點坐標減去始點坐標)→eq\x(得相應(yīng)向量的坐標)解：如圖，正三角形ABC的邊長為2，則頂點A(0,0)，B(2,0)，C(2cos60°，2sin60°)，∴C(1，eq\r(3))，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1－2，eq\r(3)－0)＝(－1，eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－2，\f(\r(3),2)－0))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).反思(1)向量的坐標等于終點的坐標減去始點的坐標，只有當(dāng)向量的始點在坐標原點時，向量的坐標才等于終點的坐標．(2)求向量的坐標一般轉(zhuǎn)化為求點的坐標，解題時常常結(jié)合幾何圖形，利用三角函數(shù)的定義和性質(zhì)進行計算．〖互動探究〗本例中，在原條件的基礎(chǔ)上，加上“E為線段AB的中點，G為三角形ABC的重心”，求向量eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→))，eq\o(BG,\s\up6(→))，eq\o(GD,\s\up6(→))的坐標．解：eq\o(CE,\s\up6(→))＝(0，－eq\r(3))，eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),3)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),6))).題型二平面向量的坐標運算【例題2】已知a＝(x＋3，x2－3x－4)與eq\o(MN,\s\up6(→))相等，其中M(－1,3)，N(1,3)，求x的值．分析：先用坐標表示出向量eq\o(MN,\s\up6(→))，然后根據(jù)兩向量相等的充要條件列出關(guān)于x的關(guān)系式．解：∵M(－1,3)，N(1,3)，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝(2,0)．又∵a＝eq\o(MN,\s\up6(→))，∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.故x的值為－1.反思向量的坐標運算主要是利用向量的加、減、數(shù)乘運算法則進行．若已知表示向量的有向線段的兩端點的坐標，則應(yīng)先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則．【例題3】已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以，為一組基底來表示＋＋.分析：首先由點A，B，C的坐標求得向量，，，，等的坐標，然后根據(jù)平面向量基本定理得到等式＋＋＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，再列出關(guān)于m，n的方程組，進而解方程求出m，n的值．解：＝(1,3)，＝(2,4)，＝(－3,5)，＝(－4,2)，＝(－5,1)，∴＋＋＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12,8)．根據(jù)平面向量基本定理，一定存在實數(shù)m，n，使得＋＋＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，即(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，也就是(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋2n＝－12，,3m＋4n＝8.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝32，,n＝－22.))∴＋＋＝32eq\o(AB,\s\up6(→))－22eq\o(AC,\s\up6(→)).反思本題是平面向量基本定理與坐標運算相結(jié)合的題目，求解過程體現(xiàn)了方程的思想和待定系數(shù)法的特點，尤其要注意區(qū)分點的坐標與向量的坐標．題型三用向量法證明幾何問題【例題4】如圖所示，正方形ABCD中，P為對角線BD上的一點，四邊形PECF是矩形，用向量方法證明PA＝EF.分析：本題所給圖形為正方形，故可考慮建立平面直角坐標系，用向量坐標法來解決，為此只要寫出和的坐標，證明其模相等即可．證明：建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)正方形的邊長為a，則A(0，a)．設(shè)|Deq\o(P,\s\up6(→))|＝λ(λ＞0)，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，0))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，\f(\r(2),2)λ))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(\r(2),2)λ))，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－a，－\f(\r(2),2)λ))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ，a－\f(\r(2),2)λ)).∵||2＝λ2－eq\r(2)aλ＋a2，||2＝λ2－eq\r(2)aλ＋a2，∴||＝||，即PA＝EF.反思直接證明幾何命題有時較復(fù)雜，但合理建立坐標系，利用向量的坐標運算將幾何中的邊或角進行轉(zhuǎn)換，往往能起到事半功倍的效果．題型四易錯辨析【例題5】已知A(3,5)，B(－2，－3)，將線段AB向左平移6個單位長度，再向上平移1個單位長度得到線段A′B′，則向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐標為__________．錯解：∵A(3,5)，B(－2，－3)，∴＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)，再根據(jù)平移，得eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－5－6，－8＋1)＝(－11，－7)．錯因分析：向量是自由向量，向量的平移不會改變其坐標，但會影響其始點和終點的坐標．正解：∵A(3,5)，B(－2，－3)，∴＝(－2－3，－3－5)＝(－5，－8)．又∵eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝，∴eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－5，－8)．1．已知a＝(－1,2)，b＝(1，－2)，則a＋b與a－b的坐標分別為()A．(0,0)，(－2,4)B．(0,0)，(2，－4)C．(－2,4)，(2，－4)D．(1，－1)，(－3,3)答案：A2．已知＝(x，y)，點B的坐標為(－2,1)，則的坐標為()A．(x－2，y＋1)B．(x＋2，y－1)C．(－2－x,1－y)D．(x＋2，y＋1)解析：∵＝－，∴＝－＝(－2－x，1－y)．答案：C3．已知a＝(－7,24)，|λa|＝50，則λ等于__________．解析：∵|λa|＝|λ||a|＝eq\r(－72＋242)|λ|＝50，∴|λ|＝2，∴λ＝±2.答案：±24．已知A(eq\r(3)，－1)，則所在的直線與x軸所夾的銳角為__________．解析：易知點A在第四象限，如圖，作AH⊥x軸于點H，則在Rt△AHO中，AH＝1，HO＝eq\r(3)，則tan∠HOA＝eq\f(\r(3),3)，故∠HOA＝30°.答案：30°5．若作用在坐標原點的三個力F1＝(3,4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3,1)，則作用在原點的合力F1＋F2＋F3的坐標為__________．答案：(8,0)6．在平面直角坐標系中，質(zhì)點在坐標平面內(nèi)做直線運動，分別求出下列位移向量的坐標(如圖所示)．(1)向量a表示沿東北方向移動了2個單位長度；(2)向量b表示沿西偏北60°方向移動了4個單位長度；(3)向量c表示沿東偏南30°方向移動了6個單位長度．解：如題圖所示，設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝a，eq\o(OQ,\s\up6(→))＝b，eq\o(OR,\s\up6(→))＝c，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(x3，y3)．x軸、y軸正方向上的單位向量分別為e1，e2.(1)因為∠POP′＝45°，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝2，所以a＝eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OP′,\s\up6(→))＋eq\o(P′P,\s\up6(→))＝eq\r(2)e1＋eq\r(2)e2.所以a＝(e