新教材北師大版數(shù)學(xué)課后落實(shí)6-5-2第1課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)

課后素養(yǎng)落實(shí)(四十九)平面與平面垂直的性質(zhì)(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．從空間一點(diǎn)P向二面角α-l-β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α-l-β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定C[∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F(xiàn)三點(diǎn)確定的平面垂直于α和β.過(guò)點(diǎn)E作l的垂線，垂足為O，連接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F(xiàn)四點(diǎn)共面，則∠FOE為二面角的平面角，如圖1所示．圖1此時(shí)，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α-l-β的平面角為120°.當(dāng)點(diǎn)P的位置如圖2所示時(shí)，圖2此時(shí)∠FOE＝∠EPF，所以二面角α-l-β的平面角為60°.]2.如圖，設(shè)平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，F(xiàn)H⊥平面α，垂足分別為G，H.為使PQ⊥GH，則需增加的一個(gè)條件是()A．EF⊥平面αB．EF⊥平面βC．PQ⊥GED．PQ⊥FHB[因?yàn)镋G⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，則由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故選B.]3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出如下命題，其中正確命題的個(gè)數(shù)為()①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，則n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；③若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；④若α⊥β，m∥α，則m⊥β.A．1 B．2C．3 D．4B[根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)知①正確；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正確；③中，α⊥β，m⊥β，m?α?xí)r，只可能有m∥α，正確；④中，m與β的位置關(guān)系可能是m∥β或m?β或m與β相交，不正確．綜上，可知正確命題的個(gè)數(shù)為2，故選B.]4．在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，則BDA．平行 B．共面C．垂直 D．不垂直C[如圖所示，在四邊形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C15.如圖，二面角α-l-β的大小是60°，線段AB?α，B∈l，AB與l所成的角為30°，則AB與平面β所成的角的正弦值是()A．eq\f(2\r(5),\r(29)) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(2,5)B[如圖，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，連接OB，OC，則OC⊥l，則∠ACO為二面角α－l－β的平面角，∠ABC為AB與l所成的角．設(shè)AB與β所成的角為θ，則∠ABO＝θ.由圖得sinθ＝eq\f(AO,AB)＝eq\f(AC,AB)·eq\f(AO,AC)＝sin30°·sin60°＝eq\f(\r(3),4).]二、填空題6.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中：(1)二面角D′-AB-D的大小為________．(2)二面角A′-AB-D的大小為________．(1)45°(2)90°[(1)在正方體ABCD-A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD為二面角D′-AB-D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′-AB-D的大小為45°.(2)因?yàn)锳B⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD為二面角A′-AB-D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′-AB-D的大小為90°.]7．已知三棱錐D-ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，則二面角D-BC-A的大小為__________．90°[如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2.取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝eq\r(2)，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小為90°.]8.如圖，若邊長(zhǎng)為4和3與邊長(zhǎng)為4和2的兩個(gè)矩形所在的平面互相垂直，則cosα∶cosβ＝________．eq\f(\r(5),2)[由題意，兩個(gè)矩形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為5，2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))，所以cosα∶cosβ＝eq\r(5)∶2.]三、解答題9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B[解]如圖，取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C1所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角B-A1C1-B1的正切值為eq\r(2).10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，E為線段AB的中點(diǎn)，M在線段PD上．(1)當(dāng)M是線段PD的中點(diǎn)時(shí)，求證：PB∥平面ACM；(2)求證：PE⊥AC.[證明](1)連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接MO，∵M(jìn)為PD中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，∴PB∥MO.又∵M(jìn)O?面ACM，PB?面ACM，∴PB∥面ACM.(2)∵△PAB為正三角形，E為AB的中點(diǎn)，∴PE⊥AB.又∵面PAB⊥面ABCD且相交于AB，∴PE⊥面ABCD，又AC?面ABCD，∴PE⊥AC.11.如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部A[在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．故選A.]12．在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，PC＝4，M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(7)C．4eq\r(3) D．4eq\r(7)B[如圖，連接CM，則由題意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝eq\r(PC2＋CM2)，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，當(dāng)CM⊥AB時(shí)CM有最小值，此時(shí)有CM＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，所以PM的最小值為2eq\r(7).]13.如圖，直二面角α-l-β，點(diǎn)A∈α，AC⊥l，C為垂足，B∈β，BD⊥l，D為垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，則CD的長(zhǎng)為_______．eq\r(2)[如圖，連接BC，∵二角面α-l-β為直二面角，AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β.又BC?β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).]14.如圖，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O為AB中點(diǎn)，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．6[∵CA＝CB，O為AB的中點(diǎn)，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交線為AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD為直角三角形．所以圖中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6個(gè)．]15.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，AC⊥BC，且AC＝BC.(1)求證：AM⊥平面EBC；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正切值．[解](1)證明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，∴BC⊥平面ACDE.又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.∵四邊形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.(2)如圖，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF.∵EA⊥AC