一類行列式的值

一類行列式的值

1拉格爾中的權利義務泰勒公式是高等數學中的一個重要組成部分。在代，有許多方法可以使用代維數計算行列式，而使用微分離學方法很少用于行列式。然而，采用泰勒公式求解行列式確實有效。采用泰勒公式求解以下行列式。Dn=|xbb?bcxb?bccx?b?????ccc?x|的一種方法.本文利用文獻的方法,并根據所求行列式的特點構造相應的行列式函數,從而求出了一類行列式的值.下面先給出泰勒定理.2導數、n階導數f(x)滿足:(1)在點x0的某鄰域|x-x0|<δ內有定義;(2)在此鄰域內有一直到n-1階連續(xù)導數f′(x),f″(x),…,f(n-1)(x);(3)在x0處有n階導數f(n)(x0);那么,f(x)在x0的鄰域|x-x0|<δ內有泰勒展開式可表示為f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)2!(x-x0)2+?+1n!f(n)(x0)(x-x0)n+o|x-x0|n.3通過引入泰勒公式求如下行列式An=|b?bbxb?bxcb?xcc?????x?ccc|.可以把行列式An看做x的函數(一般是x的n次多項式),記gn(x)=An,按泰勒公式在x=b處展開:gn(x)=gn(b)+g′n(b)1!(x-b)+g?n(b)2!(x-b)2+?+g(n-1)n(b)(n-1)!(x-b)n-1+g(n)n(b)n!(x-b)ngn(b)=|bb?bbbbb?bbcbb?bcc??????bb?cccbc?ccc|=|00?00b00?0b-cc00?b-c0c??????0b-c?00cb-c0?00c|=(-1)n(n-1)2b(b-c)n-1.根據行列式的求導法則,有g′n(x)=|00?001bb?bxcbb?xcc??????bx?cccxc?ccc|+|bb?bbx00?010bb?xcc??????bx?cccxc?ccc|+?+|bb?bbcbb?bxcbb?xcc??????bx?ccc10?000|=(-1)n+1ngn-1(x).類似地g?n(x)=(-1)n+1ng′n-1(x)=(-1)2n+1n(n-1)gn-2(x),g?n(x)=(-1)n+1ng?n-1(x)=(-1)2n+1n(n-1)g′n-2(x)=(-1)3nn(n-1)(n-2)gn-3(x),?g(n-1)n(x)=(-1)n2+3n-42n！x=(-1)n2+3n-42n!g1(x),g(n)n(x)=(-1)n(n+3)2n!?則有g′n(b)=(-1)n+1ngn-1(b)=(-1)n+1n(-1)(n-1)(n-2)2b(b-c)n-2=(-1)n(n-1)2nb(b-c)n-2,g?b=(-1)2n+1n(n-1)gn-2(b)=(-1)n+1ngn-1(b)=(-1)2n+1n(n-1)(-1)(n-2)(n-3)2b(b-c)n-3=(-1)n(n-1)2n(n-1)b(b-c)n-3,?g(n)n(b)=(-1)n(n-1)2[n(n-1)?2]b,g(n)n(b)=(-1)n(n+3)2n!=(-1)n(n-1)2n!,代入gn(x)在x=b處的泰勒展開式:gn(x)=(-1)n(n-1)2b(b-c)n-1+(-1)n(n-1)2nb(b-c)n-21!(x-b)+[n(n-1)b(b-c)n-32!(x-b)2](-1)n(n-1)2+?+n!(n-1)!b(b-1)n-1(-1)n(n-1)2+(-1)n(n-1)2n!n!(x-b)n=(-1)n(n-1)2[b(b-c)n-1+nb(b-c)n-21!(x-b)+n(n-1)b(b-c)n-32!(x-b)2+?+(x-b)n]=(-1)n(n-1)2[C0nb(b-c)n-1+C1nb(b-c)n-2(x-b)+C2nb(b-c)n-3(x-b)2+?+Cn-1n(x-b)n-1b+Cnn(x-b)n].當b=c時,則gn(x)=[0+0+?+n(n-1)!b(n-1)!(x-b)n-1+(x-b)n]?(-1)n(n-1)2=(-1)n(n-1)2(x-b)n-1[x+(n-1)b].當b≠c時,則gn(x)=(-1)n(n-1)2[C0nb(b-c)n+1+C1nb(b-c)n-2(x-b)b-c+?+Cn-1nb(b-c)(x-b)n-1Cnnb(x-b)n-Cnnc(x-b)nb-c]=(-1)n(n-1)2b[C0n(b-c)n+C1n(b-c)n-1(x-b)+?+Cnn(x-b)n]-c(x-b)nb-c=(-1)n(n-1)2b(x-b+b-c)n-c(x-b)nb-c=(-1)n(n-1)2b(x-c)n-c(x-b)nb-c.即An={(-1)n(n-1)2(x-b)n-1[x+(n-1)b],當b=c時(-1)n(n-1)2b(x-c)n-c(x-b)nb-c,當≠c時.4拉格朗日乘子法若某一行列式行數fn(x)的各階導數都能化為上述gn(x)的各階導數的遞推形式,(其中fn(x)是由行列式的主(次)對角線上元素變成x生成的),均可用此種方法求得.形如D1=|xa0?00bxa?000bx?00??????000?xa000?bx|D2=|xaa0?000bxaa?000bbxa?0000bbx?000????????0000?xaa0000?bxa0000?bbx|D1=|xa0?00bxa?000bx?00????