向量組線性相關(guān)性的判別

向量組線性相關(guān)性的判別

向量組的線性相關(guān)性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)揮著非常重要的作用，它與行列式、矩陣、線性方程組的解、二次、線性變換和歐空間等密切相關(guān)。然而，向量相關(guān)性的判斷是抽象和難以理解的。事實(shí)上，向量組的線性相關(guān)性與線性無關(guān)。只要掌握線性相關(guān)性的判斷，線性無關(guān)的判斷就會(huì)變得簡單。如果向量組的組件劃分是否具體說明線性相關(guān)性的評估方法，則會(huì)對線性相關(guān)產(chǎn)品進(jìn)行具體介紹。1線性相關(guān)判斷對于α1=(α11,α21,…,αn1)T,α2=(α12,α22,…,α2n)T,…,αm=(α1m,α2m,…,αnm)T的線性相關(guān)判斷.1.1xmm若α1,α2,…,αm為系數(shù)向量的齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xmαm=0有非零解,則向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān);若該齊次線性方程組只有零解,則向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān).1.2低秩矩陣以α1,α2,…,αm作為列向量構(gòu)成矩陣A=(α1,α2,…,αm),對矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣,由此求出矩陣A的秩R(A):(1)當(dāng)R(A)<m時(shí),向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān);(2)當(dāng)R(A)=m時(shí),向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān).1.3以向量組為構(gòu)成變量的齊次線性方程組若向量組α1,α2,…,αm的個(gè)數(shù)等于向量的維數(shù),則以α1,α2,…,αm作為列向量構(gòu)成的矩陣A=(α1,α2,…,αm)是一個(gè)方陣,而方陣可以取行列式:(1)當(dāng)|A|=0|A|=0時(shí),向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān);(2)當(dāng)|A|≠0|A|≠0時(shí),向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān).例1判斷向量組α1=(2,1,0,5)T,α2=(7,-5,4,-1)T,α2=(3,-7,4,-11)T線性相關(guān).解以α1,α2,α3為系數(shù)向量的齊次線性方程組是利用矩陣的初等行變換將方程組的系數(shù)矩陣A化為行階梯形矩陣A=[2731-5-70445-1-11]→[1-5-72730445-1-11]→[1-5-70171704402424]→[1-5-7011011011]→[1-5-7011000000].A=??????21057?54?13?74?11??????→??????1205?574?1?734?11??????→??????1000?517424?717424??????→??????1000?5111?7111??????→??????1000?5100?7100??????.由行階梯形矩陣知,R(A)=2<3,即該齊次線性方程組有非零解,所以向量組α1,α2,α3線性相關(guān).例2設(shè)α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α3=(1,3,t)T,問t取何值時(shí),向量組α1,α2,α3線性相關(guān).解法1以α1,α2,α3為列向量構(gòu)成的矩陣為A=(α1?α2?α3)=[11112313t]→[11101202t-1]→[11101200t-5].可見,當(dāng)t=5時(shí),R(A)=2<3,所以向量組α1,α2,α3線性相關(guān).解法2向量組α1,α2,α3的個(gè)數(shù)個(gè)和維數(shù)相等,都為3,由1.3節(jié)的方法有|A|=|11112313t|=t-5.可見當(dāng)t=5時(shí)|A|=0,所以向量組α1,α2,α3線性相關(guān).用1.1,1.2和1.3進(jìn)行判斷的出發(fā)點(diǎn)不同,但實(shí)質(zhì)是一樣的.1.1和1.2都是要利用矩陣的初等行變換將相應(yīng)的系數(shù)矩陣化簡為行階梯形矩陣,從而求出向量組的秩即系數(shù)矩陣的秩,然后再作出判定.而1.3是根據(jù)克萊姆法則判別以向量組各向量作為系數(shù)向量的齊次線性方程組有無非零解,然后對向量組的線性相關(guān)性做出判定,所以可用1.3進(jìn)行判定時(shí)也可用1.1和1.2進(jìn)行判定.2對于未給出的向量組的線性距離的評估，解決2.1,k,為零,2,為零,m線性無關(guān)這是判斷向量組線性相關(guān)性的基本方法.其定義是:給定向量組A:α1,α2,…,αm,如果存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0,則稱向量組A是線性相關(guān)的,否則稱它是線性無關(guān)的,也就是說,只有當(dāng)k1,k2,…,km全部為零時(shí),k1α1+k2α2+…+kmαm=0才成立,則稱向量組A是線性無關(guān)的.即由k1α1+k2α2+…+kmαm=0,若推導(dǎo)出k1,k2,…,km全為零,則向量組A:α1,α2,…,αm線性無關(guān);若推導(dǎo)出k1,k2,…,km不全為零,則向量組A:α1,α2,…,αm線性相關(guān).例3設(shè)β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,證明β1,β2,β3,β4線性相關(guān).證明設(shè)有數(shù)k1,k2,k3,k4使k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0,即k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=0,亦即(k4+k1)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=0.(1)若向量組α1,α2,α3,α4線性相關(guān),則由上式可知,k4+k1,k1+k2,k2+k3,k3+k4不全為零,故k1,k2,k3,k4不全為零(否則,k4+k1,k1+k2,k2+k3,k3+k4全為零),所以向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān).(2)若向量組α1,α2,α3,α4線性無關(guān),則有{k1+k4=0k1+k2=0k2+k3=0k3+k4=0?由于此方程組的系數(shù)行列式,故齊次線性方程組存在非零解,所以向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān).由例3的(2)可以看出在運(yùn)用定義法時(shí),也運(yùn)用了齊次線性方程組有無非零解的方法.根據(jù)已知向量組的線性相關(guān)性,構(gòu)造一個(gè)齊次線性方程組,判斷該方程組是否有非零解來判定所求向量組的線性相關(guān)性.2.2線性無關(guān)組的秩數(shù)法定位向量組的秩是指向量組中任一個(gè)極大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù).設(shè)向量組為α1,α2,…,αm,其秩記為R(α1,α2,…,αm),由極大無關(guān)組的定義和秩的定義可得:若向量組的秩等于向量的個(gè)數(shù),則該向量組是線性無關(guān)的;若向量組的秩小于向量的個(gè)數(shù),則該向量組是線性相關(guān)的.(例略)2.3,3,4線性相關(guān)134444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444定理1向量組α1,α2,…,αm(m≥2)線性相關(guān)?向量組α1,α2,…,αm中至少有一個(gè)向量可以由其余的m-1個(gè)向量線性表示.定理2向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān),而α1,α2,…,αm,β線性相關(guān)?β可由α1,α2,…,αm線性表示且表達(dá)方式唯一.定理3若向量組α1,α2,…,αm有一部分向量組線性相關(guān)?向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān).與此等價(jià)的一個(gè)說法為:向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān)關(guān)?向量組α1,α2,…,αm的任一部分向量組線性無關(guān).例4已知α1,α2,α3線性無關(guān),α2,α3,α4線性相關(guān),問:(1)α4能否由α1,α2,α3線性表示?(2)α1能否由α2,α3,α4線性表示?解(1)由α1,α2,α3線性無關(guān)?α2,α3線性無關(guān),又由α2,α3,α4線性相關(guān)?α4能由α2,α3線性表示且表達(dá)式唯一,所以存在數(shù)k2,k3使得α4=k2α2+k3α3?α4=0α1+k2α2+k3α3,故α4能由α1,α2,α3線性表示.(2)反證法.假設(shè)α1能由α2,α3,α4表示,則存在數(shù)λ1,λ2,λ3,使得α1=λ1α2+λ2α3+λ3α4,又由(1)α4能由α2,α3線性表示,所以α1能由α2,α3線性表示,所以α1,α2,α3線性相關(guān),與已知矛盾,故α1不能由α2,α3,α4線性表示.2.4向量組線性相關(guān)性的判定在有些題目中,直接證明結(jié)論有時(shí)候比較困難,而從結(jié)論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知定義、定理、公理相矛盾的結(jié)果,從而結(jié)論的反面不成立,則結(jié)論成立.反證法是一種常用的方法.例5設(shè)向量組α1,α2,…,αm中任一向量αi不是它前面i-1個(gè)向量的線性組合,且αi≠0,證明向量組α1,α2,…,αm線性無關(guān).證明(反證法)假設(shè)向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,km使得:k1α1+k2α2+…+kmαm=0,(1)由此可知km≠0,由上式可得αm=-k1kmα1-k2kmα2-?-km-1kmαm-1,即αm可以由它前面m-1個(gè)向量線性表示,這與題設(shè)矛盾,因此km=0,于是(1)式轉(zhuǎn)化為k1α1+k2α2+…+km-1αm-1=0.類似于上面的證明可得km-1=km-2=…=k3=k2=0,(1)式轉(zhuǎn)第為k1α1=0,但α1≠0,所以k1=0,這與k1,k2,…,km不全為零的假設(shè)相矛盾,因此向量組線