抽象函數(shù)年奇偶性對稱性周期性

抽象函數(shù)奇偶性對稱性周期性嚴(yán)守俊216355813529652696《函數(shù)的奇偶性周期性對稱性》第3頁共21頁 抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性與周期性常用結(jié)論一.概念:抽象函數(shù)是指沒有給出具體的函數(shù)解析式或圖像,只給出一些函數(shù)符號及其滿足的條件的函數(shù),如函數(shù)的定義域,解析遞推式,特定點(diǎn)的函數(shù)值,特定的運(yùn)算性質(zhì)等,它是高中函數(shù)部分的難點(diǎn),也是大學(xué)高等數(shù)學(xué)函數(shù)部分的一個銜接點(diǎn),由于抽象函數(shù)沒有具體的解析表達(dá)式作為載體,因此理解研究起來比較困難，所以做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識靈活運(yùn)用的能力1、周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期。分段函數(shù)的周期：設(shè)是周期函數(shù)，在任意一個周期內(nèi)的圖像為C:。把個單位即按向量在其他周期的圖像：。2、奇偶函數(shù)：設(shè)=1\*GB3①若=2\*GB3②若。3、函數(shù)的對稱性：（1）中心對稱即點(diǎn)對稱：=1\*GB3①點(diǎn)=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤=6\*GB3⑥記住對稱中心為：（0，0）、、的函數(shù)的特征。2、奇函數(shù)與圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱函數(shù)3、函數(shù)與圖象關(guān)于X軸對稱4、互為反函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱5.函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論1:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論2:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱推論3:函數(shù)與圖象關(guān)于直線對稱（三）抽象函數(shù)的對稱性與周期性1、抽象函數(shù)的對稱性性質(zhì)1若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝f(a－x)（2）f(2a－x)＝f(x)（3）f(2a＋x)＝f(－x)性質(zhì)2若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)易知，y＝f(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質(zhì)1（或2）當(dāng)a＝0時的特例。

2、復(fù)合函數(shù)的奇偶性定義1、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，則復(fù)數(shù)函數(shù)y＝f[g(x)]為偶函數(shù)。定義2、若對于定義域內(nèi)的任一變量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，則復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)。說明：（1）復(fù)數(shù)函數(shù)f[g(x)]為偶函數(shù)，則f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，復(fù)合函數(shù)y＝f[g(x)]為奇函數(shù)，則f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。（2）兩個特例：y＝f(x＋a)為偶函數(shù)，則f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)為奇函數(shù)，則f(－x＋a)＝－f(a＋x)（3）y＝f(x＋a)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱（或關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱）

3、復(fù)合函數(shù)的對稱性性質(zhì)3復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(b－x)關(guān)于直線x＝（b－a）/2軸對稱性質(zhì)4、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(b－x)關(guān)于點(diǎn)（（b－a）/2，0）中心對稱推論1、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝f(a－x)關(guān)于y軸軸對稱推論2、復(fù)合函數(shù)y＝f(a＋x)與y＝－f(a－x)關(guān)于原點(diǎn)中心對稱

4、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任一變量x點(diǎn)有下列條件之一成立，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)5、函數(shù)的對稱性與周期性性質(zhì)5若函數(shù)y＝f(x)同時關(guān)于直線x＝a與x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)6、若函數(shù)y＝f(x)同時關(guān)于點(diǎn)（a，0）與點(diǎn)（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝2|a－b|性質(zhì)7、若函數(shù)y＝f(x)既關(guān)于點(diǎn)（a，0）中心對稱，又關(guān)于直線x＝b軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T＝4|a－b|6、函數(shù)對稱性的應(yīng)用（1）若,即（2）例題1、;2、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)（0，0）對稱：。3、若的圖像關(guān)于直線對稱。設(shè).（四）常用函數(shù)的對稱性1、分段函數(shù)的奇偶性=1\*GB3①奇函數(shù)：=2\*GB3②偶函數(shù)：2、(1)的周期;對稱中心;對稱軸方程.(2)的周期;對稱中心+;對稱軸方程.(3)的周期;對稱中心;3、（1）的對稱中心為（h,k）,對稱軸為x=h及y=k。（2）的對稱軸為y=k;的對稱軸為x=h;三、函數(shù)周期性的幾個重要結(jié)論1、()的周期為，()也是函數(shù)的周期2、的周期為3、的周期為4、的周期為5、的周期為6、的周期為7、的周期為8、的周期為9、的周期為10、若11、有兩條對稱軸和周期推論：偶函數(shù)滿足周期12、有兩個對稱中心和周期推論：奇函數(shù)滿足周期13、有一條對稱軸和一個對稱中心的四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題，它對訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實(shí)例說明其應(yīng)用類型。1.求函數(shù)值例1.（1996年高考題）設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.例2．（1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且，求的值.。2、比較函數(shù)值大小例3.若是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時，試比較、、的大小.解：是以2為周期的偶函數(shù)，又在上是增函數(shù)，且，3、求函數(shù)解析式例4.（1989年高考題）設(shè)是定義在區(qū)間上且以2為周期的函數(shù)，對，用表示區(qū)間已知當(dāng)時，求在上的解析式.解：設(shè)時，有是以2為周期的函數(shù)，.例5．設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，求時，的解析式.解：當(dāng)，即，又是以2為周期的周期函數(shù)，于是當(dāng)，即時，4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知的周期為4，且等式對任意均成立，判斷函數(shù)的奇偶性.解：由的周期為4，得，由得，故為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的個數(shù)例7.設(shè)函數(shù)對任意實(shí)數(shù)滿足，判斷函數(shù)圖象在區(qū)間上與軸至少有多少個交點(diǎn).解：由題設(shè)知函數(shù)圖象關(guān)于直線和對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得是以10為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間上，故圖象與軸至少有2個交點(diǎn).而區(qū)間有6個周期，故在閉區(qū)間上圖象與軸至少有13個交點(diǎn).6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列中，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并計算，由得總項(xiàng)數(shù)為500項(xiàng)，7、在二項(xiàng)式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進(jìn)行計算即可.解：因?yàn)檎归_式中前92項(xiàng)中均有7這個因子，最后一項(xiàng)為1，即為余數(shù)，故天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用例10.（上海市1994年高考題）設(shè)，則滿足等式且大于1的正整數(shù)中最小的是（A）3；（B）4；（C）6；（D）7.分析：運(yùn)用方冪的周期性求值即可.解：，9、解“立幾”題例11.ABCD—是單位長方體，黑白二蟻都從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是黑蟻爬行的路線是它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段所在直線與第段所在直線必須是異面直線（其中.設(shè)黑白二蟻?zhàn)咄甑?990段后，各停止在正方體的某個頂點(diǎn)處，這時黑白蟻的距離是（A）1；（B）；（C）；（D）0.解：依條件列出白蟻的路線立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻?zhàn)咄炅魏笥只氐搅薃點(diǎn).可驗(yàn)證知：黑白二蟻?zhàn)咄炅魏蟊鼗氐狡瘘c(diǎn)，可以判斷每六段是一個周期.1990=6，因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻?zhàn)咄晁亩魏蟮奈恢?，不難計算出在走完四段后黑蟻在點(diǎn)，白蟻在C點(diǎn)，故所求距離是例題與應(yīng)用例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]時f(x)=x，求f(2007)的值例2：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故f(2009)=f(251×8+1)=f(1)=2例3：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)=－2x+1，則當(dāng)時求f(x)的解析式例4：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當(dāng)時，f(x)是減函數(shù)，求證當(dāng)時f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上單調(diào).求a的值.例7：已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在區(qū)間[－1000，1000]上f(x)=0至少有幾個根？

解：依題意f(x)關(guān)于x=2，x=7對稱，類比命題2（2）可知f(x)的一個周期是10故f(x+10)=f(x)∴f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0，10]上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，因此方程f(x)=0在區(qū)間[－1000，1000]上至少有1+=401個根.例8、函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象之間（D）A．關(guān)于直線x＝5對稱B．關(guān)于直線x＝1對稱C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對稱D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)之間關(guān)于點(diǎn)（（6－4）/2，0）即（1，0）中心對稱，故選D。（原卷錯選為C）例9、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x＝1對稱，證明f(x)是周期函數(shù)。（2001年理工類第22題）例10、設(shè)f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時f(x)＝x，則f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工類第15題）例11、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（C）A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)例12、函數(shù)y＝f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，那么y＝－f(x＋4)與y＝f(6－x)的圖象（

）。A．關(guān)于直線x＝5對稱

B．關(guān)于直線x＝1對稱C．關(guān)于點(diǎn)（5，0）對稱

D．關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱例13、設(shè)f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x，則f(7.5)=（

）。A．0.5

B．－0.5

C．1.5

D．－1.5例14、設(shè)f(x)是定義在（－∞，＋∞）上的函數(shù)，且滿足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，則f(x)是（

）。A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù)

B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù)

D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)例15、f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于x＝1對稱，證明f(x)是周期函數(shù)。參考答案：D，B，C，T＝2。例16、在數(shù)列求=-1．例17、已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)且滿足：f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=1997，求f（2001）的值。例18、設(shè)偶函數(shù)滿足，則(A) (B)(C) (D)例19、若數(shù)列滿足，若，則的值為___________。例20、已知數(shù)列滿足，則= （）例21.f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=-f(x+3),x∈[0,3/2]時f(x)=x,則f(2003)例22.f(x)是R上的偶函數(shù),f(1-x)=f(x+1),x∈[-1,0]時f(x)=Log0.5(-x)則f(2003)例23.f(x)滿足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在[5,9]上單調(diào)。求a的值。一組有趣的三角求值問題：⑴cos0°+cos1°+cos2°+…+cos359°+cos360°；=0

⑵tan1°·tan2°·tan3°·…·tan88°·tan89°．=1（3）

（4）

（5）cosαcos2αcos4α…cos2α=．

（6）sinαsin2αsin4α…sin2α=？（7）tanαtan2αtan4α…tan2α=？利用不動點(diǎn)法求通項(xiàng)公式例14已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點(diǎn)。因?yàn)椤?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點(diǎn)，即方程的兩個根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。例15已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則x=1是函數(shù)的不動點(diǎn)。因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點(diǎn)，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式。周期數(shù)列對于數(shù)列{}，如果存在一個常數(shù)，使得對任意的正整數(shù)恒有成立，則稱數(shù)列{}是從第項(xiàng)起的周期為T的周期數(shù)列。若，則稱數(shù)列{}為純周期數(shù)列，若，則稱數(shù)列{}為混周期數(shù)列，T的最小值稱為最小正周期，簡稱周期。周期數(shù)列主要有以下性質(zhì)：（1）周期數(shù)列是無窮數(shù)列，其值域是有限集；（2）周期數(shù)列必有最小正周期（這一點(diǎn)與周期函數(shù)不同）；（3）如果T是數(shù)列{}的周期，則對于任意的，也是數(shù)列{}的周期；（4）如果T是數(shù)列{}的最小正周期，M是數(shù)列{}的任一周期，則必有T|M，即M=（）；幾種常見類型的周期數(shù)列：形如證明：，數(shù)列是周期為3的數(shù)列例1.已知數(shù)列中，，則能使的的數(shù)值是（C）（A）14（B）15（C）16（D）17二、形如數(shù)列是周期為3的數(shù)列例2、已知數(shù)列滿足，則1002三、形如證明：，，數(shù)列是周期為6的數(shù)列。已知數(shù)列滿足，，，記則下列結(jié)論正確的是（A）（A），（B），（C），（D），四、形如證明：，數(shù)列是周期為4的數(shù)列。例4、數(shù)列滿足，，則五、形如（等和數(shù)列）證明：，數(shù)列是周期為2的數(shù)列例5、在數(shù)列中，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（A）（A）（B）（C）3（D四階幻方--靈敏巧慧的數(shù)學(xué)情詩

詩歌使人巧慧，數(shù)學(xué)使人靈敏。在藝術(shù)中，與數(shù)學(xué)最接近的就是詩歌了。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為，不能在心靈上作為一個詩人就不能成為一位數(shù)學(xué)家。九宮圖是一首迷人的詩，那么四階幻方也是一首完美的詩，一首震憾人們心靈的詩。四階完美幻方共有三類。它所具有的幻性是十分豐富的，其分布規(guī)律，其結(jié)構(gòu)關(guān)系，表現(xiàn)出驚人的和諧對稱性，及整齊一律的美，并蘊(yùn)含深奧的哲理思想。在我們的心靈中四階完美幻方就是一首有嚴(yán)格韻律的四句詩，它激起了我們想象空間的升華，我們用它的數(shù)字結(jié)構(gòu)進(jìn)行詩歌藝術(shù)的創(chuàng)作，所創(chuàng)作成的每首詩歌，宛如新生的綠樹，盛開著文學(xué)藝術(shù)和數(shù)學(xué)理趣的并蒂花。九宮圖8種變式配八首詩歌①鳥語花香

四季九花二重開，三楊五柳七處栽。

八哥一唱六鳥應(yīng)，九宮奇境仙人來。②英雄奇才八方三才游四海，一將五戰(zhàn)勝九怪。

六女七拜楊二郎，九宮奇才誰不愛。

③哥妹團(tuán)圓

二探七哥六妹愁，九望五峰一路陡。

四河三橋八停留，半月十五才到頭。

④預(yù)測大師

六路七星二神通，一算五行九宮明。

八卦三爻四象生，天地人間事事語。

⑤流行《九妹》

二唱九妹四座驚，七顏五色三面捧。

六女一轉(zhuǎn)八來風(fēng)，唱遍祖國處處春。

⑥數(shù)字之美

點(diǎn)六一八黃金比，數(shù)七五三差等級。

二數(shù)除九余加四。十全十美真有趣。

⑦讀書人生

八科一生學(xué)六回，三書五經(jīng)讀七春。

四年九創(chuàng)書二本，讀書人生奏強(qiáng)音。

⑧紀(jì)念領(lǐng)袖

四祝三八婦女節(jié)，九慶五一勞動節(jié)。

二節(jié)逢上七六年，痛失領(lǐng)袖哭歲月。

四階完美幻方

1．別離情

四哥探望十四姐，

七轉(zhuǎn)石嶺九道砭。

十五月亮一夜圓，

十二月逢六天面。

十訴別情八回怨，

十三云月三重天。五作別詩十一首，

兩地相望十六年。

{注解}：此詩所用數(shù)字構(gòu)成一個四階完美幻方，其四行四列及八條泛對角線所含四數(shù)之和都等于34。而且每一正方形，每一等腰梯形（如14，7，10，3）。每一平行四邊形（如4，15，13，2）上的四個角，所含四數(shù)之和均為34。每一交*十字點(diǎn)上，畫一個“X”向四邊沿伸使其各有兩