西南大學(xué)18秋0346《初等數(shù)論》作業(yè)答案

一、簡答題1.判斷30是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，如果是合數(shù)，請給出其標準分解式。2.94536是否是9的倍數(shù)，為什么？3.寫出模6的最小非負完全剩余系。4.敘述質(zhì)數(shù)的概念，并寫出小于18的所有質(zhì)數(shù)。5.敘述模m的最小非負完全剩余系的概念。6.2358是否是3的倍數(shù)，為什么？二、給出不定方程ax+by=c有整數(shù)解的充要條件并加以證明。三、給出有關(guān)同余的一條性質(zhì)并加以證明。四、敘述帶余數(shù)除法定理的內(nèi)容并給出證明。1一、簡答題（每小題10分，共30分）1.判斷30是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，如果是合數(shù)，請給出其標準分解式。答：30是合數(shù)，其標準分解式為30235。2.94536是否是9的倍數(shù)，為什么？答：94536是9的倍數(shù)，因為9453627是9的倍數(shù)。3.寫出模6的最小非負完全剩余系。答：模6的最小非負完全剩余系為0，1，2，3，4，5。4.敘述質(zhì)數(shù)的概念，并寫出小于18的所有質(zhì)數(shù)。答：一個大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫作質(zhì)數(shù)。小于18的所有質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13，17。5.敘述模m的最小非負完全剩余系的概念。答：0，1，2，…，m-1稱為m的最小非負完全剩余系。6.2358是否是3的倍數(shù)，為什么？答：2358是3的倍數(shù)。因為一個整數(shù)能被3整除的充要條件是它的各個位數(shù)的數(shù)字之和為3的倍數(shù)，而2+3+5+8=18，18是3的倍數(shù)，所以2358是3的倍數(shù)。二、給出不定方程ax+by=c有整數(shù)解的充要條件并加以證明。解：結(jié)論：二元一次不定方程ax+by=c有整數(shù)解的充要條件是(,)|。abc證明如下：若ax+by=c有整數(shù)解，設(shè)為x,y，則00axbyc00反之，若(,)|，則cc(a,b)，c為整數(shù)。由最大公因數(shù)的性質(zhì)，存在兩abc11個整數(shù)s，t滿足下列等式asbt(a,b)于是a(sc)b(tc)c(a,b)c。111令xsc，ytc，則axbyc，故x,y為ax+by=c的整數(shù)解，從而01010000ax+by=c有整數(shù)解。三、給出有關(guān)同余的一條性質(zhì)并加以證明。b對模m同余的充要條件是m｜-=+mt，t是整數(shù)。，1122121212mmqq1212121212成立，而且q及r是唯一的。qr設(shè)，是滿足（2）的另兩個整數(shù)，則11abqrrb，0111bqrbqr所以，于是()，故bqqrr。由于，都是bqqrrr1111111rrb小于bqq1bqqb11qq因此，從而。rr11填空題1．7除29的商是2．12除26的余數(shù)是3．5的正因數(shù)是4．{4.5}=。。。。5．[8.3]+[-8.3]=6．30的最小質(zhì)因數(shù)是。。7．在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是。8．在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是9．大于4小于16___。______。10．不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是axbyc。11．模5的最小非負完全剩余系是12．模4的絕對最小完全剩余系是。。13．555的個位數(shù)是。514．7_______________。715．3的十進位表示中的個位數(shù)字是。1616．6的個位數(shù)是。617．7被11除的余數(shù)是。10181516，600）=。19．6的所有正因數(shù)的和是20．24與60的最大公因數(shù)是_。。21．35的最小質(zhì)因數(shù)是。22．4的個位數(shù)是。623．8的所有正因數(shù)的和是24．18的標準分解式為_。。25．20的歐拉函數(shù)值(20)=。填空題答案1．7除29的商是4。2．12除26的余數(shù)是3．5的正因數(shù)是1,52。。4．{4.5}=0.5。5．[8.3]+[-8.3]=-1。6．30的最小質(zhì)因數(shù)是2。7．在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是8．在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是9．大于4小于16___5,7,11,13______。2。3。。10．不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是axbyc,c。11．模5的最小非負完全剩余系是0,1,2,3,412．模4的絕對最小完全剩余系是-1,0,1,2。13．的個位數(shù)是5。555514．7_______3________。715．3的十進位表示中的個位數(shù)字是1。1616．6的個位數(shù)是6。617．7被11除的余數(shù)是1。10181516，600）=4。19．6的所有正因數(shù)的和是12_。20．24與60的最大公因數(shù)是21．35的最小質(zhì)因數(shù)是12。5。22．4的個位數(shù)是6。623．8的所有正因數(shù)的和是15_。24．18的標準分解式為18232。25．20的歐拉函數(shù)值(20)=計算題1.求400與240的最大公因數(shù)。2.求不定方程10x+9y=1的一切整數(shù)解。3.求150與210的最大公因數(shù)。4.解同余式3x2(mod5)。5.求不定方程7x+2y=1的一切整數(shù)解。6.解同余式3x1(mod7)。7.解同余式28x21(mod35)。8.解同余式組：x。x2(mod9.求不定方程3x+2y=2的一切整數(shù)解。10.解同余式45)。x8。計算題答案1.求400與240的最大公因數(shù)。解：因為40025，240235，424所以400與240的最大公因數(shù)是25，即80。42.求不定方程10x+9y=1的一切整數(shù)解。解：因為(10,9)=1，所以不定方程有整數(shù)解。xy顯然=1，=-1是其一個特解，解：因為1502352，2102357所有150與210的最大公因數(shù)是235，即30。4.解同余式3x2(mod5)。xx1。00x1t，t取一切整數(shù)。解：因為（3,7）=1，所以同余式有解且有一個解。xx2，712，17，27，32(mod35)。xx2(modxk解：由得31，將其代入2(mod5)xxkkt解得2(mod，即52，k