高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)課件2-4曲線與方程

2.4曲線與方程第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)思維脈絡(luò)1.學(xué)習(xí)本節(jié)要掌握曲線的方程與方程的曲線的概念,明確曲線的點(diǎn)集和方程解集間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,并能根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合方程,來判斷該點(diǎn)是否在曲線上.(數(shù)學(xué)抽象,邏輯判斷)2.能夠通過求方程組的解,來確定曲線的交點(diǎn).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.初步掌握由曲線的已知條件求曲線的方程及根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的方法.(邏輯推理)課前篇自主預(yù)習(xí)激趣誘思笛卡爾是被譽(yù)為“近代科學(xué)的始祖”“近代哲學(xué)之父”,是17世紀(jì)的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一,他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、天文學(xué)、心理學(xué)等方面都有研究且成就頗高.其中有一個(gè)很有名的故事,笛卡爾給他的戀人寫的一封信內(nèi)容只有短短的一個(gè)公式:r=a(1-sinθ).你知道這是何意?其實(shí)這就是笛卡爾的愛心函數(shù),圖形是心形線,是一個(gè)圓上的固定一點(diǎn)在它繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周滾動(dòng)時(shí)所形成的軌跡,因其形狀像心形而得名.同學(xué)們,你能說出一條曲線和它對(duì)應(yīng)的方程有怎樣的關(guān)系嗎?知識(shí)點(diǎn)撥1.曲線的方程與方程的曲線的定義在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線C與方程F(x,y)=0之間具有如下關(guān)系:(1)曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.微練習(xí)方程y=表示的曲線是(

)A.一條直線

B.圓C.半圓

D.不表示任何圖形答案

C微思考若曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程,則曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之間是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?提示

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.它闡明的含義是曲線上沒有坐標(biāo)不滿足方程的點(diǎn).②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).它闡明的含義是適合方程的所有點(diǎn)都在曲線上,即沒有遺漏的點(diǎn).所以兩個(gè)條件充分保證了曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不多,一個(gè)也不少,即曲線上的點(diǎn)集與方程的解集之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.求兩曲線的交點(diǎn)已知曲線C1:F(x,y)=0和曲線C2:G(x,y)=0,求這兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),只要求方程組的實(shí)數(shù)解就可以得到.微練習(xí)直線y=x+1與圓x2+y2=1的交點(diǎn)坐標(biāo)為

.

答案

(-1,0)和(0,1)3.求曲線的方程與根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)(1)點(diǎn)的軌跡方程曲線一般都可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡,所以曲線的方程也常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡方程.(2)求動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程的一般步驟:①設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)(如果沒有平面直角坐標(biāo)系,需先建立);②寫出M要滿足的幾何條件,并將該幾何條件用M的坐標(biāo)表示出來;③化簡(jiǎn)并檢驗(yàn)所得方程是否為M的軌跡方程.微練習(xí)在平面內(nèi),若M,N為兩個(gè)定點(diǎn),且|MN|=6,動(dòng)點(diǎn)P滿足

=0,則P點(diǎn)的軌跡曲線的形狀是

.

答案

圓微思考如何檢驗(yàn)所求軌跡方程是否符合條件?提示

檢驗(yàn)可以從以下兩個(gè)方面進(jìn)行:一是方程的化簡(jiǎn)是否為同解變形;二是是否符合題目的實(shí)際意義.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一曲線與方程的概念問題例1如果曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解,那么以下說法正確的是(

)A.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上B.以方程F(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)有些不在曲線C上C.不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不是方程F(x,y)=0的解D.坐標(biāo)不滿足方程F(x,y)=0的點(diǎn)都不在曲線C上答案

D解析

由題意可知,曲線C上的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合是方程F(x,y)=0的解構(gòu)成的集合的子集,它包含兩種情形:①真子集;②相等.據(jù)以上可知,選項(xiàng)A,B,C都是不正確的,只有選項(xiàng)D是正確的.反思感悟1.曲線與方程的定義表明:曲線C的方程是F(x,y)=0的充分必要條件是曲線C上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程F(x,y)=0的解,并且以方程F(x,y)=0的實(shí)數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上,這是識(shí)別曲線和方程關(guān)系的基本依據(jù).2.判斷點(diǎn)與曲線關(guān)系的方法(1)從點(diǎn)的坐標(biāo)角度若點(diǎn)M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲線C上,則f(x0,y0)=0;或若f(x0,y0)≠0,則點(diǎn)M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲線C上.(2)從方程的解的角度若f(x0,y0)=0,則點(diǎn)M(x0,y0)在方程f(x,y)=0所表示的曲線C上;或若點(diǎn)M(x0,y0)不在方程f(x,y)=0表示的曲線C上,則f(x0,y0)≠0.變式訓(xùn)練1方程(2x+3y-1)(

-1)=0表示的曲線是(

)A.兩條直線B.兩條射線C.兩條線段D.一條直線和一條射線答案

D探究二用直接法求曲線的方程例2已知平面上兩個(gè)定點(diǎn)A,B之間的距離為2a,點(diǎn)M到A,B兩點(diǎn)的距離之比為2∶1,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.分析因?yàn)橐阎獥l件中未給定坐標(biāo)系,所以需“恰當(dāng)”建立坐標(biāo)系.考慮到對(duì)稱性,由|AB|=2a,選A,B兩點(diǎn)所在的直線為x軸,AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),則A(-a,0),B(a,0),然后求解.解

如圖所示,以兩定點(diǎn)A,B所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系.由|AB|=2a,可設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).因?yàn)閨MA|∶|MB|=2∶1,要點(diǎn)筆記直接法求曲線的方程根據(jù)題目條件,直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系,再利用解析幾何有關(guān)公式(兩點(diǎn)距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、夾角公式等)進(jìn)行整理、化簡(jiǎn),即把這種關(guān)系“翻譯”成含x,y的等式就得到曲線的軌跡方程.變式訓(xùn)練2(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若定點(diǎn)A(1,2)與動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足

=4,則點(diǎn)P的軌跡方程是

.

(2)與y軸相切并與圓C:x2+y2-6x=0也外切的圓的圓心的軌跡方程為

.

答案

(1)x+2y=4

(2)y2=12x(x>0)或y=0(x<0)(2)若動(dòng)圓在y軸右側(cè),設(shè)與y軸相切,且與圓x2+y2-6x=0外切的圓的圓心為P(x,y)(x>0),則半徑長(zhǎng)為x,因?yàn)閳Ax2+y2-6x=0的圓心為(3,0),所以若動(dòng)圓在y軸左側(cè),則y=0(x<0).綜上所述,圓心的軌跡方程為y2=12x(x>0)或y=0(x<0).探究三用定義法求曲線的方程例3已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0),C(5,0),AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|=3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為

.

答案

(x-10)2+y2=36(y≠0)解析

由已知條件及中位線等幾何知識(shí)可知,動(dòng)點(diǎn)A滿足到點(diǎn)(10,0)的距離等于定長(zhǎng)6的條件,設(shè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y),因此可得(x-10)2+y2=36,考慮到構(gòu)成△ABC,因此y≠0,所以所求方程為(x-10)2+y2=36(y≠0).反思感悟定義法求曲線方程的兩種策略(1)運(yùn)用曲線的定義求軌跡方程,可從曲線定義出發(fā)直接寫出方程,或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式,從而求出方程.(2)定義法和待定系數(shù)法適用于已知曲線的軌跡類型,利用條件把待定系數(shù)求出來,使問題得解.變式訓(xùn)練3到點(diǎn)(1,2)的距離等于

的動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是(

)A.(x+1)2+(y+2)2=3 B.(x+1)2+(y+2)2=9C.(x-1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y-2)2=9答案

C解析

由圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)Q的軌跡是以點(diǎn)(1,2)為圓心,以

為半徑的圓,故其方程為(x-1)2+(y-2)2=3.探究四用相關(guān)點(diǎn)法求曲線的方程例4長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足

分析A,B分別在x軸、y軸上移動(dòng),可設(shè)A(x0,0),B(0,y0),又動(dòng)點(diǎn)C(x,y)滿足

解

因?yàn)殚L(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上移動(dòng),故可設(shè)A(x0,0),B(0,y0).所以(x-x0,y)=2(0-x,y0-y),即(x-x0,y)=(-2x,2y0-2y),反思感悟“相關(guān)點(diǎn)法”的基本步驟(1)設(shè)點(diǎn):設(shè)被動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),主動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0).(3)代換:將上述關(guān)系式代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的曲線方程,便可得到所求被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.答案

y2=4x解析

設(shè)M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),探究五求曲線的交點(diǎn)問題例5試討論圓x2+(y-1)2=4與直線y=k(x-2)+4(k為參數(shù))交點(diǎn)的個(gè)數(shù).分析只需把直線方程與圓方程聯(lián)立,求方程組解的個(gè)數(shù)即可.反思感悟已知曲線C1和曲線C2的方程分別為F(x,y)=0,G(x,y)=0,則點(diǎn)P(x0,y0)是曲線C1,C2的交點(diǎn)?點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)滿足方程組

方程組有幾組不同的實(shí)數(shù)解,兩條曲線就有幾個(gè)不同的交點(diǎn);方程組沒有實(shí)數(shù)解,兩條曲線就沒有交點(diǎn).變式訓(xùn)練5已知直線l1:2x+y-6=0和點(diǎn)A(1,-1),過點(diǎn)A作直線l與已知直線l1相交于B點(diǎn),且使|AB|=5,求直線l的方程.解

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y+1=k(x-1),解方程組

即3x+4y+1=0.當(dāng)過A點(diǎn)的直線l的斜率不存在時(shí),方程為x=1.此時(shí),與l1的交點(diǎn)為(1,4)也滿足題意.綜上所述,直線l的方程為3x+4y+1=0或x=1.素養(yǎng)形成易錯(cuò)點(diǎn)——因忽視驗(yàn)證造成增解而致錯(cuò)案例求以A(-2,0),B(2,0)為直徑端點(diǎn)的圓的圓內(nèi)接三角形的頂點(diǎn)C的軌跡方程.錯(cuò)解

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y).△ABC為圓內(nèi)接三角形,且圓以線段AB為直徑,∴AC⊥BC,則kAC·kBC=-1.化簡(jiǎn),有x2+y2-4=0,即點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-4=0.錯(cuò)因分析(1)在表述kAC,kBC時(shí)沒有注意斜率不存在的情況.(2)沒有驗(yàn)證以