第12講 齊次化巧解雙斜率問題（解析幾何）（解析版）

第12講齊次化巧解雙斜率問題知識與方法1.齊次式:一個多項式中，如果各項的次數都相同,則稱這個多項式為齊次式.例如：,為一次齊次式,",為二次齊次式,等等.2.齊次方程：一個方程中,如果所有非零項的次數都相同,則稱這個方程為齊次方程.例如:“"是一次齊次方程;“"是二次齊次方程,等等.特別地，二次齊次方程的一般形式為:(其中不同時為0),當時，兩邊同時除以,可得,設,則,當時，即為關于的二次方程.3.直接構造齊次式的步驟:對于圓錐曲線中的雙斜率問題,常規(guī)方法是聯立方程結合韋達定理求解;也可以通過齊次化處理,利用齊次式解決更加方便快捷，可簡化運算,降低運算難度.齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和（或積）為常數的題型，可以解決與斜率之和（或積）有關的定點、定值或軌跡等問題：使用齊次化方法時，可以有兩種處理方法:方法1:先平移坐標系,將原點平移至給定的點，轉化為兩直線過原點的類型;方法2:不進行坐標平移,直線方程須化為的形式,其中是題目中的給定的點,此時圓錐曲線的方程也要跟著變形;其中斜率的和或者積決定了直線方程中的一個關系式.以橢圓為例,已知為橢圓的內接三角形,其中為定點,為兩動點,可以直接構造兩根為的二次方程，步驟如下:(1)將橢圓方程變形:}化簡整理得:;(2)設直線的方程為:;(3)聯立,齊次化:（*）式化為化簡整理得:(4)上式兩邊除以,得:，此方程兩根即為.由韋達定理，可得：.據此，可以簡便地解決與雙斜率有關的定點或定值問題.另一方面，我們得到了一個重要的定點定值模型:兩直線斜率之和（或積）為定值，則第三邊過定點.（其中斜率之和不為0)典型例題類型1過原點的兩直線斜率和與積問題【例1】已知為拋物線上異于頂點的兩動點,且以為直徑的圓過頂點.求證：直線過定點.【答案】見解析.【證明】設直線的方程為,聯立可得,兩邊同時除以,得,由,可得,所以,即,所以,過定點.【注】方程不能表示過原點的直線.【例2】已知橢圓的中心為,長軸、短軸分別為分別在橢圓上,且,求證:為定值.【答案】見解析.【證明】由于,因此由勾股定理可得,所以.設的面積為到的距離為,則有,因此,所以,要證明為常數,則只需證明為定值.設直線方程為,聯立,齊次化并整理可得:,方程兩根為,由韋達定理得:.因為,所以,化簡即得.由點到直線距離公式,得,所以為定值.【例3】已知圓的方程為,點的坐標為.點為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與交于點.(1)求點的軌跡的方程;(2)點是圓上異于點和的任一點,直線與軌跡交于直線與軌跡交于點.設為坐標原點,直線,的斜率分別為,問:是否存在常數,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.【答案】(1);(2).【解析】(1)(過程略）;(2)設直線,聯立,齊次化得,整理可得:,即,方程兩根為,則,同理可得：,由條件知：,所以,整理得,故.【例4】在直角坐標系中,曲線與直線交于兩點.(1)當時時,分別求在點和處的切線方程;(2)軸上是否存在點,使得當變動時,總有?說明理由.【答案】(1)或;(2)見解析【解析】(1)或(過程略）（2）假設軸上存在點,滿足當變動時,總有成立.如圖,新建坐標系,直線的方程為,即.拋物線的方程為.立化齊次式得,整理得.因為,所以,即.所以點在原坐標系中的坐標為.類型2不過原點的兩直線斜率和與積問題【例5】已知橢圓,四點,中恰有三點在橢圓上.(1)求的方程;(2)設直線不經過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率的和為,證明：過定點.【解析】（1）橢圓的方程為(過程略);(2)解法1:聯立方程,結合韋達定理設直線與直線的斜率分別為,依題意知直線斜率存在,設,聯立,消去得,由題設可知.設,則而由題設,故,即,得.當且僅當時,.直線可化為,顯然過定點.解法2:直接構造關于斜率的齊次式橢圓的方程,即.設直線方程為,聯立,齊次化得,整理得,整理得,由韋達定理得,從而,與對照可知,直線過定點.【注】使用齊次化方法時,可直接將直線方程設為的形式,其中是題目中給定的定點，同時也要將橢圓方程變形為的形式.解法3:坐標平移之后構造齊次式如圖,以為原點新建坐標系,則橢圓方程變?yōu)?即.設直線為,聯立橢圓方程,化齊次式得,整理得.因為,所以.即,所以直線過定點.所以,在原坐標系中,直線過定點.【注1】（1）本題第問的解法1為通性通法，即設直線方程,聯立方程組，結合韋達定理，不難得出正確答案，通性通法務必要熟練掌握！解法2運算量較小,構造齊次式，再由書達定理可輕松得到問題答案;解法3通過坐標平移，使得平移后兩直線都過新坐標系的原點，化為類型1處理,和解法2由異曲同工之妙！需要注意的是：最后還要平移回去,才能得到正確答案.【注2】掌握四個步驟即可，不必記憶最后的結果【例6】如圖,過橢圓上的定點作傾斜角互補的兩直線,設其分別交橢圓于兩點,求證：直線的斜率是定值.【分析】設坐標分別為,由條件可得，即,我們需要構造如下齊次式:.【解析】設直線方程為,因為,所以橢圓方程可化為:,聯立,齊次化且整理可得,由韋達定理可得.又因為,∴【注】設點關于軸的對稱點為,則處的切線斜率即為本題答案.【例7】已知橢圓的左頂點為為上的兩個動點,記直線斜率分別為,若,試判斷直線是否過定點？若過定點，求該定點坐標,若不過定點，請說明理由.【解析】將坐標系左移2個單位（即橢圓右移）,則橢圓方程變?yōu)?即,設為直線,平移后方程,聯立,齊次化得,整理可得,兩邊同除以,得因為,所以,得,把代入直線中,.當時,,∴過定點,則過定點類型3齊次化處理與斜率和與積有關的軌跡問題【例8】為橢圓上兩個動點,且,過原點作直線的垂線,求的軌跡方程.【解析】解法1:常規(guī)方法設,設直線方程為,立立,化簡可得:,所以，因為,所以,∴又因為直線方程等價于為,即,對比于,則,代入中,化簡可得:.故的軌跡方程為.解法2:齊次化設直線方程為,聯立,,化簡可得:,整理成關于的齊次式:,進而兩邊同時除以,則因為,所以(*)又因為直線方程等價于為,即,對比于,則,代入中,化簡可得:.故的軌跡方程為.強化訓練1.設橢圓的右焦點為,過的直線與交于兩點,點的坐標為.(1)當與軸垂直時,求直線的方程;(2)設為坐標原點,證明：.【答案】(1),或;(2)見解析.【解析】(1),∵與軸垂直,∴,∴直線的方程為,或.(2)證明:將橢圓左移2個單位,得,即平移后的直線過,即,所以聯立,齊次化得,即,兩邊同除以,得,則.2.如圖,橢圓經過點,且離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)經過點,且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(均異于點),證明:直線與斜率之和為.【答案】(1);(2)見解析.【解析】（1）由題設得,所以橢圓的方程為;(2)設的方程為,則直線過點,則,橢圓方程為,改寫成,即,所以,即,令,則,方程兩根為,所以(定值）.3.如圖,已知是橢圓上的兩個動點,是橢圓上的定點,如果直線與關于直.線對稱,證明：直線的斜率為定值.【答案】見解析.【證明】以點為坐標原點，重新建立平面直角坐標系,則橢圓方程為整理得:,令直線方程:,則,所以，整理得:,所以:,由題意:,即:,則,即直線的斜率為定值.4.設拋物線上有兩個動點,若,求線段的中點的軌跡方程.【答案】見解析.【解析】先證明直線過定點:設直線方程為,聯立,齊次化可得,即.由韋達定理可得又,即,所以直線恒過定點.下面求中點的軌跡方程,設中點為,對直線的斜率分兩種情形討論:情形一：若直線的斜率存在,則,又因為,為,所以,即：情形二：若直線.斜率不存在,此時的坐標為,它顯然滿足.綜上所述：中點的軌跡方程為.5.在直角坐標系中,橢圓的離心率為,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)若斜率存在,縱截距為的直線與橢圓相交于兩點,若直線的斜率均存在,求證：直線的斜率依次成等差數列.【答案】(1)(2)見解析.【解析】(1);(過程略）(2)根據條件可設直線的方程為,由直線過點,可得.橢圓方程,即,,聯立,并且齊次化整理可得即，由韋達定理可得.由于,所以,即,得證.6.已知橢圓的離心率為,過橢圓右焦點并垂直于軸的直線交橢圓于（點位于軸上方）兩點，且為坐標原點）的面積為.(1)求橢圓的標準方程;(2)若直線交橢圓于異于點)兩點,且直線與的斜率之積為,求點到直線距離的最大值.【答案】(1).【解析】(1)由題意可得.解得.所橢圓的標準方程為.（2）解法1:韋達定理暴算設點,由(1)易求得.當直線的斜率不存在時,設其方程為且),所以,即.當直線的斜率存在時,設其方程為,聯做,消去并整理得.則.所以,即所以.整理得.即,所以或若,則直線的方程為.所以直線過定點,不合題意...若則直線的方程為所以直線過定點又因為,所以點在橢圓內.設點到直線的距離為,所以.所以點到直線距離的最大值為.解法2：點乘雙根法 當直線的斜率存在時,設其方程為,聯立,消去并整理得.則(*),