第19講 橢圓中的蝴蝶模型（解析幾何）（原卷版）_第1頁
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第19講橢圓中的蝴蝶模型知識(shí)與方法蝴蝶定理（ButterflyTheorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年,由W.G.霍納提出證明.【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中點(diǎn),過點(diǎn)M的兩條弦CD,EF,連接DE,CF交AB于P問題中的圖形酷似圓中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".蝴蝶定理還可以推廣到橢圓,甚至雙曲線與拋物線中.高考中,直接考查圓錐曲線中的蝴蝶定理很少見，大多考查蝴蝶模型背景下的直線與橢圓的位置關(guān)系問題.此類問題的本質(zhì)是研究橢圓的內(nèi)接四邊形,其形如“蝴蝶”的四邊形通?？梢杂蓹E圓的兩條相交弦確定,在具體的問題中,此兩弦要么過定點(diǎn),要么某線斜率特定，由此便會(huì)呈現(xiàn)兼具一般解法又別具一格的定點(diǎn)、定值等問題,下面略舉幾例予以說明.典型例題類型1：蝴蝶模型中的定點(diǎn)問題【例1】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓O:x2+y2=9,Q是圓O上任意一點(diǎn),Q在x軸上的射影是點(diǎn)D,點(diǎn)(1)求曲線E的方程;(2)若A(?3,0),B(3,0),過直線x=9上任意一點(diǎn)T(不在x軸上）作兩條直線TA,TB與曲線E分別交于點(diǎn)類型2：蝴蝶模型中的斜率定比問題【例2】已知橢圓C:x216+y212=1的左、右頂點(diǎn)分別為P,Q,過橢圓右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),且直線l的斜率不為0.分別記直線AP類型3:蝴蝶模型中的弦長(zhǎng)關(guān)系問題【例3】已知橢圓E:x2a2(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為12的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)P(0,1)作直線l交橢圓C于異于M,N的A,B兩點(diǎn),直線AM,2.已知橢圓C:x26+y24=1與定點(diǎn)A(0,?2),經(jīng)過點(diǎn)E(0,1),且斜率存在的直線l交橢圓于Q,N3.橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)直線y=kx(k>0)與橢圓C交于A,B連接AF2,4.設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A,B5．

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