初中數(shù)學最值問題-集錦

.PAGE."最值問題〞集錦●平面幾何中的最值問題…01●幾何的定值與最值………07●最短路線問題……………14●對稱問題…………………18●巧作"對稱點〞妙解最值題……………22●數(shù)學最值題的常用解法…26●求最值問題………………29●有理數(shù)的一題多解………34●4道經(jīng)典題………………37●平面幾何中的最值問題在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題．如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟問題聯(lián)系起來，可以到達最經(jīng)濟、最節(jié)約和最高效率．下面介紹幾個簡例．在平面幾何問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量〔如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)〕的最大值或最小值問題，稱為最值問題。

最值問題的解決方法通常有兩種：

〔1〕應用幾何性質：

①三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點間線段最短；

③連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；

④定圓中的所有弦中，直徑最長。

⑵運用代數(shù)證法：

①運用配方法求二次三項式的最值；

②運用一元二次方程根的判別式。

例1、A、B兩點在直線l的同側，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。分析：在直線L上任取一點P’，連結AP’，BP’，在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,那么P’必在線段AB上，而線段AB與直線L無交點，所以這種思路錯誤。取點A關于直線L的對稱點A’，那么AP’＝AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,當P’移到A’B與直線L的交點處P點時A’P’+B’P’＝A’B，所以這時PA+PB最小。1AB是半圓的直徑，如果這個半圓是一塊鐵皮，ABDC是接半圓的梯形，試問怎樣剪這個梯形，才能使梯形ABDC的周長最大(圖3－91)？分析本例是求半圓AB的接梯形的最大周長，可設半圓半徑為R．由于AB∥CD，必有AC=BD．假設設CD=2y，AC=x，那么只須求梯形ABDC的半周長u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，那么x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有當x=R時取等號，這時有所以2y=R=x．所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個頂點C，D，這時，梯形的底角恰為60°和120°．2.如圖3－92是半圓與矩形結合而成的窗戶，如果窗戶的周長為8米(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？分析與解設x表示半圓半徑，y表示矩形邊長AD，那么必有2x+2y+πx=8，假設窗戶的最大面積為S，那么把①代入②有即當窗戶周長一定時，窗戶下部矩形寬恰為半徑時，窗戶面積最大．3.P點是半圓上一個動點，試問P在什么位置時，PA+PB最大(圖3－93)？分析與解因為P點是半圓上的動點，當P近于A或B時，顯然PA+PB漸小，在極限狀況(P與A重合時)等于AB．因此，猜測P在半圓弧中點時，PA+PB取最大值．設P為半圓弧中點，連PB，PA，延長AP到C，使PC=PA，連CB，那么CB是切線．為了證PA+PB最大，我們在半圓弧上另取一點P′，連P′A，P′B，延長AP′到C′，使P′C′=BP′，連C′B，CC′，那么∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，C四點共圓，所以∠CC′A=∠CBA=90°，所以在△ACC′中，AC＞AC′，即PA+PB＞P′A+P′B．4如圖3－94，在直角△ABC中，AD是斜邊上的高，M，N分別是△ABD，△ACD的心，直線MN交AB，AC于K，L．求證：S△ABC≥2S△AKL．證連結AM，BM，DM，AN，DN，．因為在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因為M，N分別是△ABD和△ACD的心，所以∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以△ADN∽△BDM，又因為∠MDN=90°=∠ADB，所以△MDN∽△BDA，所以∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以

∠MND=∠LCD，所以D，C，L，N四點共圓，所以∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因為△AKM≌△ADM，所以AK=AD=AL．而而從而所以S△ABC≥S△AKL．5.如圖3－95．在正三角形ABC(包括邊上)有兩點P，Q．求證：PQ≤AB．證設過P，Q的直線與AB，AC分別交于P1，Q1，連結P1C，顯然，PQ≤P1Q1因為∠AQ1P1+∠P1Q1C=180°所以∠AQ1P1和∠P1Q1C假設∠AQ1P1≥90°，那么PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；假設∠P1Q1C≥90°，那么PQ≤P1Q1≤P1同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一個直角或鈍角，不妨設∠BP1C≥那么P1C≤對于P，Q兩點的其他位置也可作類似的討論，因此，PQ≤AB．6.設△ABC是邊長為6的正三角形，過頂點A引直線l，頂點B，C到l的距離設為d1，d2，求d1+d2的最大值(1992年初中賽題)．解如圖3－96，延長BA到B′，使AB′=AB，連B′C，那么過頂點A的直線l或者與BC相交，或者與B′C相交．以下分兩種情況討論．(1)假設l與BC相交于D，那么所以只有當l⊥BC時，取等號．(2)假設l′與B′C相交于D′，那么所以上式只有l(wèi)′⊥B′C時，等號成立．7.如圖3－97．直角△AOB中，直角頂點O在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長AO，BO分別與單位圓交于C，D．試求四邊形ABCD面積的最小值．解設⊙O與AB相切于E，有OE=1，從而即AB≥2．當AO=BO時，AB有最小值2．從而所以，當AO=OB時，四邊形ABCD面積的最小值為●幾何的定值與最值幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質或位置關系不變的一類問題，解幾何定值問題的根本方法是：分清問題的定量及變量，運用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的根本方法有：1．特殊位置與極端位置法；2．幾何定理(公理)法；3．數(shù)形結合法等．注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點變?yōu)闊狳c．這是由于這類問題具有很強的探索性(目標不明確)，解題時需要運用動態(tài)思維、數(shù)形結合、特殊與一般相結合、邏輯推理與合情想象相結合等思想方法．【例題就解】【例1】如圖，AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD，那么CD長度的最小值為．思路點撥如圖，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ=AB一常數(shù)，當CQ越小，CD越小，本例也可設AP=，那么PB=，從代數(shù)角度探求CD的最小值．注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與極端位置是指：(1)中點處、垂直位置關系等；(2)端點處、臨界位置等．⌒⌒A．從30°到60°變動B．從60°到90°變動C．保持30°不變D．保持60°不變思路點撥先考慮當圓心在正三角形的頂點C時，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷．注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當變化的元素運動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，研究的量取得定值與最值．【例3】如圖，平行四邊形ABCD，AB=，BC=(>)，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q，求AP+BQ的最小值．思路點撥設AP=，把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示，運用不等式(當且僅當時取等號)來求最小值．⌒【例4】如圖，等邊△⌒思路點撥即要證AK·BN是一個定值，在圖形中△ABC的邊長是一個定值，說明AK·BN與AB有關，從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊，作一個大膽的猜測，AK·BN=AB2，從而我們的證明目標更加明確．注：只要探求出定值，那么解題目標明確，定值問題就轉化為一般的幾何證明問題．【例5】△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．思路點撥頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當頂點Z在斜邊AB上時，取xy的中點，通過幾何不等關系求出直角邊的最大值，當頂點Z在(AC或CB)上時，設CX=，CZ=，建立，的關系式，運用代數(shù)的方法求直角邊的最大值．注：數(shù)形結合法解幾何最值問題，即適當?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關系，再運用相應的代數(shù)知識方法求解．常見的解題途徑是：(1)利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運用判別式求幾何最值；(2)構造二次函數(shù)求幾何最值．學力訓練1．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點〔可與B點或C點重合〕，分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，那么BB′+CC′+DD′的最大值為，最小值為．2．如圖，∠AOB=45°，角有一點P，PO=10，在角的兩邊上有兩點Q，R(均不同于點O)，那么△PQR的周長的最小值為．3．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，那么的最大值等于．4．如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，那么AP+BP的最小值為()A．1B．C．D．5．如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點P從A點出發(fā)，沿看圓柱的側面移動到BC的中點S的最短距離是()A．B．C．D．6．如圖、矩形ABCD，R，P戶分別是DC、BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP、RP的中點，當P在BC上從B向C移動而R不動時，那么以下結論成立的是()A．線段EF的長逐漸增大B．線段EF的長逐漸減小C．線段EF的長不改變D．線段EF的長不能確定7．如圖，點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．(1)求證：MN∥AB；(2)假設AB的長為l0cm，當點C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點C，使線段MN的長度最長"假設存在，請確定C點的位置并求出MN的長；假設不存在，請說明理由．(2002年省中考題)8．如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．9．△ABC是⊙O的接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．(1)當點P在線段AB上時(如圖)，求證：PA·PB=PE·PF；(2)當點P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結論還成立嗎"如果成立，請證明，如果不成立，請說明理由．10．如圖，；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點P，使矩形PNDM有最大面積，那么矩形PNDM的面積最大值是()A．8B．12C．D．1411．如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點A，線段DB上AB于點B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，那么封閉圖形ACPDB的最大面積是()A．B．C．D．12．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩局部，試求這樣線段的最小長度．13．如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點，AV與DU相交于點P，BV與CU相交于點Q．求四邊形PUQV面積的最大值．14．利用兩個一樣的噴水器，修建一個矩形花壇，使花壇全部都能噴到水．每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓，問如何設計(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬)，才能使矩形花壇的面積最大"15．某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質量，要建一個八邊形居民廣場(平面圖如下圖)．其中，正方形MNPQ與四個一樣矩形(圖中陰影局部)的面積的和為800平方米．(1)設矩形的邊AB=(米)，AM=(米)，用含的代數(shù)式表示為．(2)現(xiàn)方案在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元；在四個一樣的矩形區(qū)域上鋪設花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元；在四個三角形區(qū)域上鋪設草坪，平均每平方米造價為40元．①設該工程的總造價為S(元)，求S關于工的函數(shù)關系式．②假設該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建立任務"假設能，請列出設計方案；假設不能，請說明理由．③假設該工程在銀行貸款的根底上，又增加資金73000元，問能否完成該工程的建立任務"假設能，請列出所有可能的設計方案；假設不能，請說明理由．(市中考題)16．某房地產(chǎn)公司擁有一塊"缺角矩形〞荒地ABCDE，邊長和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積(準確到1m2參考答案●最短路線問題通常最短路線問題是以"平面連結兩點的線中，直線段最短〞為原那么引申出來的．人們在生產(chǎn)、生活實踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題．在本講所舉的例中，如果研究問題的限制條件允許的兩點在同一平面，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體外表，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個共同點：當研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開在一個平面上，兩點間的最短路線那么是連結兩點的直線段．這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個平面的．例如，在地球〔近似看成圓球〕上A、B二點之間的最短路線如何求呢？我們用過A、B兩點及地球球心O的平面截地球，在地球外表留下的截痕為圓周〔稱大圓〕，在這個大圓周上A、B兩點之間不超過半個圓周的弧線就是所求的A、B兩點間的最短路線，航海上叫短程線．關于這個問題本講不做研究，以后中學會詳講．在求最短路線時，一般我們先用"對稱〞的方法化成兩點之間的最短距離問題，而兩點之間直線段最短，從而找到所需的最短路線．像這樣將一個問題轉變?yōu)橐粋€和它等價的問題，再設法解決，是數(shù)學中一種常用的重要思想方法．例1如以下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報．在去B地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時間，請你在圖中標出來．解：要選擇最節(jié)省時間的路線就是要選擇最短路線．作點A關于河岸的對稱點A′，即作AA′垂直于河岸，與河岸交于點C，且使AC=A′C，連接A′B交河岸于一點P，這時P點就是飲馬的最好位置，連接PA，此時PA＋PB就是偵察員應選擇的最短路線．證明：設河岸上還有異于P點的另一點P′，連接P′A，P′B，P′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而這里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是連接兩點的折線段大于直線段，所以PA+PB是最短路線．此例利用對稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉法、翻折法等．看下面例題．例2如圖一只壁虎要從一面墻壁α上A點，爬到鄰近的另一面墻壁β上的B點捕蛾，它可以沿許多路徑到達，但哪一條是最近的路線呢？解：我們假想把含B點的墻β順時針旋轉90°〔如下頁右圖〕，使它和含A點的墻α處在同一平面上，此時β轉過來的位置記為β′，B點的位置記為B′，那么A、B′之間最短路線應該是線段AB′，設這條線段與墻棱線交于一點P，那么，折線4PB就是從A點沿著兩扇墻面走到B點的最短路線．證明：在墻棱上任取異于P點的P′點，假設沿折線AP′B走，也就是沿在墻轉90°后的路線AP′B′走都比直線段APB′長，所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線．由此例可以推廣到一般性的結論：想求相鄰兩個平面上的兩點之間的最短路線時，可以把不同平面轉成同一平面，此時，把處在同一平面上的兩點連起來，所得到的線段復原到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構成的折線，就是所求的最短路線．例3長方體ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小蟲從頂點D′出發(fā)，沿長方體外表爬到B點，問這只小蟲怎樣爬距離最短？〔見圖〔1〕〕解：因為小蟲是在長方體的外表上爬行的，所以必需把含D′、B兩點的兩個相鄰的面"展開〞在同一平面上，在這個"展開〞后的平面上D′B間的最短路線就是連結這兩點的直線段，這樣，從D′點出發(fā)，到B點共有六條路線供選擇．①從D′點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側面到達B點，將這兩個面攤開在一個平面上〔上頁圖〔2〕〕，這時在這個平面上D′、B間的最短路線距離就是連接D′、B兩點的直線段，它是直角三角形ABD′的斜邊，根據(jù)勾股定理，D′B2=D′A2+AB2=〔1+2〕2＋42=25，∴D′B=5．②容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過后側面再進入下底面到達B點的最短距離也是5．③從D′點出發(fā)，經(jīng)過左側面，然后進入前側面到達B點．將這兩個面攤開在同一平面上，同理求得在這個平面上D′、B兩點間的最短路線〔上頁圖〔3〕〕，有：D′B2＝22+〔1+4〕2=29．④容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過后側面再進入右側面到達B點的最短距離的平方也是29．⑤從D′點出發(fā)，經(jīng)過左側面，然后進入下底面到達B點，將這兩個平面攤開在同一平面上，同理可求得在這個平面上D′、B兩點間的最短路線〔見圖〕，D′B2=〔2+4〕2+12=37．⑥容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過上側面再進入右側面到達B點的最短距離的平方也是37．比擬六條路線，顯然情形①、②中的路線最短，所以小蟲從D′點出發(fā)，經(jīng)過上底面然后進入前側面到達B點〔上頁圖〔2〕〕，或者經(jīng)過后側面然后進入下底面到達B點的路線是最短路線，它的長度是5個單位長度．利用例2、例3中求相鄰兩個平面上兩點間最短距離的旋轉、翻折的方法，可以解決一些類似的問題，例如求六棱柱兩個不相鄰的側面上A和B兩點之間的最短路線問題〔下左圖〕，同樣可以把A、B兩點所在平面及與這兩個平面都相鄰的平面展開成同一個平面〔下右圖〕，連接A、B成線段AP1P2B，P1、P2是線段AB與兩條側棱線的交點，那么折線AP1P2B就是AB間的最短路線．圓柱外表的最短路線是一條曲線，"展開〞后也是直線，這條曲線稱為螺旋線．因為它具有最短的性質，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應用．如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機的螺旋道，旋風除塵器的導灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題．例4景泰藍廠的工人師傅要給一個圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起點固定在A點，繞一周之后終點為B點，問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？解：將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開，展開成平面圖形如上頁右圖〔把圖中的長方形卷成上頁左圖中的圓柱面時，A′、B′分別與A、B重合〕，連接AB′，再將上頁右圖復原成上頁左圖的形狀，那么AB′在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線路．圓錐外表的最短路線也是一條曲線，展開后也是直線．請看下面例題．例5有一圓錐如以下圖，A、B在同一母線上，B為AO的中點，試求以A為起點，以B為終點且繞圓錐側面一周的最短路線．解：將圓錐面沿母線AO剪開，展開如上右圖〔把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時，A′、B′分別與A、B重合〕，在扇形中連AB′，那么將扇形復原成圓錐之后，AB′所成的曲線為所求．例6如以下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點爬到桶的B點去尋找食物，A點沿母線到桶口C點的距離是12厘米，B點沿母線到桶口D點的距離是8厘米，而C、D兩點之間的〔桶口〕弧長是分析我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖〔以下圖〕，由于B點在里面，不便于作圖，設想將BD延長到F，使DF＝BD，即以直線CD為對稱軸，作出點B的對稱點F，用F代替B，即可找出最短路線了．解：將圓柱面展成平面圖形〔上圖〕，延長BD到F，使DF=BD，即作點B關于直線CD的對稱點F，連結AF，交桶口沿線CD于O．因為桶口沿線CD是B、F的對稱軸，所以OB＝OF，而A、F之間的最短線路是直線段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之間的最短距離就是AO＋OB，故螞蟻應該在桶外爬到O點后，轉向桶B點爬去．延長AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD，根據(jù)勾股定理，AF2=〔AC+CE〕2+EF2＝〔12＋8〕2＋152＝625=252，解得AF=25．即螞蟻爬行的最短路程是25厘米例7A、B兩個村子，中間隔了一條小河〔如以下圖〕，現(xiàn)在要在小河上架一座小木橋，使它垂直于河岸．請你在河的兩岸選擇適宜的架橋地點，使A、B兩個村子之間路程最短．分析因為橋垂直于河岸，所以最短路線必然是條折線，直接找出這條折線很困難，于是想到要把折線化為直線．由于橋的長度相當于河寬，而河寬是定值，所以橋長是定值．因此，從A點作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當于把河寬預先扣除，找出B、C兩點之間的最短路線，問題就可以解決．解：如上圖，過A點作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長為河寬，連結BC交河岸于D點，作DE垂直于河岸，交對岸于E點，D、E兩點就是使兩村行程最短的架橋地點．即兩村的最短路程是AE＋ED＋DB．例8在河中有A、B兩島〔如以下圖〕，六年級一班組織一次劃船比賽，規(guī)那么要求船從A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問應選擇怎樣的路線才能使路程最短？解：如上圖，分別作A、B關于甲岸線、乙岸線的對稱點A′和B′，連結A′、B′分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點，那么A→E→F→B→A是最短路線，即最短路程為：AE＋EF＋FB＋BA．證明：由對稱性可知路線A→E→F→B的長度恰等于線段A′B′的長度．而從A島到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線，利用對稱方法都可以化成一條連接A′、B′之間的折線，它們的長度都大于線段A′B′，例如上圖中用"·—·—·〞表示的路線A→E′→F′→B的長度等于折線AE′F′B的長度，它大于A′B′的長度，所以A→E→F→B→A是最短路線．●對稱問題教學目的：進一步理解從實際問題轉化為數(shù)學問題的方法，對于軸對稱問題、中心對稱問題有一個比擬深入的認識，可以通過對稱的性質及三角形兩邊之和與第三邊的關系找到證明的方法。教學重點和難點：猜測驗證的過程，及幾何問題的說理性。一、點關于一條直線的對稱問題問題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么方法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？問題數(shù)學化：設小明與小狗在A處，家在B處，小河為L，小明要在直線L上找一個點C〔小狗在C處飲水〕，使得AC+BC最短。〔如下圖〕知識介紹：兩條線段之和最短，往往利用對稱的思想，把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點之間的線段最短，可以得出結果。中學數(shù)學中常見的對稱有兩類，一類是軸對稱，一類是中心對稱。軸對稱有兩個根本特征：垂直與相等。構造點M關于直線PQ的軸對稱點N的方法是：過M作MO垂直于PQ于點O，并延長MO到點N，使NO=MO，那么點N就是點M關于直線PQ的對稱點。問題分析：過A作AO垂直于直線L于點O，延長AO到點A’，使A’O=AO，連接A’B，交直線L于點C，那么小明沿著ACB的路徑就可以滿足小狗喝上水，同時又使回家的路程最短。問題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對稱的性質。問題的延伸1：直線L外有一個定點P，在直線L上找兩點A、B，使AB=m，且PA+PB最短?！财渲衜為定值〕提示：作PC平行于AB，且PC==AB，那么問題變?yōu)椋涸谥本€L上找一個點B，使它到P、C兩點的距離之和最短。問題的延伸2：在兩條相交線之外有一個定點P，分別在兩條直線上找點B、C使得PB+BC+CP最短，如何確定B、C的位置？提示：分別作點P關于直線L1和直線L2的對稱點P1和P2，連接P1P2分別與兩直線交于B、C點，那么PB+BC+PC最短。證明方法同上。二、橋該建在哪里：問題超市：農(nóng)場里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚。在河的兩岸有兩個加工廠，農(nóng)場主經(jīng)常要在這兩個工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買了一輛汽車，想在農(nóng)場建造一條馬路，同時在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應該建在何處，才能使兩個加工廠之間的路程最短？問題數(shù)學化：在直線L1和直線L2之間作一條垂線段CD，使得BC+CD+DA最短。知識介紹：關于最短距離，我們有下面幾個相應的結論：〔1〕在連接兩點的所有線中，線段最短〔兩點之間，線段最短〕；〔2〕三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；〔3〕在三角形中，大角對大邊，小角對小邊。一般說來，線段和最短的問題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明。另外，在平移線段的時候，一般要用到平行四邊形的判定和性質?！才卸ǎ喝绻粋€四邊形的一組對邊平行且相等，那么這個四邊形是平行四邊形；性質：平行四邊形的對邊相等?！硢栴}分析：由于CD的長度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想方法把線段AD平移到和線段BC共線的位置，于是變化為下面兩圖。問題的總結與結論：一般來說，我們利用圖形的對稱性尋找到最近的位置，然后利用三角形和對稱的性質去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問題的延伸：如果有兩條河，需要建造兩座橋，又該如何呢？如圖，把A向下平移到A’的位置，使線段AA’等于河L1－L2的寬度；把B向上平移到B’的位置，使線段BB’等于河L3－L4的寬度。連接線段B’A’，交L2于點C，交L3于點F。過C、F分別作垂線段CD、FE，就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流建更多的橋又如何呢？三、對稱問題的進一步延伸。我們已經(jīng)可以應用軸對稱的特點找到一些特殊位置使得線段和最小，那么對于線段差最小的問題，是否可以得出一些相關的結論呢？1、直線L的異側有兩個點A、B，在直線L上求一個點C，使得：A、B到C的距離的差的絕對值最小。2、你認識一些什么樣的軸對稱圖形，它們各自有什么樣的幾何性質？等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地：問題超市：水渠旁有一大塊耕地，要畫一條直線為分界限，把耕地平均分成兩塊，分別承包給兩個人，BC邊是灌溉用的水渠的一岸。兩個人不知道怎么平分土地最能滿足個人的需要，你看這個土地的形狀〔比擬規(guī)那么的L形〕〔如右圖所示〕，應該怎樣平分呢？問題數(shù)學化：如何在由兩個矩形所組成〔割、補〕的圖形中尋找一條直線，使得圖形被分成兩局部，且兩局部的面積相等，而且，均含有BC邊的一局部。問題分析：1、如何才能把一個矩形的面積等分。如圖，可以應用矩形的兩條對角線所在的直線AC、BD，每組對邊的中點所在直線MP、NQ，且這四條直線都交于同一點O，對矩形的對稱中心。即經(jīng)過對稱中心O的任意一條直線都可以平分矩形的面積。2、利用這個結論，土地可以看成是兩個矩形進展割、補得到的，分別在每個圖中作兩個矩形的對稱中心，經(jīng)過這兩個點作一條直線，這條直線就可以把這兩個矩形的面積進展平分，分別如上面三個圖形所示：問題的延伸：三個方案確定之后，兩個農(nóng)民并不滿意，他們認為："這三種方法只是把土地平分了，但是靠近水源的BC邊并沒有被平分。〞兩人為了灌溉方使，都想把靠近水源的BC邊也平分了，誰會愿意要水源少的那塊地呢？這三種分地的方法并不公平。那為了既平分土地，也平分水源，有什么方法呢？問題的分析：〔如右圖所示〕直線QR就是原來的分界限l，取線段QR的中點為S，取線段BC的中點為P，那么直線PS就是滿足兩個農(nóng)民要求的分界限。問題的證明：與中，三組角對應相等，且RS=PS，那么兩個三角形全等，所以兩個三角形的面積相等，于是經(jīng)過直線TP的分界仍保證了土地的平分，且過點P也使得水源得到了平分。思考：如果用后兩種方案，你是否也得出了可以既平分水源也平分土地的方案？五、臺球桌上的數(shù)學問題問題超市：臺球被打到臺球桌邊上，反彈回來，就是我們常用的對稱問題。臺球從球桌的一個角出發(fā)，假設沿著角將球打到對邊，然后，球經(jīng)過幾次碰撞，最后到另外的三個角落之一。如果臺球桌的長和寬之比為2:1，需要碰撞幾次？如果臺球桌的長和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會怎樣？知識介紹：此題類似于物理中光線的反射，當光線入射到平面鏡上的時候，光線會被鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學上就是軸對稱。在臺球桌〔長方形〕，由于入射角是，所以反射角也是，這樣入射線和反射線形成一個直角，相應的，在臺球桌上就構成了一個等腰直角三角形，利用這一性質我們可以得到一些有趣的結論。問題分析：我們分下面幾種情況進展分析：〔1〕如果長寬比為2:1，如圖，那么1次就夠了；〔2〕如果長寬比為3:2，如圖，那么要碰撞3次，可以到左下角；〔3〕如果長寬比為4:3，如圖，那么要碰撞5次，可以進洞；〔4〕如果長寬比為5:3和7:5，分別如以下圖所示，分別需要6和10次碰撞可以進洞。問題的總結：臺球桌的長a臺球桌的寬b碰撞的次數(shù)c可能的關系2112+1－2=13233+2－2=34354+3－2=55365+3－2=675107+5－2=10ab"問題的猜測：如果臺球桌的長和寬之比為m:n〔其中m、n互質的正整數(shù)〕，那么碰撞的次數(shù)是：●巧作"對稱點〞妙解最值題在初中平面幾何尤其在初中數(shù)學競賽題中，我們經(jīng)常會碰到求兩線段和的最大值或和最小值的問題，對這類題目大家感到無從下手，求解有一定的難度，但只要通過作"對稱點〞都可迎刃而解的，現(xiàn)舉例說明如下：例1如圖1，點A、B表示兩個村莊，直線L表示一條公路，〔村莊A、B在公路的同側〕現(xiàn)要在公路L上建造一個汽車站，使車站到A、B兩個村莊的距離之和最短，問車站應建在何處？解作A點于L的對稱點，連結B交L于C，那么點C就是所建車站的位置。證明在直線L上另取一點連結AC，A，，，因為直線L是點A、的對稱軸，點C在對稱軸上，所以AC=A，A=， 所以AC+CB=A+CB=B， 在△中， 因為B<+， 所以AC+CB<A+即AC+CB最小例2定點A〔1，2〕，B〔3，4〕，在x軸的點P，使點P到A、B兩點距離之和最短，求P點坐標。解由例1啟發(fā)，如圖2作A〔1，2〕關于x軸的對稱點〔1，-2〕那么過點〔1，-2〕、B〔3，4〕兩點的直線解析為：，該直線與x軸交點坐標為即為所求P點坐標?！沧C略〕例3如圖3，在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE與PC的長度和的最小值。解因為ABCD為正方形，所以A、C是關于BD所在直線對稱的對稱點，連結AP，由對稱性知：AP=PC，那么PC+PE的最小值為AP+PE的最小值，而AP+PE的最小值由例1證明可知即為線段AE。在中。本例還可如圖4，在AB上作點E關于BD的對稱點，連，，同樣有。例4三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點，P是邊BC上任意一點，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和t那么=__________________分析此題比上例更有一定的難度，S還好求，因為PA≤AC，PM≤CM，所以，當點P為頂點C時，等號成立，所以。關鍵在于T，以BC為邊作正三角形，如圖5，作M關于BC所在的直線對稱點，連結、，因為，所以在上，且，PM=，PA+PM=PA+≥，連結，那么，所以所以。所以例5矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，假設在AC、AB上各取一點M、N，使MB+MN值最小，求這個最小值。解如圖6，作B關于AC的對稱點，連結，那么N點關于AC的對稱點在上，這時BM+MN的最小值，即為BM+M的最小值，顯然BM+M的最小值等于點B到的距離BH?，F(xiàn)在求BH的長，設與DC交于P點，連結BP，那么設AP=PC=x，那么DP=20-x 在Rt△APD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即，解得x=12.5〔厘米〕，即AP=12.5〔厘米〕。 所以， 即BM+MN的最小值是16厘米。 通過作"對稱點〞使幾何題中求兩線段和的最大或最小值，這類難題得到順利解決。此法簡單明了，直觀易懂，而對于培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，提高學生空間想象能力確有一定的幫助?！駭?shù)學最值題的常用解法在中學數(shù)學題中，最值題是常見題型，圍繞最大〔小〕值所出的數(shù)學題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一.二次函數(shù)的最值公式二次函數(shù)〔a、b、c為常數(shù)且〕其性質中有①假設當時，y有最小值。；②假設當時，y有最大值。。利用二次函數(shù)的這個性質，將具有二次函數(shù)關系的兩個變量建立二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質進展計算，從而到達解決實際問題之目的。例1.某玩具廠方案生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出，生產(chǎn)x只玩具熊貓的本錢為R〔元〕，售價每只為P〔元〕，且R、P與x的關系式分別為，?！?〕當日產(chǎn)量為多少時，每日獲得的利潤為1750元；〔2〕當日產(chǎn)量為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解：〔1〕根據(jù)題意得整理得解得，〔不合題意，舍去〕〔2〕由題意知，利潤為所以當時，最大利潤為1950元。二.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)的自變量x的取值圍是全體實數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大〔小〕值；但當時，那么一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大〔小〕值。例2.某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人的月工資分別是600元和1000元，現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時可使得每月所付的工資最少？解：設招聘甲種工種的工人為x人，那么乙種工種的工人為人，由題意得：所以設所招聘的工人共需付月工資y元，那么有：〔〕因為y隨x的增大而減小所以當時，〔元〕三.判別式法例3.求的最大值與最小值。分析：此題要求出最大值與最小值，直接求那么較困難，假設根據(jù)題意構造一個關于未知數(shù)x的一元二次方程；再根據(jù)x是實數(shù)，推得，進而求出y的取值圍，并由此得出y的最值。解：設，整理得即因為x是實數(shù)，所以即解得所以的最大值是3，最小值是。四.構造函數(shù)法"最值〞問題中一般都存在某些變量變化的過程，因此它們的解往往離不開函數(shù)。例4.求代數(shù)式的最大值和最小值。解：設，，再令，，那么有所以得y的最大值為，最小值為五.利用非負數(shù)的性質在實數(shù)圍，顯然有，當且僅當時，等號成立，即的最小值為k。例5.設a、b為實數(shù)，那么的最小值為_______。解：當，，即時，上式等號成立。故所求的最小值為－1。六.零點區(qū)間討論法例6.求函數(shù)的最大值。分析：此題先用"零點區(qū)間討論法〞消去函數(shù)y中絕對值符號，然后求出y在各個區(qū)間上的最大值，再加以比擬，從中確定出整個定義域上的最大值。解：易知該函數(shù)有兩個零點、當時當時當?shù)卯敃r，綜上所述，當時，y有最大值為七.利用不等式與判別式求解在不等式中，是最大值，在不等式中，是最小值。例7.x、y為實數(shù)，且滿足，，數(shù)m最大值與最小值。解：由題意得所以x、y是關于t的方程的兩實數(shù)根，所以即解得m的最大值是，m的最小值是－1。八."夾逼法〞求最值在解某些數(shù)學問題時，通過轉化、變形和估計，將有關的量限制在某一數(shù)值圍，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱為"夾逼法〞。例8.不等邊三角形的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為________。解：設a、b、c三邊上高分別為4、12、h因為，所以又因為，代入得，所以又因為，代入得，所以所以3<h<6，故整數(shù)h的最大值為5。●求最值問題最值型應用問題經(jīng)常出現(xiàn)在近幾年的中考試卷中。這類問題貼近生活、貼近社會，有利于表達數(shù)學的人文價值和社會價值，有利于考察學生的分析、猜測、建模和綜合應用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問題。利用一次函數(shù)的性質來求最值問題對于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值圍可以是全體實數(shù)，因此不存在最大最小值〔簡稱"最值〞〕，但在實際問題中，因題目中的自變量受到實際問題的限制，所以就有可能出現(xiàn)最大或最小值。求解這類問題除正確確定函數(shù)表達式外，利用自變量取值圍可以確定最大值或最小值。例１、〔2008年市初中學業(yè)質量檢查〕紅星服裝廠準備生產(chǎn)一批A、B兩種型號的演出服，每小時生產(chǎn)A型演出服比B型演出服少2套，且生產(chǎn)18套A型演出服與生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間一樣。設該廠每小時可生產(chǎn)A型演出服a套，用含a的代數(shù)式表示該廠生產(chǎn)24套B型演出服所用的時間；求出a的值。假設該廠要在8小時之〔含8小時〕先后生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服50套，且生產(chǎn)一套A、B兩種型號的演出服可得利潤分別為40元和30元，問應如何安排生產(chǎn)A、B兩種型號的演出服的套數(shù)，才能使獲得的總利潤最大？最大的總利潤是多少元？分析：〔１〕①或②解得〔２〕設生產(chǎn)A型演出服套，依題意得，解得。W利潤＝W利潤是一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性∵∴W隨的增大而增大，∵，∴當時，W利潤有最大值＝例２某房地產(chǎn)開發(fā)公司方案建A、B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房本錢和售價如下表：AB本錢(萬元/套)2528售價(萬元/套)3034(1)該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案"(2)該公司如何建房獲得利潤最大"(3)根據(jù)市場調(diào)查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大"注：利潤=售價-本錢分析：(1)設A種戶型的住房建x套，那么B種戶型的住房建(80-x)套，根據(jù)題意：該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，可列出兩個不等式，解不等式組，即可求出x的取值圍，進而確定x的正整數(shù)值.(2)根據(jù)一次函數(shù)的增減性解決.(3)要應用分類討論的數(shù)學思想.從而做到不重復不遺漏,注意思維的縝密性.解析：(1)設A種戶型的住房建x套，那么B種戶型的住房建(80-x)套．由題意知2090≤25x+28(80-x)≤209648≤x≤50∵x取非負整數(shù)，∴x為48，49，50．∴有三種建房方案：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套(2)設該公司建房獲得利潤Ｗ(萬元)．由題意知Ｗ=5x+6(80-x)=480-x∴當x=48時，Ｗ最大=432(萬元)即A型住房48套，B型住房32套獲得利潤最大(3)由題意知Ｗ=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x∴當O<a<l時，x=48，Ｗ最大，即A型住房建48套，B型住房建32套當a=l時，a-1=0，三種建房方案獲得利潤相等當a>1時，x=50，Ｗ最大，即A型住房建50套，B型住房建30套.答:略.說明:此題的第(1)問是利用一元一次不等式組解決的,第(2)、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的,要注意三問相互聯(lián)系.二、利用反比例函數(shù)的性質來求最值問題例：一名工人一天能生產(chǎn)某種玩具３至５個，假設每天須生產(chǎn)這種玩具４００個，那么須招聘工人多少名？分析：這是一道反比例函數(shù)模型的應用題，這里４００是常量。設每人每天生產(chǎn)x個玩具，需要工人名。那么有?！玻常襵為整數(shù)〕∵當時，隨的增大而減小，∴，即∵為正整數(shù)，∴?。福爸粒保常?。即須招聘工人為80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質求最值問題對于某些與二次函數(shù)有關的實際問題，如果我們能夠將實際問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學模型，建立起二次函數(shù)的關系式，應用二次函數(shù)最值性質，可以解決許多實際問題。例１．將進貨單價40元的商品按50元一個售出時，能賣出500個，假設此商品每個漲價1元，其銷售量減少10個，為了賺到最大利潤，售價應定為多少？解：設利潤為元，每個售價為元，那么每個漲〔－50〕元，從而銷售量減少∴＜100〕∴答：為了賺取最大利潤，售價應定為70元．例２、〔市2008年中考題〕某產(chǎn)品第一季度每件本錢為元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低本錢的百分率為⑴請用含的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的本錢；⑵如果第三季度該產(chǎn)品每件本錢比第一季度少元，試求的值=3\*GB2⑶該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價為元，第三季度每件的銷售價比第二季度有所下降，假設下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低本錢的百分率一樣，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價不低于元，設第三季度每件產(chǎn)品獲得的利潤為元，試求與的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)圖象與性質求的最大值〔注：利潤銷售價本錢〕分析：〔1〕⑵解得〔3〕解得而，∴而＝＝∵當時，利用二次函數(shù)的增減性，隨的增大而增大，而，∴當時，最大值＝18〔元〕說明：當自變量取值圍為體體實數(shù)時，二次函數(shù)在拋物線頂點取得最值，而當自變量取值圍為某一區(qū)間時，二次函數(shù)的最值應注意以下兩種情形：假設拋物線頂點在該區(qū)間，頂點的縱坐標就是函數(shù)的最值。假設拋物線的頂點不在該區(qū)間，那么區(qū)間兩端點所對應的二次函數(shù)的值為該函數(shù)的最值。四、利用對稱性來求最值問題。類這題涉及的知識面廣，綜合性強，解答有一定的難度?！惨弧吃趲缀晤}組中的應用ＥＤＣＢＢＡＰＭＥＤＣＢＢＡＰＭ`分析：由菱形的性質知：點Ｂ與點Ｄ關于ＡＣ對稱。因為Ｐ在ＡＣ上支運動，所以ＰＢ＝ＰＤ。要求PE+PB的最小最，即求PＤ+PB的最小值。連接ＤＥ交ＡＣ于點，那么ＤＥ即為所求。又∠BAD＝60°，ＡＥ＝ＡＤ，Ｅ為ＡＢ的中點，所以ＤＥ⊥ＡＢ，而ＡＢ＝ＡＤ＝２，所以ＤＥ＝，即PＤ+PB的最小值為ＰＯＢＡＱＲ例２、如圖，∠ＰＯＢＡＱＲ分析：作Ｐ關于ＯＡ，ＯＢ的對稱點，。連接，分別交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。如下圖，再連接ＰＱ，ＰＲ。易知Ｑ＝ＰＱ，Ｒ＝ＰＲ，所以△ＰＱＲ的周長＝Ｑ+ＱＲ+Ｒ。根據(jù)兩點之間線段最短，△ＰＱＲ的周長＝，而∠ＰＯＡ＝∠ＯＡ，∠ＰＯＢ＝∠ＯＢ，且ＯＰ＝Ｏ＝Ｏ＝１０，又∠ＡＯＢ＝４５°，所以∠Ｏ＝９０°即△Ｏ為等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周長的最小值為〔二〕在代數(shù)題組中應用ABOCDEABOCDEMXY且A〔－1，0〕。求拋物線的解析式及頂點Ｄ的坐標判斷△ＡＢＣ的形狀，證明你的結論。點Ｍ〔m，0〕是Ｘ軸上的一個動點，當ＭＣ+ＭＤ的值最小時，求m的值分析：〔1〕將A〔－1，0〕代入得，所以拋物線的解析式配方得：，所以頂點D〔2〕求出AC=，BC=，而AB=5∴，故△ＡＢＣ為RT△〔3〕作點C關于X軸的對稱點E〔，0〕，連接DE交X軸于點M，通過兩點式可求得直線DE的XOAEBPDYCXOAEBPDYCF32MN∴Ｍ〔，0〕即m=例2、如圖以矩形ＯＡＢＣ的頂點Ｏ為原點，ＯＡ所在的直線為Ｘ軸，ＯＣ所在的直線為Ｙ軸，建立平面直角坐標系。ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，點Ｅ是ＡＢ的中點，在ＯＡ上取一點Ｄ，將△ＢＡＤ沿ＢＤ翻折，使點Ａ落在ＢＣ邊上的點Ｆ處。直接寫出點Ｅ、Ｆ的坐標：設頂點為Ｆ的拋物線交Ｙ軸正半軸于點Ｐ，且以Ｅ、Ｆ、Ｐ為頂點的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；在Ｘ軸、Ｙ軸上是否分別存在點Ｍ、Ｎ，使得四邊形ＭＮＦＥ的周長最??？如果存在，求出周長的最小值；如果不存在，請說明理由。分析：〔1〕Ｅ〔3，1〕，F(xiàn)〔1，2〕在RT△FEB中，F(xiàn)B=2，BE=1，∴EF=，當時，〔0，0〕不合題意當時，如下圖P〔0，4〕設拋物線的解析式為，且過點P〔0，4〕，代入得∴，∴作點F關于Y軸的對稱點，點E關于X軸的對稱點，連接分別交X軸，Y軸于點M，N。此時四邊形ＭＮＦＥ的周長最小，∵=FN+MN+ME==，∴四邊形ＭＮＦＥ的周長最小值=+EF=●有理數(shù)的一題多解有理數(shù)是學生進入初中階段接觸的第一塊系統(tǒng)學習的代數(shù)知識，它不僅在知識體系上讓學生第一次領略了系統(tǒng)性、層次性，而且也滲透了"分類〞、"一題多解〞等好的數(shù)學思想。所謂"一題多解〞，是指答案的多樣性或方法的多樣性。本文試就本章出現(xiàn)的一題多解問題作一歸類說明。絕對值方程中的一題多解一個數(shù)的絕對值表示點到原點的距離，而互為相反數(shù)的兩數(shù)到原點的距離一樣，故方程|x|=a(a>0)的解有兩個：x1=a或x2=—a,他們是一對互為相反數(shù)。例1解方程|x+1|=2解：∵|x+1|=2，∴x+1=2或—2，∴x=1或—3.評注：假設|x|=0,那么x=0,此時方程只有一解，注意區(qū)別。例2方程|x-2|+|x-3|=1的解的個數(shù)是()A、0B、1C、2D、3E、多于3〔第41屆美國高中數(shù)學競賽，第4屆初中祖沖之杯數(shù)學邀請賽試題〕3210解：該題的幾何意義是：點x到2的距離與到3的距離的和等于1，由圖形可知，x在這兩點之間〔含這兩點〕，3210即方程的解是2≤x≤3,應選E最值問題中的一題多解所謂最值，即指最大值或最小值，在本章中涉及的最值問題主要是與絕對值相關的距離的最值，在競賽中會有所涉及。例3求y=|x-1|+|x+3|的最值，并求此時x的取值圍。BA310解：根據(jù)絕對值的幾何意義，y表示數(shù)軸上的一點x到兩點1和3之間的距離之和，從數(shù)軸上看，當x<1或x>3時,y取不到最大、最小值，當1≤x≤3時，y可取最小值2，此時使y取最小值2的BA310點分布在線段AB上，即1≤x≤3.例4求y=|x-1|-|x-3|的最值，并求此時x的取值圍。解:同例3,y表示數(shù)軸上的點x到點1、3的距離之差，分情況討論如下：x3103310101)x>3時，y=2x3103310102)1≤x≤3時,-2≤y≤2x3)x<1時，y=-2.x故y取最大值為2，此時x≥3,取最小值-2，此時x≤1.x評注：例3與例4的區(qū)別在于相差一個x符號，而結果卻大相徑庭。但這一點從幾何意義上來看，是很清晰的。所以，對于此類與距離有關的最值問題，我們可以借助于圖形，以獲得直觀的理解。乘方運算中的一題多解在乘法運算中，根據(jù)符號法那么——同好得正，異號得負，故有11=1，(-1)(-1)=1，故解方程x2=1時，x可取1或-1，即二次方程x2=1有二解。當然，這里的1可以換成其他的數(shù)。例5解方程(x-3)2=9解：∵32=9,(-3)2=9,∴x-3=3或-3，∴x=0或6.評注：由于所學知識有限，現(xiàn)階段我們只能利用乘方的含義求解諸如"x2=a2,a為有理數(shù)〞的二次方程，更一般的二次方程的解法構成了初中數(shù)學的一大分支，將在以后學到。例6解方程x3=x解:由x3=x得x3-x=0,即：x(x2-1)=0,故，x=0或x2=1，即x=1或-1，綜上，原方程的解為x=0，1，-1.評注：并非所有的形如xn=a(a≥0)的方程都有多解，如x4=64就只有一個解x=4.一般地，對方程xn=a(a>0)，假設n為偶數(shù)，那么方程有2解，且二解互為相反數(shù)；假設n為奇數(shù)，那么只有一解。四那么運算中的一題多解此處的"一題多解〞取多種解法的意思。我們知道，四那么運算中，運算律或運算技巧的使用可以讓我們充分領略"條條大路通羅馬〞的數(shù)學思想方法。當我們熟悉多種方法后，可以選擇一種最好的。例7計算(--)(-)+(-)解一：原式=〔--〕()+(-)=-==-3解二：原式=〔--〕()+(-)==-2+1+-=-3評注：解法一在括號通分后計算，是通常的路子；解法二注意到括號分數(shù)分子一樣，可與括號外的分數(shù)約分，使用了分配律，易于口算。因而快捷一些。例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.解一：S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2001-2002)+2003=(-1)+(-1)+(-1)+…(-1)+2003=-1001+2003=1002解二：S=(1+3+5+…+2003)-(2+4+6…+2002)=-=10021002-10021001=1002解三：S=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-2002+2003)=1+11001=1002評注：解法一、三如出一轍，不過解法三靈活利用了減法的意義——減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，因而避開了負數(shù)的運算，解題過程更"平安〞；解法二思路簡單：正負數(shù)分別相加，再把結果相減，不過利用了數(shù)列的求和公式，技巧頗高。例9計算S=2-22-23-24-25-26-27-28-2解一：S=(22-2)–(23-22)-(24-23)-…(210-29)+210=22-2-23+22-24+23-…-210+2=22-2+22=6解二:S=(210-29)-28-27-…-22+2=(29-28)-27-26…-22+2=(28-27)-26-25-…-22+2=……=23-22+2=6解三:由題意S=2-22-23-24-25-26-27-28-2故2S=22-23-24-25-26-27-28-29-210+211兩式相減得S=22-2+22-210-210+211=-2+8=6評注：解法一巧用相鄰兩項的關系得2n=2n+1-2n,因而利用加法運算律解決問題；解法二是"倒著走〞，每一步總是把S得表達式縮短一點，從而得解，過程富有節(jié)奏感；解法三那么運用了"