專題11空間向量基本定理及基底求最值12種題型

專題1.1空間向量基本定理及基底求最值12種題型一、熱考題型歸納【題型一】空間向量基礎(chǔ)：基底【題型二】在不同基底下的坐標(biāo)【題型三】利用基底求參數(shù)【題型四】幾何體中基底表示向量【題型五】三點共線求參【題型六】四點共面求參【題型七】基底綜合【題型八】“繞三角形”型基底數(shù)量積【題型九】借助基底求空間線段長度【題型十】基底求最值：長度最值【題型十一】基底求最值：數(shù)量積最值【題型十二】基底求最值：角度最值二、培優(yōu)練熱點考題歸納【題型一】空間向量基礎(chǔ)：基底【典例分析】1.（2021秋·高二課時練習(xí)）已知是空間向量的一組基底，，一定可以與向量，構(gòu)成空間向量的另一組基底的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間共面向量定理即可解決問題.【詳解】對于A，因為，所以共面，故A錯誤；對于B，因為，所以共面，故B錯誤；對于C，因為不共面，所以不共面．若存在，使成立，則共面，這與已知是空間一組基底矛盾，故不共面，故C正確；對于D，顯然共面，故D錯誤.故選：C.2．（2024秋·高二課時練習(xí)）已知是空間的一個基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基底的定義依次判斷各選項即可.【詳解】對于A選項，不存在使得成立，故能構(gòu)成空間的另一個基底；對于B選項，，故不能構(gòu)成空間的另一個基底；對于C選項，，故不能構(gòu)成空間的另一個基底；對于D選項，，故不能構(gòu)成空間的另一個基底.故選：A.【提分秘籍】定理：如果三個向量，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得

．其中，把叫做空間的一個基底，，，都叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底．【變式演練】1.2022·全國·高二專題練習(xí)）已知是空間一個基底，，，一定可以與向量，構(gòu)成空間另一個基底的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的一組基底是：任意兩個不共線，且不為零向量，三個向量不共面，即可判斷出結(jié)論．【詳解】由題意和空間向量的共面定理，結(jié)合向量（）+（）＝2，得與是共面向量，同理與是共面向量，所以與不能與、構(gòu)成空間的一個基底；又與和不共面，所以與、構(gòu)成空間的一個基底．故選：C．2.（2023春·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知向量、、是空間的一個基底，其中與向量、一定構(gòu)成空間另一個基底的向量是（）A． B．C． D．、、都不可以【答案】C【分析】利用空間向量基底的概念可得出結(jié)論.【詳解】因為，則與、為共面向量，因為，則與、為共面向量，所以、與、不能構(gòu)成空間的一個基底；若與、共面，可設(shè)，則與、共面，與題設(shè)矛盾，故與、不共面，即與、能構(gòu)成空間的一個基底.故選：C.3.（2022·高二課時練習(xí)）若是空間的一個基底，則下列各組中不能構(gòu)成空間一個基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到向量共面，得到答案.【詳解】，故，即三向量共面，不能構(gòu)成空間的基底.故選：C【題型二】在不同基底下的坐標(biāo)【典例分析】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知在空間單位正交基底下，是空間的一組單位正交基底，是空間的另一組基底.若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量基本定理求解即可.【詳解】設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，又向量在基底下的坐標(biāo)為，則，所以，即，所以解得所以向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.2.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)為空間一組基底，若向量，則向量在基底下的坐標(biāo)為.若在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意中坐標(biāo)的定義可得，由此可構(gòu)造方程組求得，進而可得所求坐標(biāo).【詳解】由題意知：；設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)為，則，即，，解得：，向量在基底下的坐標(biāo)為.故選：C.【提分秘籍】（1）空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)：在單位正交基底下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)_．（2）空間直角坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作．由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系之中的坐標(biāo)，上式可簡記作．【變式演練】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)為空間一組基底，若向量，則向量在基底下的坐標(biāo)為．若在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的線性運算法則，把表示為的線性和，然后由向量相等求得即得．【詳解】設(shè)=，為空間一組基底，所以，解得，所以的新坐標(biāo)為．故選：C．2.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是空間向量的一組基底，是空間向量的另一組基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)的定義即得.【詳解】∵向量在基底下的坐標(biāo)為，∴，設(shè)向量在基底下的坐標(biāo)是，則，∴，解得，即.故選：D.3.（2022·高二課時練習(xí)）若向量在空間的的一組基底下的坐標(biāo)是，則在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的坐標(biāo)為，得到，求得的值，即可求解.【詳解】因為在基底下的坐標(biāo)是，所以，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，因此，所以，即，即向量在基底下的坐標(biāo)為．故選：C．【題型三】利用基底求參數(shù)【典例分析】1.（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械诙袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由共面向量定理可得：：當(dāng)“”時，，易得：，，不共面，即，，能構(gòu)成空間的一個基底，當(dāng)，，能構(gòu)成空間的一個基底，則，，不共面，解得：，綜合得解【詳解】解：當(dāng)“”時，，易得：，，不共面，即，，能構(gòu)成空間的一個基底，即“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的充分條件，當(dāng)，，能構(gòu)成空間的一個基底，則，，不共面，設(shè)，，共面，即，解得：，即，即，，能構(gòu)成空間的一個基底時，m的取值范圍為：，即當(dāng)，，能構(gòu)成空間的一個基底，不能推出，即“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的不必要條件綜合得：“”是“，，構(gòu)成空間的一個基底”的充分不必要條件，故選A．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）若是空間的一個基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個基底，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可知，向量、、共面，則存在實數(shù)、使得，根據(jù)空間向量的基本定理可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.【詳解】因為向量，，不能構(gòu)成空間的一個基底，所以、、共面，故存在實數(shù)、使得，即，因為是空間的一個基底，則，解得.故選：D.【提分秘籍】在空間選定一點O和一個單位正交基底．以點O為原點，分別以，，的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、之軸，它們都叫做坐標(biāo)軸．這時就建立了一個空間直角坐標(biāo)系，O叫做原點，，，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面，它們把空間分成八個部分．【變式演練】1.（2022秋·北京西城·高二北師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．5 C．9 D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，利用空間向量基本定理即可求解出結(jié)果.【詳解】因為，，所以與不共線，又，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，所以，，三向量共面，所以存在唯一的實數(shù)對，使，即，解得．故選：D.2.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，，，如果，，三個向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，則實數(shù)為（

）A．0 B．9 C．5 D．3【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間向量的基本定理，即可求解.【詳解】，，與不平行，，，三個向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，存在實數(shù)x，y使得，即，解得，即實數(shù)為5時，，，三個向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，故選：C.3.2023秋·湖北隨州·高二隨州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實數(shù)的值為.【答案】5【分析】由空間向量基本定理求解，【詳解】若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則，得，解得故答案為：5【題型四】幾何體中基底表示向量【典例分析】1.（2022·全國·高二課時練習(xí)）三棱柱中，為棱的中點，若，則（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】由空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：．故選：B2.（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體，中，點是的中點，點在上，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和數(shù)乘運算，以及相等向量的轉(zhuǎn)化，即可求解.【詳解】易知，，，，，，所以.故選：D【提分秘籍】用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．【變式演練】1.（2022·全國·高二單元測試）如圖，在四面體中，點在棱上，且滿足，點，分別是線段，的中點，則用向量，，表示向量應(yīng)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運算進行求解即可．【詳解】解：因為，所以，因為點，分別是線段，的中點，所以，所以．故選：A．2.（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點，且，若，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】G是等邊的重心，可得，再由，可得，而，從而可以將用表示出，進而可求出【詳解】因為三棱錐是正三棱錐，G是的重心，所以，因為D是PG上的一點，且，所以，因為，所以,因為，所以，所以為，故選：B3.（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，平行六面體中，為的中點.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減法公式，對向量進行分解，進而求出，，的值.【詳解】，故，，，即故選：.【題型五】三點共線求參【典例分析】1.（2021·高二課時練習(xí)）在四面體中，點，分別為，的中點，若，且，，三點共線，則A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，又，對應(yīng)項系數(shù)相等，得到結(jié)果.【詳解】若，，三點共線，則存在實數(shù)使得成立，所以，可得，所以，可得.故選B2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為.【答案】/【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：18．【提分秘籍】1、對任意兩個空間向量，的充要條件是存在實數(shù)，使．2、A、B、C三點共線條件：存在實數(shù)，使【變式演練】1.（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）試寫出一個點的坐標(biāo)：，使之與點，三點共線．【答案】（答案不唯一）【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)，利用空間向量共線得到，求出，寫出一個符合要求的即可.【詳解】根據(jù)題意可得，設(shè)，則設(shè)，即故，不妨令，則，故．故答案為：2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)．．【答案】【分析】利用向量線性運算可得，由三點共線可得，由此可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】，，，三點共線，存在實數(shù)，使得，即，，解得：．故答案為：.3.（2022秋·河南周口·高二統(tǒng)考期中）已知點，，，若，，三點共線，則.【答案】【分析】首先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)，，三點共線，即可得到，從而，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，，所以，因為，，三點共線，所以，即，所以，解得故答案為：【題型六】四點共面求參【典例分析】1.（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知A，B，C三點不共線，對平面ABC外任一點O，有，且A，B，C，M四點共面，則________．【答案】.【分析】結(jié)合平面向量共面定理設(shè)存在實數(shù)，使得,進而結(jié)合已知條件與向量的線性運算法則對應(yīng)系數(shù)相等，解方程組求出結(jié)果.【詳解】因為A，B，C，M四點共面，所以存在實數(shù)，使得,因為，所以,又因為，所以，解得，故答案為：.2.（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知=(2,1,3),=(1,4,2),=(7,7,λ),若,,共面,則實數(shù)λ=_________.【答案】9【分析】由若,,共面，則存在實數(shù)m，n，使得，由此能求出實數(shù)λ．【詳解】∵=(2,1,3),=(1,4,2),=(7,7,λ),，∴由若,,共面，則存在實數(shù)m，n，使得，∴（7，7，λ）=m（2，1，3）+n（1，4，2），∴，解得n=3，m=5，∴λ=3×52×3=9．故答案為9．【提分秘籍】（1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（2）空間向量共面的充要條件：向量與不共線向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．【變式演練】1.（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，點P(x，－1，3)在平面ABC內(nèi)，則x＝________．【答案】11【分析】根據(jù)題意判斷存在實數(shù)k1，k2，使，再進行空間向量的坐標(biāo)運算構(gòu)建方程，解出參數(shù)即可.【詳解】解析：因為點P在平面ABC內(nèi)，所以存在實數(shù)k1，k2，使，即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，所以，解得.故答案為：11．2.（2020·全國·高二課時練習(xí)）若，，,,若不共面,當(dāng)時,α+β+γ=____.【答案】3【分析】由已知,所以故有α+β+γ=3.【詳解】由已知,所以故有α+β+γ=3.故答案為33.（2022·廣東·深圳中學(xué)高二期中（理））設(shè)（1，1，0），（﹣1，1，0），（1，0，1），（0，0，1），存在正交基底，則四個向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出來并寫在填空處；否則在填空處寫上“無正交基底”．你的答案是_____．【答案】【分析】四個向量中找出三個不共面的非零向量可以作為基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出來.【詳解】，1，，，1，，，0，，，0，，，，，若共面，則存在使得，化簡得：，無解，故不共面，則，，為正交基底，設(shè)，則，解得：，．故答案為：．【題型七】基底綜合【典例分析】1.（2022·山東·青島二中高二期末）有下列四個命題：①已知和是兩個互相垂直的單位向量，23，4，且⊥，則實數(shù)k＝6；②已知正四面體O﹣ABC的棱長為1，則（）?（）＝1；③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），則向量在上正投影的數(shù)量是；④已知2，32，37（{，，}為空間向量的一個基底），則向量，，不可能共面．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用向量的基本概念逐一進行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：①23，4，且，，解得，所以①正確．②，所以②正確．③，，向量在上正投影，所以③正確．④假設(shè)向量，，共面，則，所以，，所以，，，得，，所以向量，，共面，所以④不正確．即正確的有個，故選：．2.（2022·湖北黃岡·高二期中（理））以下四個命題中，正確的是（）A．若，則三點共線B．若為空間的一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底C．D．為直角三角形的充要條件是【答案】B【分析】A,利用向量共線定理即可判斷；B,利用共面向量基本定理即可判斷；C,向量的數(shù)量積運算與實數(shù)運算的區(qū)別；D，直角三角形頂點不確定.【詳解】解：A錯誤，根據(jù)三點共線，對空間任一點，由于，所以三點不共線；B正確，假設(shè)不能構(gòu)成空間的基底，則存在實數(shù)使得，即，因為為空間的一個基底，所以不共面，則，無解，故構(gòu)成空間的另一個基底；C錯誤，；D錯誤，直角三角形頂點不確定，故錯誤..故選：B【變式演練】1.（2022·全國·高二課時練習(xí)）在以下命題中，不正確的個數(shù)為()①是，b共線的充要條件；②若∥，則存在唯一的實數(shù)λ，使＝λ；③對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若＝2－2－，則P，A，B，C四點共面；④若{，，}為空間的一個基底，則{＋，＋，＋}構(gòu)成空間的另一個基底；⑤|(·)·|＝||·||·||.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用不等式||﹣||≤||等號成立的條件判斷①即可；利用與任意向量共線，來判斷②是否正確；利用共面向量定理判斷③是否正確；根據(jù)不共面的三個向量可構(gòu)成空間一個基底，結(jié)合共面向量定理，用反證法證明即可判斷④；代入向量數(shù)量積公式驗證即可判斷⑤．【詳解】對①，∵向量、同向時，，∴不滿足必要性，∴①錯誤；對②，當(dāng)為零向量，不是零向量時，不存在λ使等式成立，∴②錯誤；對③，若P，A，B，C四點共面，則存在唯一使得.則，即.又＝2－2－，所以，方程無解，故③錯誤；對④，用反證法，若{}不構(gòu)成空間的一個基底；設(shè)?x（x﹣1）?x（1﹣x），即，，共面，∵{}為空間的一個基底，∴④正確；對⑤，∵|（）|＝||×||×|cos，|×||≤||||||，∴⑤錯誤．故選C．2.（2021·河北·石家莊市第十二中學(xué)高二期中）下列關(guān)于空間向量的說法中，正確的有___________.①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則②若非零向量，，滿足，，，則有③是，共線的充分不必要條件④若，共線，則【答案】①③【分析】由空間向量基本定理可判斷①；根據(jù)空間向量的位置關(guān)系可判斷②；由向量的數(shù)量積以及充分條件和必要條件的定義可判斷③；根據(jù)共線向量的定義可判斷④，進而可得正確答案.【詳解】對于①：若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，只能兩個向量為共線向量，即，故①正確；對于②：若非零向量，，滿足，，，則與不一定共線，故②不正確；對于③：由可得：，可得，即，所以，反向共線，故充分性成立，若，共線則，當(dāng)時，不成立，故是，共線的充分不必要條件，故③正確；對于④：若，共線，則或與重合，故④不正確；所以正確的有①③，故答案為：①③.3.（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于以下命題：①是共線的充要條件；②對空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若，則P、A、B、C四點共面．③如果,那么與的夾角為鈍角④若為空間一個基底，則構(gòu)成空間的另一個基底；⑤若，則．其中不正確結(jié)論的序號是___________________．【答案】①②③【分析】由成立條件可判斷①；由四點共面的條件可判斷②；注意向量夾角范圍可判斷③；根據(jù)空間基底定義可判斷④；由共線定理可判斷⑤.【詳解】①：由成立條件可得與反向，即，共線，但，共線，若同向且，則不能推出，故錯誤；②：∵，根據(jù)共面向量定理P、A、B、C四點不共面，故錯誤；③：設(shè)兩個向量的夾角為α，由，所以與的夾角為鈍角或π，故錯誤；④：設(shè)，∵為空間的一個基底，所以，無實數(shù)解，即，，不共面，∴④正確；⑤：因為，所以，所以⑤正確.故答案為：①②③【題型八】“繞三角形”型基底數(shù)量積【典例分析】1.（2022·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當(dāng)和的長度都為最短時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件確定點M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點M在平面內(nèi)，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A2.（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，三棱錐中，和都是等邊三角形，，，為棱上一點，則的值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】先證明平面，得到，再根據(jù)空間向量的線性運算和數(shù)量積的定義，計算即可.【詳解】取的中點，連接，和都是等邊三角形，，，平面，平面，平面，面，，在中，，，由余弦定理，.故選：A.【提分秘籍】（1）定義：已知兩個非零向量，，則向量的模長與在向量方向上的投影的乘積叫做，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0．（2）由數(shù)量積的定義，可以得到：；_【變式演練】1.（2021·湖南·長沙一中高一期末）如圖，四棱錐中，底面為矩形且平面，連接與，下面各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理及向量垂直的充要條件即可求解.【詳解】對于A,因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正確；對于B,因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故B不正確；對于C，因為底面為矩形，所以與不垂直，所以與不一定垂直，所以與不一定垂直，所以與的數(shù)量積不一定為0，故C正確．對于D,因為平面，平面,所以,因為底面為矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故D不正確.故選：C2.（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】可根據(jù)圖象得出，然后將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)棱長為及即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可知，，則，因為棱長為，，所以，，即的不同值的個數(shù)為，故選：A3.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先將轉(zhuǎn)化為，再按照數(shù)量積的定義及運算律計算即可.【詳解】由題意得，故.故選：D.【題型九】借助基底求空間線段長度【典例分析】1.（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖，平行六面體中中，各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，則對角線的長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】在平行六面體中中，利用空間向量的加法運算得到，再根據(jù)模的求法，結(jié)合各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，由求解.【詳解】在平行六面體中中，因為各條棱長均為1，共頂點A的三條棱兩兩所成的角為60°，所以，所以，所以，，，所以，故選：B2.（2020·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期中）如圖所示，在平行六面體中，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由向量得：，展開化簡，再利用向量的數(shù)量積，便可得出答案.【詳解】，.，即的長為.

故選：B.【提分秘籍】1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則兩點間的距離___．2.【變式演練】1.（2022·湖北黃岡·高二期末（理））已知在平行六面體中，，，，，，則的長為A． B． C． D．【答案】D【分析】運用向量表示出，然后平方計算出結(jié)果【詳解】在平行六面體中，，,，，，，,則故選D2.（2022·廣東·石門高級中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，的長度為2，且，則的長度為________．【答案】【分析】設(shè)一組基地向量，將目標(biāo)用基地向量表示，然后根據(jù)向量的運算法則運算即可【詳解】設(shè)，則有：則有：根據(jù)，解得：故答案為：3.（2022·全國·高二期末）平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量兩兩的夾角均為60°，且=1，||=2，||=3，則||等于_____.【答案】5【分析】根據(jù)已知，用基底表示，由向量的數(shù)量積運算法則，求，即可求解【詳解】由平行六面體ABCDA1B1C1D1可得:，∴=12+22+32+2cos60°(1×2+1×3+2×3)=25，∴=5.故答案為:5.【題型十】基底求最值：長度最值【典例分析】1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）棱長均為3的三棱錐，若空間一點滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)空間向量基本定理知，與，，共面,則的最小值為三棱錐的高，由條件求出三棱錐的高即可.【詳解】由，根據(jù)空間向量基本定理知，與，，共面.則的最小值為三棱錐的高，，設(shè)為在面上的射影，由條件可得三棱錐為正三棱錐.連接并延長交于點,則所以,所以故選：A．【變式演練】（2022·高二課時練習(xí)）已知的頂點平面,點B,C在平面異側(cè),且,,若,與所成的角分別為,,則線段長度的取值范圍為.【答案】【解析】由題意畫出圖形，分別過作底面的垂線，垂足分別為，，根據(jù)可知，線段長度的最大值或最小值取決于的長度，而，即可分別求出的最小值與最大值．【詳解】如圖所示：分別過作底面的垂線，垂足分別為，．由已知可得，，，，．∵，而，∴當(dāng)，所在平面與垂直，且在底面上的射影，，在點同側(cè)時，長度最小，此時，最小為；當(dāng)，所在平面與垂直，且在底面上的射影，，在點異側(cè)時，長度最大，此時，最大為．∴線段長度的取值范圍為．故答案為：．【題型十一】基底求最值：數(shù)量積最值【典例分析】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，由題意可得點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．2.（2023春·湖北·高二宜昌市三峽高級中學(xué)校聯(lián)考期中）已知是棱長為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點在正方體表面上運動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運算和數(shù)量積運算可得，根據(jù)正方體的特點確定最大值和最小值，即可求解.【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為，則,,因為MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以，，所以，又點Р在正方體表面上運動，所以當(dāng)為正方體頂點時，最大，且最大值為；當(dāng)為內(nèi)切球與正方體的切點時，最小，且最小值為；所以，所以的取值范圍為，故選：C.【變式演練】1.（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知是棱長為8的正方體外接球的一條直徑，點M在正方體表面上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】本題通過基底法，得到，再通過立體圖得到的值，以及的最小值，最終代入數(shù)據(jù)得到最小值.【詳解】如圖為棱長為8的正方體外接球的一條直徑,為球心，為正方體表面上的任一點則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑,它等于棱長的一半，即長度為4，,的長為正方體的對角線長，為，我們將三角形單獨抽取出來如下圖所示：所以的最小值為.故選：B.2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正四棱柱中，底面邊長，，是長方體表面上一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】取中點，則，當(dāng)為側(cè)面中點時，；的最大值為體對角線的一半，又，，即的取值范圍為.故選：B.3.（2022秋·貴州·高二統(tǒng)考期中）《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點，H是內(nèi)的動點（含邊界），且平面ACD，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG，則，，根據(jù)面面平行的判定定理可得平面平面，由線面垂直的判定定理可得平面，進而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點，連接FG，EF，EG.易得，，因為平面，平面，，，所以平面平面.因為平面，所以H為線段FG上的點.由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因為，所以平面，，.因為，所以，..因為，所以.故選：B.【題型十二】基底求最值：角度最值【典例分析】（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直于底面，.若E是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為基底表示出，利用向量夾角公式計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)，則構(gòu)成空間的一個基底，，，.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A【提分秘籍】夾角（1）求異面直線所成的角若兩異面直線所成角為，它們的方向向量分別為，則有=.（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有=.（3）求二面角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小為，其兩個面的法向量分別為，則==（4）求平面與平面的夾角平面與平面相交，形成四個二面角，把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面與平面的夾角=.【變式演練】（2020·浙江·湖州中學(xué)模擬預(yù)測）已知點是正方體表面上一動點，且滿足，設(shè)與平面所成的角為，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件求得動點的軌跡方程，再由直線與平面的夾角可得出最值.【詳解】以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長為2，，則，因為，所以，即，所以點的軌跡為以點為球心、為半徑的球與正方體表面的交線，即為如圖的，，，要使得與底面所成的角最大，則與底面的交點到點的距離最短，從而點在上，且在上，則，從而，所以的最大值為，故選：A．一、單選題1．（2022秋·廣東江門·高二統(tǒng)考期中）在空間四邊形中，等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的加法運算法則，即可求解.【詳解】.故選：C2．（2022秋·海南省直轄縣級單位·高二校考期中）如圖，空間四邊形中，，，.點在上，且，為的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加減和數(shù)乘運算直接求解即可.【詳解】為的中點，,.故選：C.3．（2023秋·高二單元測試）如圖：在平行六面體中，M為，的交點．若，，，則向量（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求解【詳解】因為在平行六面體中，M為，的交點，，，，所以,故選：B4．（2021秋·遼寧大連·高二大連八中?？计谥校┌耸甏跗?，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發(fā)展，已知A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點（

）A．不共面 B．不一定共面C．無法判斷是否共面 D．共面【答案】D【分析】根據(jù)空間向量共面定理的推論進行判斷即可.【詳解】對于空間任一點和不共線三點，若點P滿足且，則四點共面.而，其中，所以四點共面.故選：D.5．（2022秋·廣東東莞·高二東莞實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知空間向量，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則與共線C．若，則 D．【答案】B【分析】對ACD，舉特例零向量判斷即可；對B，根據(jù)數(shù)量積公式判斷即可.【詳解】對A，若，則，不能得出，故A錯誤；對B，，當(dāng)與存在零向量時，與共線成立；當(dāng)與均不為零向量時，，故夾角為或，則與共線，故B正確；對C，若，則，不能得出，故C錯誤；對D，，，故不成立，故D錯誤；故選：B6．（2023秋·福建莆田·高三莆田一中校考開學(xué)考試）如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長為（

）A． B．5 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由，轉(zhuǎn)化為向量的模長，然后結(jié)合空間向量數(shù)量積運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由，可得，因為底面為矩形，，，，所以，，又，所以，則.故選：B7．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知平面與平面成角，，則C與D之間的距離是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】利用空間向量分類討論計算兩點距離即可.【詳解】由題意可得是面的法向量，設(shè)與平面所成角為，如圖所示，則或，易知，若，則上式化為，若，則上式化為，即D正確.故選：D8．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高二黑龍江實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（

）A． B． C．4 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得，再由空間向量的模長計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由二面角的平面角的定義知，∴，由，得，又，∴，所以，即.故選：C.二、多選題9．（2023秋·高二課時練習(xí)）（多選）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，平面，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積為零的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ABD【分析】逐項判斷各選項中向量對應(yīng)的直線是否垂直即可解答.【詳解】對于A，由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故A正確；對于B，由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故B正確；因為，所以直線與所成的角為，顯然，則與的數(shù)量積不為0，故C錯誤.對于D，由于平面，平面，則，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故D正確；故選：ABD.10．（2023春·湖南岳陽·高二校考開學(xué)考試）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCDA1B1C1D1，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（

）A． B．向量與的夾角是60°C．AC1⊥DB D．BD1與AC所成角的余弦值為【答案】AC【分析】選擇{、、}作為一組基底，分別表示各選項中的向量，運用向量的模、向量夾角、數(shù)量積、異面直線所成角公式計算即可判斷.【詳解】對于A選項，由題意可知，則，∴，所以選項A正確；對于B選項，，所以，，則，∴向量與的夾角是，所以選項B不正確；對于C選項，，又因為，所以，∴，所以選項C正確；對于D選項，設(shè)與所成角的平面角為，因為，，所以，，，∴，所以選項D不正確.故選：AC.11．（2023春·湖北荊門·高二統(tǒng)考期末