函數(shù)的概念與圖象6種常見考法歸類（原卷版）

5.1函數(shù)的概念與圖象6種常見考法歸類1.函數(shù)的概念給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域.2.值域若A是函數(shù)y＝f(x)的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)x(輸入值)，都有一個(gè)y(輸出值)與之對(duì)應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域.3.同一個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù).4.函數(shù)的圖象將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(x0，f(x0)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象.5.作圖、識(shí)圖與用圖(1)畫函數(shù)圖象常用的方法是描點(diǎn)作圖，其步驟是列表、描點(diǎn)、連線．(2)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，開口方向由a值符號(hào)決定，a>0，圖象開口向上，a<0時(shí)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a)．6.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法①判斷集合A，B是否為非空數(shù)集.②判斷集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).滿足上述兩條，則該對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一個(gè)不滿足便不能構(gòu)成函數(shù).7.判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的方法①一般先求定義域，若定義域不同，則不是同一個(gè)函數(shù)；若定義域相同，可再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，若對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，則是同一個(gè)函數(shù).②因?yàn)楹瘮?shù)的值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同，值域就一定相同.8.求函數(shù)定義域時(shí)，要注意應(yīng)用下列原則：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合.(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合.(4)如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集.(5)如果f(x)是根據(jù)實(shí)際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合.(6)復(fù)合函數(shù)的定義域就是使所有式子都有意義的自變量的取值范圍，注意相同的對(duì)應(yīng)法則所作用對(duì)象的范圍是一致的.注意定義域必須用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)用并集符號(hào)“∪”連接.9.抽象函數(shù)的定義域1已知fx的定義域，求fgx的定義域：若fx的定義域?yàn)閇a，b]，則fgx中a≤gx≤b，從中解得x的取值范圍即為fgx的定義域.2已知fgx的定義域，求fx的定義域：若fgx的定義域?yàn)閇a，b]，即a≤x≤b，求得gx的取值范圍，gx的取值范圍即為fx的定義域.,用較為口語(yǔ)化的語(yǔ)言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：①定義域指自變量的取值范圍.告訴我們已知什么，求什么②括號(hào)內(nèi)范圍相同.10.求函數(shù)值的方法(1)已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(ax對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合.11.函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．12.函數(shù)圖象的畫法(1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線.(2)畫函數(shù)的圖象，需首先關(guān)注函數(shù)的定義域．定義域決定了函數(shù)的圖象是一系列點(diǎn)、連續(xù)的線或是其中的部分．(3)描點(diǎn)作圖，要找出關(guān)鍵“點(diǎn)”，再連線．如一次函數(shù)的圖象描出端點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)連線即得；二次函數(shù)的圖象描出端點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)，連線即得．連線時(shí)還需標(biāo)注端點(diǎn)的虛實(shí)．(4)函數(shù)的圖象能體現(xiàn)函數(shù)的定義域、值域．這就是數(shù)形結(jié)合思想．13.函數(shù)圖象的平移變換1左右平移：a＞0時(shí)，y＝fx的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx＋a的圖象；a＞0時(shí)，y＝fx的圖象向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx－a的圖象.2上下平移：b＞0時(shí)，y＝fx的圖象向上平移b個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx＋b的圖象；b＞0時(shí)，y＝fx的圖象向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx－b的圖象.14．常借助函數(shù)圖象求解以下幾類問題(1)比較函數(shù)值的大小；(2)求函數(shù)的值域；(3)分析兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)求解不等式或參數(shù)范圍．考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷（一）由定義判斷是否為函數(shù)（二）從圖象判斷是否為函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二同一個(gè)函數(shù)的判定考點(diǎn)三函數(shù)的定義域（一）求具體函數(shù)的定義域（二）抽象函數(shù)的定義域（三）已知函數(shù)的定義域求參數(shù)考點(diǎn)四函數(shù)的值域與函數(shù)值考點(diǎn)五畫函數(shù)圖象（一）利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象（二）利用圖象的平移變換作函數(shù)圖象考點(diǎn)六函數(shù)圖象的應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷（一）由定義判斷是否為函數(shù)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，下列對(duì)應(yīng)法則不可以作為從到的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù).(1)，，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng)；(2)，，對(duì)應(yīng)法則，，；(3)，，對(duì)應(yīng)法則，，；(4)三角形，，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng).4．【多選】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（）A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：開平方B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：x012y121C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，對(duì)應(yīng)關(guān)系：

D．A＝R，B＝{1，0}，?x∈A，y∈B，對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y為1，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y為05．【多選】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的為（

）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示：

（二）從圖象判斷是否為函數(shù)關(guān)系6．【多選】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合=，集合=，下列能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列圖象中，不是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

8．（2023秋·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)校考階段練習(xí)）在下列圖像中，表示函數(shù)圖像的可能是（

）A．

B．

C．

D．

考點(diǎn)二同一個(gè)函數(shù)的判定9．【多選】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列各組函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與10．【多選】（2023秋·新疆·高三八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組函數(shù)中不是相等函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，11．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)．①，；②，；③，；④，；⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系與一次函數(shù).其中表示同一函數(shù)的是(填序號(hào)).12．【多選】（2023秋·云南紅河·高一彌勒市一中校考階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與13．【多選】（2023秋·高一單元測(cè)試）下列四組函數(shù)，表示相同函數(shù)的一組是（）A．，（）B．，C．，D．，考點(diǎn)三函數(shù)的定義域（一）求具體函數(shù)的定義域14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．15．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)校考期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C．且 D．且16．（2023秋·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?17．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)；(4).（二）抽象函數(shù)的定義域18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.19．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．21．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?22．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?23．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．（三）已知函數(shù)的定義域求參數(shù)25．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．27．（2023春·北京·高二匯文中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．或 B．或C． D．28．（2023秋·河北保定·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．29．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若的定義域?yàn)閇－2,1]，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．考點(diǎn)四函數(shù)的值域與函數(shù)值30．（2023秋·海南·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)求的定義域；(2)求，的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的值.31．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)求的值.32．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．133．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，若，求的值．34．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).35．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).36．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).37．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．38．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則.39．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)五畫函數(shù)圖象（一）利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象40．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象，并寫出其值域．(1)；(2).41．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象，并求其值域：(1)；(2).42．（2023秋·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，，(1)畫出函數(shù)，的圖象；(2)，用表示，中的較小者，記為，請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù).（二）利用圖象的平移變換作函數(shù)圖象43．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．44．（2023秋·福建泉州·高一泉州五中校考開學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位B．向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位C．向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位D．向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位45．（2023秋·安徽宿州·高一?？茧A段練習(xí)）為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位46．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用平移圖像的方式作出的圖像，并說(shuō)明函數(shù)的值域．考點(diǎn)六函數(shù)圖象的應(yīng)用47．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值的的取值集合為（）A． B．C． D．48．（2023秋·高一單元測(cè)試）對(duì)于任意，函數(shù)表示、、中的較大者，求的最小值.49．【多選】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池