解直角三角形

第五課時28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握解直角三角形的根據(jù).2.能由已知條件解直角三角形.二、教學(xué)重點(diǎn)已知條件解直角三角形三、教學(xué)難點(diǎn)已知條件解直角三角形四、教學(xué)過程（一）預(yù)習(xí)反饋閱讀教材P72～73，自學(xué)“探究”、“例1”與“例2”，完成下列內(nèi)容.(1)在直角三角形中，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程叫做解直角三角形.(2)如圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，那么除直角外的五個元素之間有如下關(guān)系：三邊之間的關(guān)系a2＋b2＝c2；兩銳角之間的關(guān)系∠A＋∠B＝90°；邊與角之間的關(guān)系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b).(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知∠A與斜邊c，用關(guān)系式∠A＋∠B＝90°求出∠B，用關(guān)系式sinA＝eq\f(a,c)求出a.（二）教授例題類型1已知兩邊，解直角三角形例1(教材例1變式)根據(jù)下列條件解直角三角形：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq\r(2)；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq\r(3).【解答】(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝3eq\r(2)，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(\r(2),2).∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°.∴AC＝BC＝3.(2)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝2eq\r(3)，∴tanA＝eq\f(BC,AC)＝eq\r(3)，AB＝eq\r(BC2＋AC2)＝4eq\r(3).∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝30°.【點(diǎn)撥】已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c，a)①b＝eq\r(c2－a2)；②由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；③∠B＝90°－∠A.兩直角邊(如a，b)①c＝eq\r(a2＋b2)；②由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；③∠B＝90°－∠A.【跟蹤訓(xùn)練1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，如果AH＝BC，那么sin∠BAC的值是eq\f(4,5).類型2已知一邊和一銳角，解直角三角形例2(教材例2變式)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解這個直角三角形.【解答】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°.又∵sinA＝eq\f(BC,AB)，∠A＝45°，AB＝10，∴BC＝5eq\r(2).∴AC＝BC＝5eq\r(2).例3(教材例2變式)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解這個直角三角形.【解答】∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°.∵cosA＝eq\f(AC,AB)，∴AB＝eq\f(AC,cosA)＝eq\f(10,\f(\r(3),2))＝eq\f(20\r(3),3).又∵tanA＝eq\f(BC,AC)，∴BC＝AC·tanA＝10×tan30°＝10×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(10\r(3),3).【點(diǎn)撥】已知類型已知條件解法步驟一邊和一銳角斜邊和一銳角(如c，∠A)①∠B＝90°－∠A；②由sinA＝eq\f(a,c)，得a＝c·sinA；③由cosA＝eq\f(b,c)，得b＝c·cosA.一直角邊和一銳角(如a，∠A)①∠B＝90°－∠A；②由tanA＝eq\f(a,b)，得b＝eq\f(a,tanA)；③由sinA＝eq\f(a,c)，得c＝eq\f(a,sinA).【跟蹤訓(xùn)練2】如圖，在△ABC中，∠B＝45°，cosC＝eq\f(3,5)，AC＝5a，則△ABC的面積用含a的式子表示是14a2.（三）鞏固訓(xùn)練1.如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝eq\f(1,2)，則BC的長是(A)A.2B.8C.2eq\r(5)D.4eq\r(5)2.如圖，小明為了測量其所在位置A點(diǎn)到河對岸B點(diǎn)之間的距離，沿著與AB垂直的方向走了m米，到達(dá)點(diǎn)C，測得∠ACB＝α，那么AB等于(B)A.m·sinα米B.m·tanα米C.m·cosα米D.eq\f(m,tanα)米3.如圖，已知在Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD＝3，cosB＝eq\f(4,5)，則AC＝eq\f(15,4).4.如圖，在菱形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，cosA＝eq\f(3,5)，BE＝4，則DE的值是8.5.如圖，在△ABC中，AC＝8，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，求AB的長.解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，在Rt△ACD中，CD＝AC·sin∠CAD＝8×eq\f(1,2)＝4，AD＝AC·cos∠CAD＝8×cos30°＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).在Rt△BDC中，DB＝CD·tan∠BCD＝4×1＝4，∴AB＝BD＋DA＝4eq\r(3)＋4.（四）課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：解直角三角形.（五）課堂作業(yè)完成課本P76～77頁第7、8題第六課時28.2.2應(yīng)用舉例一、教學(xué)目標(biāo)1.能將直角三角形的知識與圓的知識結(jié)合起來解決問題.2.進(jìn)一步理解仰角、俯角等概念，并會把類似于測量建筑物高度的實際問題抽象成幾何圖形.3.能利用解直角三角形來解其他非直角三角形的問題.二、教學(xué)重點(diǎn)直角三角形的知識與圓的知識結(jié)合起來解決問題教學(xué)難點(diǎn)進(jìn)一步理解仰角、俯角等概念，能利用解直角三角形來解其他非直角三角形的問題.教學(xué)過程教授例題例1(教材例3變式)如圖，圖1是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切，將這個游戲抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖2.已知鐵環(huán)的半徑為15cm，設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)的相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面的接觸點(diǎn)為A，∠MOA＝α，且sinα＝eq\f(3,5).(1)求點(diǎn)M離地面AC的高度BM；(2)設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC等于49cm，求鐵環(huán)鉤MF的長度.【解答】過點(diǎn)M作與AC平行的直線，與OA，F(xiàn)C分別相交點(diǎn)于H，N.(1)在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝15，HM＝OM·sinα＝9，∴OH＝12，MB＝HA＝15－12＝3。答：鐵環(huán)鉤離地面的高度為3cm.(2)∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切，∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，即∠FMN＝∠MOH＝α.∴eq\f(FN,FM)＝sinα＝eq\f(3,5).∴FN＝eq\f(3,5)FM.在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝49－9＝40.∵FM2＝FN2＋MN2，即FM2＝(eq\f(3,5)FM)2＋402，解得FM＝50.答：鐵環(huán)鉤的長度FM為50cm.【點(diǎn)撥】步驟：(1)根據(jù)題意畫出平面圖形，再將所求問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題；(2)利用直角三角形的邊角關(guān)系與三角函數(shù)的有關(guān)知識解答.例2(教材例4變式)如圖，CD是一高為4米的平臺，AB是與CD底部相平的一棵樹.在平臺頂C點(diǎn)測得樹頂A的仰角α＝30°，從平臺底部向樹的方向水平前進(jìn)3米到達(dá)點(diǎn)E，在點(diǎn)E處測得樹頂點(diǎn)A的仰角β＝60°，求樹高AB.(結(jié)果保留根號)【解答】過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，則四邊形CDBF是矩形.則CF＝DB，F(xiàn)B＝CD＝4米.設(shè)AB＝x米，則AF＝AB－FB＝(x－4)米.在Rt△ACF中，CF＝eq\f(AF,tanα)＝eq\r(3)(x－4)米.∴DB＝eq\r(3)(x－4)米.在Rt△AEB中，EB＝eq\f(AB,tanβ)＝eq\f(\r(3),3)x米.∵DB－EB＝DE，∴eq\r(3)(x－4)－eq\f(\r(3),3)x＝3，解得x＝6＋eq\f(3,2)eq\r(3).答：樹高AB是(6＋eq\f(3,2)eq\r(3))米.【跟蹤訓(xùn)練】如圖，從熱氣球C處測得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，如果此時熱氣球C處的高度CD為100米，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，則A，B兩點(diǎn)的距離是(D)A.200米B.200eq\r(3)米C.220eq\r(3)米D.100(eq\r(3)＋1)米（二）鞏固訓(xùn)練1.如圖，某同學(xué)用一個有30°角的直角三角板估測他們學(xué)校的旗桿AB的高度.他將30°角的直角邊水平放在1.5米高的支架CD上，三角板的斜邊與旗桿的頂點(diǎn)在同一直線上，他又量得DB的距離為10米，則旗桿AB的高度為(D)A.10eq\r(3)米B.(10eq\r(3)＋1.5)米C.eq\f(10\r(3),3)米D.(eq\f(10\r(3),3)＋1.5)米2.觀光塔是濰坊市區(qū)的標(biāo)志性建筑，為測量其高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端A點(diǎn)處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點(diǎn)處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°.已知樓房高AB約是45m，根據(jù)以上觀測數(shù)據(jù)，可求觀光塔的高CD是135m.3.如圖，小俊在A處利用高為1.5米的測角儀AB測得樓EF頂部E的仰角為30°，然后前進(jìn)12米到達(dá)C處，又測得樓頂E的仰角為60°，求樓EF的高度.(結(jié)果精確到0.1米)解：設(shè)樓EF的高為x米，可得EG＝EF－GF＝(x－1.5)米.依題意，得EF⊥AF，DC⊥AF，BA⊥AF，BD⊥EF(設(shè)垂足為G).在Rt△EGD中，DG＝eq\f(EG,tan∠EDG)＝eq\f(\r(3),3)(x－1.5)米.在Rt△EGB中，BG＝eq\r(3)(x－1.5)米，∴CA＝DB＝BG－DG＝eq\f(2\r(3),3)(x－1.5)米.∵CA＝12米，∴eq\f(2\r(3),3)(x－1.5)＝12，解得x＝6eq\r(3)＋1.5≈11.9，則樓EF的高度約為11.9米.（三）課堂小結(jié)1.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：利用解直角三角形解決實際問題.2.本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模的思想.（四）課堂作業(yè)完成課本p28.2第1、2、

第7課時與方位角、坡度有關(guān)的解直角三角形應(yīng)用題一、教學(xué)目標(biāo)1.能運(yùn)用解直角三角形解決航行問題.2.能運(yùn)用解直角三角形解決斜坡問題.3.理解坡度i＝eq\f(坡面的鉛直高度,坡面的水平寬度)＝tan坡角.二、教學(xué)重點(diǎn)解直角三角形解決航行問題.三、教學(xué)難點(diǎn)理解坡度i＝eq\f(坡面的鉛直高度,坡面的水平寬度)＝tan坡角.四、教學(xué)過程（一）預(yù)習(xí)反饋閱讀教材P76，自學(xué)“例5”和“歸納”，掌握利用解直角三角形的知識解決方位角的實際問題，完成下列問題.(1)利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般過程是：a.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題；b.根據(jù)條件的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)剡x用銳角三角函數(shù)等去解直角三角形；c.得到數(shù)學(xué)問題的答案；d.最后得到實際問題的答案.(2)已知外婆家在小明家的正東方，學(xué)校在外婆家的北偏西40°，外婆家到學(xué)校與小明家到學(xué)校的距離相等，則學(xué)校在小明家的北偏東40°方向.教授例題類型1方位角問題例1如圖，海中一小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁，今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)向東航行，你認(rèn)為貨輪向東航行的途中會有觸礁的危險嗎？【解答】過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝eq\f(BD,AD)，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝eq\f(20,tan55°－tan25°)≈20.79>10.答：輪船繼續(xù)向東行駛，不會有觸礁危險.【點(diǎn)撥】應(yīng)先求出點(diǎn)A距BC的最近距離，若大于10則無危險，若小于或等于10則有危險.【跟蹤訓(xùn)練1】如圖所示，A，B兩城市相距200km.現(xiàn)計劃在這兩座城市間修筑一條高速公路(即線段AB).經(jīng)測量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，100km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請問計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護(hù)區(qū).為什么？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，點(diǎn)C是垂足.則∠APC＝30°，∠BPC＝45°.AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°.∵AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，即eq\f(\r(3),3)PC＋PC＝200，(eq\f(\r(3),3)＋1)PC＝200.∴PC＝eq\f(3,3＋\r(3))×200＝eq\f(3（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)×200＝100(3－eq\r(3))≈100×(3－1.732)≈126.8＞100.答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護(hù)區(qū).【點(diǎn)撥】解這類題目時，首先弄清楚方位角的含義；其次是通過作垂線構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.類型2坡度、坡角問題例2如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求斜坡AB的坡角α，壩底寬AD和斜坡AB的長.(精確到0.1m)【解答】過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，在Rt△ABE和Rt△CDF中，eq\f(BE,AE)＝eq\f(1,3)，eq\f(CF,FD)＝eq\f(1,2.5)，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)，F(xiàn)D＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m).∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m).∵斜坡的坡度i＝eq\f(1,3)≈0.3333，∴eq\f(BE,AE)＝0.3333，即tanα＝0.3333.∴α≈18°26′.∵eq\f(BE,AB)＝sinα，∴AB＝eq\f(BE,sinα)≈eq\f(23,0.3162)≈72.7(m).答：斜坡AB的坡角α約為18°26′，壩底寬AD為132.5m，斜坡AB的長約為72.7m.【點(diǎn)撥】這類問題，首先要弄清楚坡度、坡角等名詞的含義；其次，要將梯形予以分割，分割成特殊的四邊形和直角三角形.【跟蹤訓(xùn)練2】如圖，已知在山腳的C處測得山頂A的仰角為45°，沿著坡角為30°的斜坡前進(jìn)400m到點(diǎn)D處，測得點(diǎn)A的仰角為60°，求出AB的高度.解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝400米，∴DF＝CD·sin30°＝eq\f(1,2)×400＝200(米)，CF＝CD·cos30°＝eq\f(\r(3),2)×400＝200eq\r(3)(米).在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，設(shè)DE＝x米，∴AE＝tan60°·x＝eq\r(3)x(米).在矩形DEBF中，BE＝DF＝200米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC，即eq\r(3)x＋200＝200eq\r(3)＋x.∴x＝200.∴AB＝AE＋BE＝(200eq\r(3)＋200)米.（三）鞏固訓(xùn)練1.如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1∶eq\r(3)，堤壩高BC＝50m，則迎水坡面AB的長度是(C)A.50eq\r(3)mB.100eq\r(3)mC.100mD.150m2.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向55°，距離燈塔為2海里的點(diǎn)A處.如果海輪沿正南方向航行到燈塔的正東位置，海輪航行的距離AB長是(C)A.2海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里3.如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東30°方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，這時，海輪所在的B處與燈塔P的距離為(A)A.40eq\r(2)海里B.40eq\r(3)海里C.80海里D.40eq\r(6)海里4.如圖，在坡