陜西省西安市電子科技教育集團(tuán)第一中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

陜西省西安市電子科技教育集團(tuán)第一中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知θ∈R，則直線的傾斜角的取值范圍是

A．[0°，30°]

B．[150°，180°)

C．[0°，30°]∪[150°，180°)

D．[30°，150°]參考答案：C2.在△ABC中，如果a=4，b=5，A=30°，則此三角形有（）A．一解B．兩解C．無解D．無窮多解參考答案：B略3.過點M（1，1）的直線與橢圓=1交于A，B兩點，且點M平分弦AB，則直線AB的方程為（）A．4x+3y﹣7=0 B．3x+4y﹣7=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4x﹣3y﹣1=0參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓的方程，兩式相減，結(jié)合中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，即可解出直線AB的斜率k，由點斜式方程可得直線AB的方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓的方程可得：+=1，+=1，兩式相減可得：+=0，又x1+x2=2，y1+y2=2，=k，即為k=﹣=﹣，則直線AB的方程為：y﹣1=﹣（x﹣1），化為3x+4y﹣7=0．故選：B．4.等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與x-7y-4=0,原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為

（

）.A．3

B．2

C．

D．參考答案：解析：，，設(shè)底邊為由題意，到所成的角等于到所成的角于是有再將A、B、C、D代入驗證得正確答案是A。5.已知為常數(shù)，最大值為，最小值為，且，則實數(shù)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.數(shù)學(xué)教研組開設(shè)職業(yè)技能類選修課3門，知識類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類選修課中各至少選一門，則不同的選法共有

()．A．30種

B．35種

C．42種

D．48種參考答案：A7.直線2x﹣y+k=0與4x﹣2y+1=0的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．不平行C．平行或重合 D．既不平行也不重合參考答案：C【考點】方程組解的個數(shù)與兩直線的位置關(guān)系．【專題】計算題．【分析】化簡方程組得到2k﹣1=0，根據(jù)k值確定方程組解的個數(shù)，由方程組解得個數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系．【解答】解：∵由方程組，得2k﹣1=0，當(dāng)k=時，方程組由無窮多個解，兩條直線重合，當(dāng)k≠時，方程組無解，兩條直線平行，綜上，兩條直線平行或重合，故選C．【點評】本題考查方程組解得個數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系，方程有唯一解時，兩直線相交，方程組有無窮解時，兩直線重合，方程組無解時，兩直線平行．8.已知，若g(x)存在兩個零點，則m的取值范圍是A.[－1,+∞)B.[－1,0)C. [0,+∞)

D.[1,+∞)參考答案：A9.已知集合，，則的子集個數(shù)為（

）

A．2B．4

C．6

D．8參考答案：B略10.已知函數(shù)是奇函數(shù)且是上的增函數(shù)，若滿足不等式，則的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線x＋2y－3＝0與直線ax＋4y＋b＝0關(guān)于點A(1,0)對稱，則a＋b＝________.參考答案：412.設(shè)，則的最大值為 參考答案：錯解：有消元意識，但沒注意到元的范圍。解析：由得：，且，原式=，求出最大值為1。

13.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若過A、C、B1三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與A1C1的位置關(guān)系是

．參考答案：l∥A1C1【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】空間位置關(guān)系與距離．【分析】由A1C1∥AC，得A1C1∥平面AB1C，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直線l，由線面平行的性質(zhì)定理，得l∥A1C1．【解答】解：因為A1C1∥AC，A1C1不包含于平面AB1C，AC?平面AB1C，所以A1C1∥平面AB1C，又因為A1C1在底面A1B1C1D1內(nèi)，平面AB1C∩底面A1B1C1D1=直線l，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，得l∥A1C1．故答案為：l∥A1C1．【點評】本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．14.（10分）已知等差數(shù)列{an}的前三項為a,4,3a，前k項的和Sk＝2550，求通項公式an及k的值．參考答案：=-2n+4略15.已知曲線則曲線在點處的切線方程為

．參考答案：略16.兩個平面將空間最多分成__________個部分.參考答案：4

略17.某班有50名學(xué)生,其中15人選修A課程,另外35人選修B課程,從該班中任選兩名學(xué)生,他們選修不同課程的概率是__________.參考答案：【分析】先計算出總的方法數(shù)，然后在每類選科人中各選一人，利用分步計算原理計算得方法數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】∵該班有50名學(xué)生則從班級中任選兩名學(xué)生共有種不同的選法又∵15人選修課程,另外35人選修課程∴他們是選修不同課程的學(xué)生的情況有:故從班級中任選兩名學(xué)生,他們是選修不同課程的學(xué)生的概率.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，考查分步乘法計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得分，負(fù)者得分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多分或打滿局時就停止。設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨立，已知第二局比賽結(jié)束時停止的概率為，求：（1）求值；（2）設(shè)表示比賽停止時比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案：

【方法二】設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響，從而有所以，的分布列為X246P略19.（本題滿分12分）如圖，橢圓的一個焦點是F（1，0），O為坐標(biāo)原點． （Ⅰ）已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，若直線繞點F任意轉(zhuǎn)動，恒有,求的取值范圍．參考答案：解法一：（Ⅰ）設(shè)M，N為短軸的兩個三等分點，因為△MNF為正三角形，

所以,即1＝，解得 因此，橢圓方程為 （Ⅱ）設(shè) （?。┊?dāng)直線AB與x軸重合時， （ⅱ）當(dāng)直線AB不與x軸重合時， 設(shè)直線AB的方程為： 整理得 所以 因為恒有，所以AOB恒為鈍角． 即恒成立． 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0對mR恒成立， 即a2b2m2>a2-a2b2+b2對mR恒成立． 當(dāng)mR時，a2b2m2最小值為0，所以a2-a2b2+b2<0． a2<a2b2-b2,a2<（a2-1）b2=b4, 因為a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<（舍去），即a>, 綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）．解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）當(dāng)直線l垂直于x軸時， x=1代入=1． 因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1, 解得a>或a<（舍去），即a>． （ii）當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）． 設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）代入 得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0, 故x1+x2= 因為恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+x22+y22<（x2-x1）2+（y2-y1）2, 得x1x2+y1y2<0恒成立． x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2 =（1+k2）． 由題意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0對kR恒成立． ①當(dāng)a2-a2b2+b2>0時，不合題意； ②當(dāng)a2-a2b2+b2=0時，a=; ③當(dāng)a2-a2b2+b2<0時，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<0，a4-3a2+1>0, 解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a． 綜合（i）（ii），a的取值范圍為（，+）．20.已知坐標(biāo)平面上點M(x，y)與兩個定點M1(26,1)，M2(2,1)的距離之比等于5.(Ⅰ)求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；(Ⅱ)記(Ⅰ)中的軌跡為C，過點M(－2,3)的直線l被C所截得的線段的長為8，求直線l的方程．

參考答案：解：(Ⅰ)由題意，得＝5.＝5，化簡，得x2＋y2－2x－2y－23＝0.即(x－1)2＋(y－1)2＝25.∴點M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，軌跡是以(1,1)為圓心，以5為半徑的圓．(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率不存在時，l：x＝－2，此時所截得的線段的長為2＝8，∴l(xiāng)：x＝－2符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圓心到l的距離d＝，由題意，得()2＋42＝52，解得k＝.∴直線l的方程為x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.綜上，直線l的方程為x＝－2，或5x－12y＋46＝0.

略21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．參考答案：解：（1）…………………1分當(dāng)時，即時，，在上遞增；…………………3分當(dāng)時，即或時，，由求得兩根為…………………5分即在和上遞增；在上遞減，………………6分的單調(diào)遞增區(qū)間是：當(dāng)時，當(dāng)或時，和的單調(diào)遞減區(qū)間是：當(dāng)或時，………………7分（2）（法一）由（1）知在區(qū)間上遞減，∴只要∴

解得：．………9分

……………………12分

……………………14分略22.如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求證：EF⊥平面DCE；（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°．參考答案：【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【專題】計算題；證明題．【分析】（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到答案．（II）方法一（幾何法）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，由三垂線定理及二面角的平面角的定義，易得∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A﹣EF﹣C的大小為60°時，AB的長．方法二（向量法）以點C為坐標(biāo)原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，設(shè)AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程求出a值．【解答】證明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，∴EC=，∵在△FCE中，CF2=EF2+CE2，∴EF⊥CE由已知條件知，DC⊥平面EFCB，∴DC⊥EF，又DC與EC相交于C，∴EF⊥平面DCE解：（Ⅱ）方法一：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，從而AH⊥EF．所以∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角．在Rt△CEF中，因為EF=2，CF=4．EC=∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，∴由二面角A﹣EF﹣C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得，所以當(dāng)時，二面角A﹣EF﹣C的大小為6