吉林省長(zhǎng)春市三盛玉中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

吉林省長(zhǎng)春市三盛玉中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知點(diǎn)F1是拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)F2為拋物線C的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過(guò)F2作拋物線C的切線，切點(diǎn)為A，若點(diǎn)A恰好在以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B．﹣1 C．+1 D．參考答案：C【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用直線F2A與拋物線相切，求出A的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率．【解答】解：設(shè)直線F2A的方程為y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴A（2，1），∴雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為AF2﹣AF1=2（﹣1），∴雙曲線的離心率為=+1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解答此題的關(guān)鍵是求出A的坐標(biāo)，屬中檔題．2.函數(shù)（其中A＞0,）的圖象如圖所示，為了得到圖象，則只需將的圖象（

）A．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位B．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位D．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位參考答案：A．試題分析：由已知中函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，易得：，即，即，將點(diǎn)代入可得，，又因?yàn)椋?，所以．設(shè)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，則，解得．所以將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像．故應(yīng)選A．考點(diǎn)：由函數(shù)的部分圖像確定其解析式．3.已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A.3 B.1 C. D.參考答案：B【分析】由兩圓恰有三條公切線可得兩圓相外切，根據(jù)兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心和半徑，可得，然后用“1”的代換，使用基本不等式求得的最小值。【詳解】解：由題意得兩圓相外切，兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為，，圓心分別為，，半徑分別為2和1當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查兩圓的位置關(guān)系，兩圓相外切的性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特性，基本不等式的運(yùn)用，本題中得到兩圓相外切，再利用其性質(zhì)得到是解題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)。對(duì)于正實(shí)數(shù)a、b，存在，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。

4.（2016鄭州一測(cè)）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．參考答案：A∵，∴．5.

已知且

的值（

）A．一定小于0

B．等于0

C．一定大于0

D．無(wú)法確定參考答案：A6.下列命題中錯(cuò)誤的是(

)A．如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面B．如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面C．如果平面平面，平面平面，，那么直線平面D．如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面參考答案：D7.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，則“a=3”是“A?B“的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】先有a=3成立判斷是否能推出A?B成立，反之判斷“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要條件的題意得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)a=3時(shí)，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；反之當(dāng)A?B時(shí)，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3故“a=3”是“A?B”的充分不必要條件故選A．8.已知全集為，集合，則A.

B.

C.

D.參考答案：C

【知識(shí)點(diǎn)】集合的運(yùn)算A1解析：，,故選C.【思路點(diǎn)撥】先解出集合A,B,再求出即可.9.在四邊形(

)A.

B．

C．

D．參考答案：C略10.一組數(shù)據(jù)中每個(gè)數(shù)據(jù)都減去80構(gòu)成一組新數(shù)據(jù)，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2，方差是4.4，則原來(lái)這組數(shù)的平均數(shù)和方差分別是

A．81.2

84.4 B．78.8

4.4

C．81.2

4.4

D．78.8

75.6參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）．若f（x）的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象與f（x）的圖象重合，則ω的最小值為

．參考答案：6【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式；正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】應(yīng)用題；規(guī)律型；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，終邊相同的角的特征，求得ω的最小值【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），∵把f（x）的圖象向左平移個(gè)單位所得的圖象為y=sin=sin（ωx++φ），∴φ=++φ+2kπ．即ω=﹣6k，k∈z，∵ω＞0，∴ω的最小值為：6故答案為：6【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題12.已知，則二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)是．參考答案：240【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用；定積分．【分析】利用定積分求出a，寫出展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0，即可得出結(jié)論．【解答】解：=sinx=2，則二項(xiàng)式=展開式的通項(xiàng)公式為，令，求得r=4，所以二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)是×24=240．故答案為：240．【點(diǎn)評(píng)】本題考查定積分知識(shí)的運(yùn)用，考查二項(xiàng)式定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．13.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線(s為參數(shù))和直線(t為參數(shù))平行，則常數(shù)的值為_____.參考答案：4略14.函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則f（x）=參考答案：2sin（2x﹣）．【考點(diǎn)】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】由圖可求A，T，由周期公式可求ω，再由﹣2=2sin[2×（﹣）+φ]求得φ即可得解函數(shù)解析式．【解答】解：由圖知A=2，又=﹣（﹣）=，故T=π，∴ω=2；又∵點(diǎn)（﹣，﹣2）在函數(shù)圖象上，可得：﹣2=2sin[2×（﹣）+φ]，∴可得：﹣×2+φ=2kπ﹣（k∈Z），∴φ=2kπ﹣，（k∈Z），又∵|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）．故答案為：2sin（2x﹣）．15.函數(shù)的反函數(shù)為，則

.參考答案：答案：

16.一名大學(xué)生到一單位應(yīng)聘，面試需回答三道題.若每一道題能否被正確回答是相互獨(dú)立的,且這名大學(xué)生能正確回答每一道題的概率都是,則這名大學(xué)生在面試中正確回答的題目的個(gè)數(shù)的期望=______________.參考答案：答案：217.由不等式組所確定的平面區(qū)域的面積為______________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）數(shù)列的前項(xiàng)和是，且.⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.參考答案：(1)由題

①，

②，①-②可得，則. …………3分當(dāng)時(shí)，則，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，因此. …………6分(2)， …………8分所以， .…………12分19.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）令，討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ш）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明：．參考答案：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx+x，則f（1）=1，所以切點(diǎn)為（1，1），又f′（x）=+1，則切線斜率k=f′（1）=2，故切線方程為：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0……………2分（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)而所以函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)…………….5分當(dāng)0<a<1時(shí)，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=，所以當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，因此函數(shù)g（x）在x∈（0，）是增函數(shù)，在（，+∞）是減函數(shù)，∴x=時(shí)，g（x）有極大值g（）=﹣lna>0又∴當(dāng)0<a<1時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)…………………….8分（3）證明：當(dāng)所以即為：所以……………9分令……..10分所以所以所以因?yàn)椤?2分20.（14分）某地?cái)M在一個(gè)U形水面PABQ（∠A=∠B=90°）上修一條堤壩（E在AP上，N在BQ上），圍出一個(gè)封閉區(qū)域EABN，用以種植水生植物．為了美觀起見，決定從AB上點(diǎn)M處分別向點(diǎn)E，N拉2條分割線ME，MN，將所圍區(qū)域分成3個(gè)部分（如圖），每部分種植不同的水生植物．已知AB=a，EM=BM，∠MEN=90°，設(shè)所拉分割線總長(zhǎng)度為l．（1）設(shè)∠AME=2θ，求用θ表示的l函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；（2）求l的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型．【分析】（1）設(shè)∠AME=2θ，求出EM，MN，即可求用θ表示的l函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），即可求l的最小值．【解答】解：（1）∵EM=BM，∠B=∠MEN，∴△BMN≌△EMN，∴∠BNM=∠MNE，∵∠AME=2θ，∴∠BNM=∠MNE=θ，設(shè)MN=x，在△BMN中，BM=xsinθ，∴EM=BM=xsinθ，∴△EAM中，AM=EMcos2θ=xsinθcos2θ，∵AM+BM=a，∴xsinθcos2θ+xsinθ=a，∴x=，∴l(xiāng)=EM+MN=，θ∈（0，）；（2）令f（θ）=sinθ（1﹣sinθ），sinθ∈（0，），∴f（θ）≤，當(dāng)且僅當(dāng)θ=時(shí)，取得最大值，此時(shí)lmin=2a．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查三角函數(shù)模型的運(yùn)用，屬于中檔題．21.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)，直線和圓交于，兩點(diǎn).（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)上一定點(diǎn)，求的值.參考答案：（1）∴∴∴（2）直線的參數(shù)方程可化為為參數(shù)代入，得化簡(jiǎn)得：∴∴22.已知函數(shù)f（x）=，g（x）=ax﹣2lnx﹣a（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）求f（x）的極值；（2）在區(qū)間（0，e]上，對(duì)于任意的x0，總存在兩個(gè)不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域，通過(guò)討論a的范圍結(jié)合g（x）的單調(diào)性，求出a的具體范圍即可．【解答】解：（1）因?yàn)閒（x）=，所以f′（x）=，…令f′（x）=0，得x=1．…當(dāng)x∈（﹣∞，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．所以f（x）在x=1時(shí)取得極大值f（1）=1，無(wú)極小值．

…（2）由（1）知，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．又因?yàn)閒（0）=0，f（1）=1，f（e）=e?e1﹣e＞0，所以當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1]．…當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上單調(diào)，不合題意；…當(dāng)a≠0時(shí)，g′（x）=，x∈（0，e]，故必須滿足0＜＜e，所以a＞．

…此時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，g′（x），g（x）的變化情況如下：x（0，）（，e]g′（x）﹣0+g（x）單調(diào)減最小值單調(diào)增所以x→0，g（x）→+∞，g（）=2﹣a﹣2ln，g（e）=a（e﹣1）﹣2，所以對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在兩個(gè)不同的x1，x2使得g（x1）=g（x2）=f（x0），當(dāng)且僅