2024屆遼寧省遼陽市太子河區(qū)數(shù)學(xué)九上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2024屆遼寧省遼陽市太子河區(qū)數(shù)學(xué)九上期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．數(shù)據(jù)4，3，5，3，6，3，4的眾數(shù)和中位數(shù)是（）A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．4，52．如圖，在⊙O中，弦BC＝1，點A是圓上一點，且∠BAC＝30°，則的長是()A．π B． C． D．3．某種品牌運動服經(jīng)過兩次降價，每件零售價由520元降為312元，已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．設(shè)每次降價的百分率為x，下面所列的方程中正確的是()A． B．C． D．4．如圖，是的中位線，則的值為（）A． B． C． D．5．方程的根是（）A． B． C． D．6．學(xué)生作業(yè)本每頁大約為7.5忽米(1厘米＝1000忽米)，請用科學(xué)計數(shù)法將7.5忽米記為米，則正確的記法為()A．7.5×105米 B．0.75×106米 C．0.75×10-4米 D．7．如圖，將Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，使得點C、A、B1在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于（）A．55° B．70° C．125° D．145°8．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)分別是A．3， B．3，1 C．，1 D．3，69．如圖，為的直徑，點為上一點，，則劣弧的長度為（）A． B．C． D．10．拋物線y=2（x+3）2+5的頂點坐標是（）A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（﹣3，﹣5）11．一元二次方程x2﹣3x+5=0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根12．如圖，某同學(xué)用圓規(guī)畫一個半徑為的圓，測得此時，為了畫一個半徑更大的同心圓，固定端不動，將端向左移至處，此時測得，則的長為（）A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在中，，點是邊的中點，，則的值為___________．14．邊心距為的正六邊形的半徑為_______．15．如圖，在圓中，是弦，點是劣弧的中點，聯(lián)結(jié)，平分，聯(lián)結(jié)、，那么__________度．16．如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的長為__________.17．如圖，在正方形中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，此時與交于點，則的長度為___________.18．已知一條拋物線，以下說法：①對稱軸為，當時，隨的增大而增大；②；③頂點坐標為；④開口向上.其中正確的是______.（只填序號）三、解答題（共78分）19．（8分）如圖,在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=2BC,E為AD的中點,連接BD,BE，∠ABD=90°（1）求證：四邊形BCDE為菱形.（2）連接AC,若AC⊥BE,BC=2,求BD的長.20．（8分）在平面直角坐標系中，直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=a+bx+c(a<0)經(jīng)過點A，B，(1)求a、b滿足的關(guān)系式及c的值，(2)當x<0時，若y=a+bx+c(a<0)的函數(shù)值隨x的增大而增大，求a的取值范圍，(3)如圖，當a=?1時，在拋物線上是否存在點P，使△PAB的面積為?若存在，請求出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由，21．（8分）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，頂點A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側(cè)），BC=2，AB=2，△ADC與△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱．（1）當OB=2時，求點D的坐標；（2）若點A和點D在同一個反比例函數(shù)的圖象上，求OB的長；（3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點D1的反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象與BA的延長線交于點P．問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點P，A1，D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由．22．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.動點M從點B出發(fā)，在線段BA上以每秒3cm的速度點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒2cm的速度向點B運動，其中一點到達終點后，另一點也停止運動.運動時間為t秒，連接MN.（1）填空：BM=cm.BN=cm.（用含t的代數(shù)式表示）（2）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（3）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．23．（10分）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤（元）與銷售單價（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；（3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案方案A：該文具的銷售單價高于進價且不超過30元；方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，連接OP，CD．（1）求證：OP⊥CD；（2）連接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的長．25．（12分）矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A(6，0)、C(0，3)，直線y=x與BC邊相交于D．（1）求點D的坐標：（2）若拋物線y=ax＋bx經(jīng)過D、A兩點，試確定此拋物線的表達式：（3）P為x軸上方（2）題中的拋物線上一點，求△POA面積的最大值．26．如圖，己知是的直徑，切于點，過點作于點，交于點，連接、.（1）求證：是的切線：（2）若，，求陰影部分面積.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可．【題目詳解】解：在這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是3，即眾數(shù)是3；

把這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列3，3，3，4，4，5，6，

∴中位數(shù)為4；

故選：A．【題目點撥】本題考查一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；在求中位數(shù)時，首先要把這列數(shù)字按照從小到大或從的大到小排列，找出中間一個數(shù)字或中間兩個數(shù)字的平均數(shù)即為所求．2、B【解題分析】連接OB，OC．首先證明△OBC是等邊三角形，再利用弧長公式計算即可．【題目詳解】解：連接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴的長＝，故選B．【題目點撥】考查弧長公式，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．3、A【分析】根據(jù)題意可得到等量關(guān)系：原零售價（1-百分率）（1-百分率）=降價后的售價，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【題目詳解】解：由題意得：，故答案選A．【題目點撥】本題考查一元二次方程與實際問題，解題的關(guān)鍵是找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．4、B【分析】由中位線的性質(zhì)得到DE∥AC，DE=AC，可知△BDE∽△BCA，再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方可得，從而得出的值.【題目詳解】∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE=AC∴△BDE∽△BCA∴∴故選B.【題目點撥】本題考查了中位線的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方.5、D【分析】根據(jù)因式分解法，可得答案．【題目詳解】解：解得：，，故選：．【題目點撥】本題考查了解一元二次方程，因式分解是解題關(guān)鍵．注意此題中方程兩邊不能同時除以，因為可能為1．6、D【分析】小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10-n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．【題目詳解】解：7.5忽米用科學(xué)記數(shù)法表示7.5×10-5米．

故選D．【題目點撥】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．7、C【解題分析】試題分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵點C、A、B1在同一條直線上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋轉(zhuǎn)角等于125°．故選C．8、A【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答．【題目詳解】3x2?6x+1=0的二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是?6，常數(shù)項是1.故答案選A.【題目點撥】本題考查的知識點是一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元二次方程的一般形式.9、A【分析】根據(jù)“直徑所對圓周角為90°”可知為直角三角形，在可求出∠BAC的正弦值，從而得到∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理可求得所對圓心角的度數(shù)，最后利用弧長公式即可求解．【題目詳解】∵AB為直徑，AO=4，∴∠ACB=90°，AB=8，在中，AB=8，BC=，∴sin∠BAC=，∵sin60°=，∴∠BAC=60°，∴所對圓心角的度數(shù)為120°，∴的長度=．故選：A．【題目點撥】本題考查弧長的計算，明確圓周角定理，銳角三角函數(shù)及弧長公式是解題關(guān)鍵，注意弧長公式中的角度指的是圓心角而不是圓周角．10、B【解題分析】解：拋物線y=2（x+3）2+5的頂點坐標是（﹣3，5），故選B．11、A【解題分析】Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×5=9-20=-11<0，所以原方程沒有實數(shù)根，故選A.12、A【分析】△ABO是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得OA的長，過O'作O'D⊥AB于點D，在直角△AO'D中利用三角函數(shù)求得AD的長，則AB'=2AD，然后根據(jù)BB'=AB'-AB即可求解．【題目詳解】解：在等腰直角△OAB中，AB=1，則OA=cm，AO＇=cm，∠AO'D=×120°=60°，

過O'作O'D⊥AB于點D．

則AD=AO'?sin60°=2×=．

則AB'=2AD=2，

故BB'=AB'-AB=2-1．

故選：A．【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的基本概念，主要是三角函數(shù)的概念及運算，關(guān)鍵把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題加以計算．二、填空題（每題4分，共24分）13、【分析】作高線DE，利用勾股定理求出AD，AB的值，然后證明，求DE的長，再利用三角函數(shù)定義求解即可．【題目詳解】過點D作于E∵點是邊的中點，∴，在中，由∴∴由勾股定理得∵∴∵∴∴∴∴∴故答案為：．【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的問題，掌握勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．14、8【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求得∠AOH=30°，得到AH=OA，再根據(jù)求出OA即可得到答案.【題目詳解】如圖，正六邊形ABCDEF，邊心距OH=，∵∠OAB=60°，∠OHA=90°，∴∠AOH=30°，∴AH=OA，∵，∴,解得OA=8，即該正六邊形的半徑為8，故答案為：8.【題目點撥】此題考查正六邊形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理，正確理解正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15、120【分析】連接AC，證明△AOC是等邊三角形，得出的度數(shù)．【題目詳解】連接AC∵點C是的中點∴∵，∴AB平分OC∴AB是線段OC的垂直平分線∴∵∴∴△AOC是等邊三角形∴∴∴故答案為．【題目點撥】本題考查了等邊三角形的判定定理，從而得出目標角的度數(shù)．16、1【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，由勾股定理可求解．【題目詳解】∵將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝3，∠CAC1＝60°，∴∠BAC1＝90°，∴BC1＝＝＝1，故答案為：1．【題目點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，熟練旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．17、【分析】利用正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′D=A′E，進而利用勾股定理得出BD的長，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DE的長即可．【題目詳解】解：由題意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，

∴∠DEA′=45°，

∴A′D=A′E，

∵在正方形ABCD中，AD=1，

∴AB=A′B=1，

∴BD=，

∴A′D=，

∴在Rt△DA′E中，DE=．故答案為：.【題目點撥】此題主要考查了正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理、銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出A′D的長是解題關(guān)鍵．18、①④【分析】先確定頂點及對稱軸，結(jié)合拋物線的開口方向逐一判斷．【題目詳解】因為y=2(x﹣3)2+1是拋物線的頂點式，頂點坐標為(3，1)，①對稱軸為x=3，當x＞3時，y隨x的增大而增大，故①正確；②，故②錯誤；③頂點坐標為(3，1)，故③錯誤；④∵a=1＞0，∴開口向上，故④正確．故答案為：①④．【題目點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的單調(diào)性和求拋物線的頂點坐標、對稱軸及最值的方法．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）【分析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四邊形BCDE是平行四邊形，再證明BE=DE即可解決問題；（2）連接AC，可證AB=BC，由勾股定理可求出BD=．【題目詳解】（1）證明：∵∠ABD=90°，E是AD的中點，∴BE=DE=AE，∵AD=2BC，∴BC=DE，∵AD∥BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵BE=DE，∴四邊形BCDE為菱形；（2）連接AC，如圖，∵由（1）得BC=BE，AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵AC⊥BE，∴四邊形ABCE為菱形，∴BC=AB=2，AD=2BC=4，∵∠ABD=90°，∴BD===.【題目點撥】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法20、（1）b=3a+1；c=3；（2）；（3）點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）.【分析】（1）求出點A、B的坐標，即可求解；（2）當x＜0時，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函數(shù)值隨x的增大而增大，則函數(shù)對稱軸，而b=3a+1，即：，即可求解；（3）過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA于點Q，作PH⊥AB于點H，由S△PAB=，則=1，即可求解．【題目詳解】解：（1）y=x+3，令x=0，則y=3，令y=0，則x=，故點A、B的坐標分別為（-3，0）、（0，3），則c=3，則函數(shù)表達式為：y=ax2+bx+3，將點A坐標代入上式并整理得：b=3a+1；（2）當x＜0時，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函數(shù)值隨x的增大而增大，則函數(shù)對稱軸，∵，∴，解得：，∴a的取值范圍為：；（3）當a=時，b=3a+1=二次函數(shù)表達式為：，過點P作直線l∥AB，作PQ∥y軸交BA于點Q，作PH⊥AB于點H，∵OA=OB，∴∠BAO=∠PQH=45°，S△PAB=×AB×PH=××PQ×=，則PQ==1，在直線AB下方作直線m，使直線m和l與直線AB等距離，則直線m與拋物線兩個交點，分別與點AB組成的三角形的面積也為，∴，設(shè)點P（x，-x2-2x+3），則點Q（x，x+3），即：-x2-2x+3-x-3=±1，解得：或；∴點P的坐標為：（，）或（，）或（，）或（，）.【題目點撥】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．21、（1）點D坐標為（5，）；（2）OB=2；（2）k=12．【解題分析】分析：（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解決問題；（2）設(shè)OB=a，則點A的坐標（a，2），由題意CE=1．DE=，可得D（2+a，），點A、D在同一反比例函數(shù)圖象上，可得2a=（2+a），求出a的值即可；（2）分兩種情形：①如圖2中，當∠PA1D=90°時．②如圖2中，當∠PDA1=90°時．分別構(gòu)建方程解決問題即可；詳解：（1）如圖1中，作DE⊥x軸于E．∵∠ABC=90°，∴tan∠ACB=，∴∠ACB=60°，根據(jù)對稱性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，∴∠DCE=60°，∴∠CDE=90°-60°=20°，∴CE=1，DE=，∴OE=OB+BC+CE=5，∴點D坐標為（5，）．（2）設(shè)OB=a，則點A的坐標（a，2），由題意CE=1．DE=，可得D（2+a，），∵點A、D在同一反比例函數(shù)圖象上，∴2a=（2+a），∴a=2，∴OB=2．（2）存在．理由如下：①如圖2中，當∠PA1D=90°時．∵AD∥PA1，∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=20°，AD=2，∴AA1==4，在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，∴PA=，∴PB=，設(shè)P（m，），則D1（m+7，），∵P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上，∴m=（m+7），解得m=2，∴P（2，），∴k=10．②如圖2中，當∠PDA1=90°時．∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，∴△AKP∽△DKA1，∴．∴，∵∠AKD=∠PKA1，∴△KAD∽△KPA1，∴∠KPA1=∠KAD=20°，∠ADK=∠KA1P=20°，∴∠APD=∠ADP=20°，∴AP=AD=2，AA1=6，設(shè)P（m，4），則D1（m+9，），∵P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上，∴4m=（m+9），解得m=2，∴P（2，4），∴k=12．點睛：本題考查反比例函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會了可以參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．22、（1）3t，8-2t；（2）△BMN與△ABC相似時，t的值為s或s；（3）t的值為.【分析】（1）根據(jù)“路程=時間×速度”和線段的和與差即可得；（2）由兩三角形相似得出對應(yīng)線段成比例，再結(jié)合題（1）的結(jié)果，聯(lián)立求解即可；（3）如圖（見解析），過點M作于點D，易證，利用相似三角形的性質(zhì)求出CD和DM的長，再證，從而可建立一個關(guān)于t的等式，求解即可得.【題目詳解】（1）由“路程=時間×速度”得：故答案為：；（2）當時，，即，解得當時，，即，解得綜上所述，與相似時，t的值為或；（3）如圖，過點M作于點D又∵∠B＝∠B，解得：或（不符題意，舍去），經(jīng)檢驗是方程的解，故t的值為.【題目點撥】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，通過作輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.23、(1)w＝－10x2＋700x－10000;(2)即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大;(3)A方案利潤更高.【分析】試題分析：（1）根據(jù)利潤=（單價-進價）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式即可.（2）根據(jù)（1）式列出的函數(shù)關(guān)系式，運用配方法求最大值.（3）分別求出方案A、B中x的取值范圍，然后分別求出A、B方案的最大利潤，然后進行比較.【題目詳解】解：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000.（2）∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250∴當x＝35時，w有最大值2250，即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大.（3）A方案利潤高,理由如下：A方案中：20＜x≤30，函數(shù)w＝－10（x－35）2＋2250隨x的增大而增大，∴當x=30時，w有最大值，此時，最大值為2000元.B方案中：，解得x的取值范圍為：45≤x≤49.∵45≤x≤49時，函數(shù)w＝－10（x－35）2＋2250隨x的增大而減小，∴當x=45時，w有最大值，此時，最大值為1250元.∵2000＞1250，∴A方案利潤更高24、（1）詳見解析；（2）.【分析】（1）方法1、先判斷出Rt△ODP≌Rt△OCP，得出∠DOP＝∠COP，即可得出結(jié)論；

方法2、判斷出OP是CD的垂直平分線，即可得出結(jié)論；

（2）先求出∠COD＝60°，得出△OCD是等邊三角形，最后用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論.【題目詳解】解：（1）方法1、連接OC，OD，∴OC＝OD，∵PD，PC是⊙O的切線，∵∠ODP＝∠OCP＝90°，在Rt△ODP和Rt△OCP中，，∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)，∴∠DOP＝∠COP，∵OD＝OC，∴OP⊥CD；方法2、∵PD，PC是⊙O的切