八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法：專題09 等腰三角形重難點(diǎn)知識(shí)（解析版）

專題09等腰三角形重難點(diǎn)知識(shí)典例解析【知識(shí)點(diǎn)1：與邊相關(guān)基礎(chǔ)概念】例題1．（2022·吉林樺甸期末）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則此三角形的周長(zhǎng)為（）A．17cm B．22cm C．22cm或17cm D．不確定【答案】B.【解析】解：當(dāng)腰長(zhǎng)為4cm時(shí)，則三邊分別為4cm，4cm，9cm，因?yàn)?+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰長(zhǎng)為9cm時(shí)，三邊長(zhǎng)分別為4cm，9cm，9cm，符合三角形三邊關(guān)系，周長(zhǎng)=4+9+9=22cm．故答案為：B．例題2．（2021·四川省德陽(yáng)）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周長(zhǎng)為24cm，則AB邊的取值范圍是（）A．1cm＜AB＜12cm B．6cm＜AB＜8cmC．6cm＜AB＜12cm D．8cm＜AB＜12cm【答案】C.【解析】解：設(shè)AB=AC=x，則BC=24-2x，由三角形的三邊關(guān)系得：x+x＞24-2x，解得：x＞6，∵24-2x＞0，解得：x＜12，∴6＜x＜12，故答案為：C．例題3．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特期中）（1）等腰三角形一條腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成12和9兩部分，則腰長(zhǎng)為_(kāi)__．（2）若BD是等腰三角形ABC中一條腰上的高，且∠ABD＝50°，則等腰三角形ABC的頂角的度數(shù)為_(kāi)__．【答案】8或6；40°或100°或140°.【解析】解：（1）如圖所示，設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)AB=AC=2x，∵BD是腰上的中線∴AD=DC=x①若AB+AD的長(zhǎng)為12，則2x+x=12解得x=4∴AB=2x=8；②若AB+AD的長(zhǎng)為9，則2x+x=9解得x=3∴AB=2x=6，故答案為：8或6．（2）∵∠ABD=50°，BD是腰上的高，

∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°，

①點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，頂角為∠A，是40°；②點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)時(shí)，頂角∠BCA=180°-40°×2=100°，③點(diǎn)A是頂角頂點(diǎn)時(shí)，頂角∠BAC=180°-40°=140°，故答案為：40°或100°或140°．【知識(shí)點(diǎn)2：與角相關(guān)基礎(chǔ)概念】例題4．（2021·天津期中）等腰三角形的一個(gè)外角為110°，則它的底角是（）A．70°或55° B．50°或70° C．40°或70° D．40°或50°【答案】A.【解析】解：①當(dāng)110°外角是底角的外角時(shí)，底角為：180°-110°=70°，②當(dāng)110°外角是頂角的外角時(shí)，頂角為：180°-110°=70°，則底角為：（180°-70°）×=55°，∴底角為70°或55°．故答案為：A．例題5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的一條角平分線，若∠BDC＝72°，則∠A的度數(shù)為_(kāi)____．【答案】36°.【解析】解：∵BD是△ABC的一條角平分線，∴∠ABD=∠CBD，設(shè)∠ABD=∠CBD=x∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2x∵∠BDC=72°∴x+2x+72=180°∴x=36∴∠A=36°故答案為：36°.例題6．（吉林省長(zhǎng)春市新區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，邊AB的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，連結(jié)AE，若∠BAC＝120°，則∠AEC的大小為_(kāi)____度．【答案】60.【解析】解：如圖：在△ACB中，∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=，∵DE是線段AB的垂直平分線，∴AE=EB，∴∠1=∠B=30°，又∠AEC是△ABE的一個(gè)外角，∴∠AEC=∠B+∠1=60°．故答案為：60．例題7．（2021·江蘇無(wú)錫市）如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線MN分別交AB、BC于點(diǎn)M、N．若M在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，若則∠APC的度數(shù)記為，則∠ABC的度數(shù)為（）A． B．+45° C．° D．°【答案】D.【解析】解：∵M(jìn)在PA的中垂線上，N在PC的中垂線上，∴AM=PM，PN=CN，∴∠MAP=∠APM，∠CPN=∠PCN，∵∠APC=α，∴∠MPA+∠NPC=180°-α，∵∠BMN=2∠MPA，∠BNM=2∠NPC，∴∠B=180°-(∠BMN+∠BNM)=180°-2(∠MPA+∠NPC)=180°-2(180°-α)=2α-180°，故答案為：D．例題8．（2021·江蘇邳州期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C.【解析】解：∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°?36°?36°）÷3＝36°，∴△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°?72°?36°＝72°，∴∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，∴△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6個(gè)．故答案為：C．【知識(shí)點(diǎn)3：忽略分類討論的易錯(cuò)點(diǎn)】例題9．（2021·甘肅涼州期末）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（）A．30° B．150° C．30°或150° D．120°或60°【答案】C.【解析】解：如圖，AB=AC，BD⊥AC，∵∠ABD=60°，∴頂角∠A=90°-60°=30°；如圖，AB=AC，CD⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D；∵∠DCA=60°，∴∠DAC=30°，∠BAC=150°，故答案為：C．例題10．（2021·河南伊川期中）等腰三角形一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A． B．或 C． D．【答案】B.【解析】解：（1）當(dāng)腰是5時(shí)，三角形的三邊是：5，5，8，能構(gòu)成三角形，則等腰三角形的周長(zhǎng)為18；（2）當(dāng)腰是8時(shí)，三角形的三邊是：5，8，8，能構(gòu)成三角形，則等腰三角形的周長(zhǎng)為21．故答案為：B．例題11．（2021·廣東廣州）在中，若過(guò)頂點(diǎn)的一條直線把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)為直角三角形，則稱這條直線為的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．例如：如圖，在中，，，若過(guò)頂點(diǎn)的一條直線交于點(diǎn)，且，則直線是的關(guān)于點(diǎn)的二分割線．如圖，已知，同時(shí)滿足：①為最小角；②存在關(guān)于點(diǎn)的二分割線，則的度數(shù)為_(kāi)_____．【答案】36°或45°或54°.【解析】解：如圖所示：∠BAC=36°，或45°，或54°故答案為：36°或45°或54°．例題12．（2021·天津市西青區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分線．問(wèn)在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△CDP是以CD為一腰的等腰三角形．___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的∠CPD的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．___【答案】存在；72°或36°或54°.【解析】解：存在3個(gè)點(diǎn)P，使得△CDP是等腰三角形．①當(dāng)以∠CDP為頂角，CD為一腰時(shí)，∠CPD=72°；②當(dāng)以∠DCP為頂角，CD為一腰時(shí)，存在兩點(diǎn)P，P在線段BC延長(zhǎng)線上，∠CPD=36°；或P在線段BC上，此時(shí)∠CPD==54°．故答案為：存在；72°或36°或54°．【知識(shí)點(diǎn)4：等腰三角形存在性判斷】例題13．（2021·江蘇無(wú)錫市期中）已知直角三角形△ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，5，在△ABC所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(huà)___條．【答案】6.【解析】解：如圖所示：當(dāng)BC2=CC2，AC1=AC，BC=BC3，BC=CC4，BC=CC5，C6A=C6B，能得到等腰三角形．故答案為：6．例題14．（2021·廣東深圳市）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有_______個(gè)．【答案】6.【解析】解：如圖所示：故答案為：6.【知識(shí)點(diǎn)5：等腰三角形性質(zhì)應(yīng)用】例題15.（2021·江蘇興化市）在等腰三角形ABC中，∠A的度數(shù)不同，得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，設(shè)∠A＝x°，當(dāng)∠B有且只有一個(gè)度數(shù)時(shí)，x的取值范圍是____．【答案】90≤x<180或x=60.【解析】解：當(dāng)∠A為直角或鈍角時(shí)，此時(shí)∠A必為頂角，則∠B的度數(shù)唯一即90≤x＜180當(dāng)∠A為銳角時(shí)，無(wú)論∠A為頂角或底角時(shí)，∠B度數(shù)唯一，即90－0.5x=180-2x解得：x=60故答案為：90≤x<180或x=60．例題16．（2021·河南鎮(zhèn)平）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡(jiǎn)述理由如下：由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．……任務(wù)：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是_______（填序號(hào)）．①SSS；②SAS；③AAS；④ASA；⑤HL（2）如圖2，連接EF．①求證：△CEF≌△DFE；②求證：△PEF是等腰三角形；③小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．【答案】（1）⑤；（2）見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵小明的證明條件為∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP為HL證明方法，故答案為⑤；（2）證明：①∵OC=OD，OE=OF∴∠OEF=∠OFE，CE=DF又EF=EF∴△CEF≌△DFE（HL）②△PEF是等腰三角形；③射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：∵PE=PF，OE=OF∴OP垂直平分EF∴OP⊥EF∵△OEF是等腰三角形∴OP平分∠AOB例題17．（2022·黑龍江期末）已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，且DE＝AD，連接BE并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，連接DF．（1）求證：BE＝AC；（2）若AB＝BC，且BE＝2cm，則CF＝cm．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1.【解析】（1）證明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∵∠ABC＝45°，∴△BDC是等腰直角三角形，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC；（2）解：由（1）得：△BDE≌△CDA，∴BE＝AC，∠DBE＝∠DCA，∵∠CEF＝∠BED，∴∠DCA+∠CEF=90°，∴∠CFE＝∠BDE＝90°，∴BF⊥AC，∵AB＝BC，∴AC＝2CF，∴BE＝2CF，∴CF＝1cm．例題18．（2021·寧夏石嘴山期中）閱讀理解：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出的一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形有兩角對(duì)應(yīng)相等，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美分割線”．（1）如圖，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”．（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD為△ABC的“優(yōu)美分割線”且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）92°或113°．【解析】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°∴∠ACB=80°∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=40°∴∠A=∠ACD即△ACD是等腰三角形，又∠CBD=∠ABC∴CD是△ABC的完美分割線；（2）∵CD是△ABC的優(yōu)美線，且△ACD是等腰三角形，分三種情況：如圖，當(dāng)AD=CD時(shí)，∴∠ACD=∠A=46°，，∵∠BCD=∠A，∴∠ACB=92°；如圖，當(dāng)AD=AC時(shí)，∵∠A＝46°，∴∠ACD=∠ADC=67°∴∠ACB=113°；如圖，當(dāng)AC=CD時(shí)，∴∠ADC=∠A=46°，∵∠BCD=∠A=46°，∵∠ADC>∠BCD，∴矛盾，應(yīng)舍去．綜上所述，∠ACB的度數(shù)為92°或113°．例題19．如圖，在中，點(diǎn)D是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，并已知，求值．【答案】61°.【解析】解：過(guò)點(diǎn)F作FG∥AB，∴∠D=∠EFG，又∠BED=∠FEG，DE=EF，∴△BDE≌△GFE，∴FG=BD，又BD=FC，∴FC=FG，即∠C=∠FGC=∠ABC，又∠A=58°，∴∠C=∠ABC=61°．【知識(shí)點(diǎn)6：等腰三角形綜合應(yīng)用】例題20．（2021·天津津南期末）（1）如圖①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求證：AD=AC；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，中線BD與AE相交于點(diǎn)P，AP=BC．求證：PE=BE．【答案】見(jiàn)解析.【解析】解：（1）∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠BAC=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=20°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∵∠C=80°，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC．（2）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，∵AD=DC，∴△DPA≌△DFC，∴PA=FC，∵PA=BC，∴CB=CF，∴∠FBC=∠F，∵CF∥AP，∴∠BPE=∠F，∴∠FBC=∠BPE，∴PE=BE．例題21．（2021·湖北蘄春）如圖，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，OC平分∠AOB交AB于點(diǎn)C，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OC交y軸于點(diǎn)E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n滿足n2－12n＋36＋|n－2m|＝0（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE交x軸于點(diǎn)F，在ED的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)G，使DG＝DF，連接BG．①BG與y軸的位置關(guān)系怎樣？說(shuō)明理由；②求OF的長(zhǎng).【答案】（1）A（3，0），B（0，6）；（2）①BG⊥y軸，見(jiàn)解析；②1.5.【解析】解：（1）由得：，，解得：m=3，n=6，即A（3,0），B（0,6）；（2）①在△BDG與△ADF中，，∴△BDG≌△ADF∴BG=AF，∠G=∠DAF∵OC平分∠ABC∴∠COA=45°∵DE∥OC∴∠DFA=45°，∠G=45°∵∠FOE=90°∴∠FEO=45°∵∠BEG=45°∴∠EBG=90°，BG⊥y軸.②由①可知，AF=BG，△BDE為等腰直角三角形，∴BG=BE，設(shè)OF=x，則OE=x，∴3+x=6-x，∴x=1.5，即：OF=1.5．例題22．（2021·山東陽(yáng)谷縣）如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CD、CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）度量得∠BDC＝130°，設(shè)∠ADB＝x°，當(dāng)x°等于多少度時(shí)，△CDE是直角三角形？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）90°或135°.【解析】解：（1）證明，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴BA=AC，AE=AD∴△ABD≌△ACE.（2）∵△CDE是直角三角形，當(dāng)∠EDC=90°時(shí)，∵∠ADE=45°，∠BDC=130°∴∠ADB=95°.當(dāng)∠DEC=90°時(shí)，易知∠AEC=∠ADB=135°．故滿足條件的∠ADB的值為95°或135°．例題23．（2021·安徽長(zhǎng)豐）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CE．（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）132°；（3）見(jiàn)解析.【解析】（1）證：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE；（2）解：∵∠COD=∠OBC+∠BCO，∠BCO=∠BCA+∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ACE，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠COD=∠OBC+∠BCA+∠ABD=∠ABC+∠BCA，∵∠BAC＝48°，∴∠ABC+∠BCA=180°-48°=132°，∴∠COD=132°；（3）證：如圖所示，連接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠ADO=∠AEG，在△ADO和△AEG中，∴△ADO≌△AEG(SAS)，∴∠OAD=∠GAE，AO=AG，∴∠AOG=∠AGO，∴∠OAD+∠DAG=∠GAE+∠DAG，即：∠OAG=∠DAE，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAC=∠OAG，在△ABF和△COF中，∠BAC=180°-∠ABD-∠AFB，∠BOC=180°-∠ACE-