八年級數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識及數(shù)學(xué)方法：專題06 全等三角形輔助線的妙用（解析版）

專題06全等三角形輔助線的妙用典例解析【知識點(diǎn)1：已知中點(diǎn)——倍長中線】1．（2021·湖北黃陂月考）如圖，中，，邊上的中線，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C.【解析】解：如圖，延長AD至點(diǎn)E，使AD=DE，連接BE∵AD=4，∴AE=8∵AD是△ABC中線∴BD=CD∵∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△BDE∴AC=BE在△ABE中，AE-AB<BE<AB+BE即2<BE<14即2<AC<14故答案為：C．2．（2021·湖北武昌月考）（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．【答案】見解析.【解析】解：（1）延長AD至P點(diǎn)，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點(diǎn)，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴AB+AC>2AD；（2）延長AD至H，使AD=DH，連接BH；延長AE至P，使AE=PE，連接CP由（1）可知，△BDH≌△ADE，△ADE≌△PCE∴AE=BH，AD=PC，在△ABH和△ACP中，AB+BH>2AD，AC+PC>2AE∴AB+BH+AC+PC>2AD+2AE∴AB+AC>AD+AE.（3）如圖所示，取DE中點(diǎn)M，連接AM并延長至N點(diǎn)，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M(jìn)為DE中點(diǎn)，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時(shí)，延長AE，交CN于T點(diǎn)，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【知識點(diǎn)2：求證中點(diǎn)——構(gòu)造八字全等】3.如圖所示：△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB及AC延長線上的一點(diǎn)，且BD＝CE，連接DE交BC于點(diǎn)M．求證：MD＝ME．【答案】見解析.【解析】解：如圖，過D作DF∥AC交BC于F∵△ABC是等邊三角形∴∠B=60°，AB=AC=BC∵DF∥AC∴∠DFB=60°，∠FDM=∠E∴△BDF是等邊三角形，即BD=DF=BF∵BD=CE∴CE=DF又∠DMF=∠CME∴△DMF≌△EMC∴DM=ME.【知識點(diǎn)3：遇角平分線】4．如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．求證：．【答案】見解析.【解析】解：方法1：截長法在BC上截取BE，使BE=AB，連接DE，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABC=∠DBC．在和中，∴△ABD≌△EBD，∴，AD=DE．∵AD=CD，∴DE=CE，∴∠C=∠DEC．∵，∴．方法2：補(bǔ)短延長BA到點(diǎn)E，使BE=BC．∵BD是的平分線，∴在和中，∵，∴，∴，．∵，∴，∴．∵，∴∠BAD+∠C=180°．方法3：作垂線段過D作DE⊥BC于點(diǎn)E，DF⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)F∵BD是∠ABC的平分線，∴DE=DF在Rt△ADF和Rt△CDE中，，∴Rt△ADF≌Rt△CDE，∴∠C=∠DAF．∵∠FAD+∠BAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°．5．（2020·安徽淮南期中）利用角平分線構(gòu)造“全等模型”解決問題，事半動倍．（1）尺規(guī)作圖：作的平分線．（模型構(gòu)造）（2）填空：①如圖．在中，，是的角平分線，則______．（填“”、“”或“”）方法一：巧翻折，造全等在上截取，連接，則．②如圖，在四邊形中，，，和的平分線，交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)到的距離是______．方法二：構(gòu)距離，造全等過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則．（模型應(yīng)用）（3）如圖，在中，，，是的兩條角平分線，且，交于點(diǎn)．①請直接寫出______；②試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）①>；②6；（3）①120°；②PE=PF，見解析．【解析】解：（1）如圖所示（2）①∵AB<AC∴∠B>∠C；故答案為：>；②6；（3）①∵∠A=60°∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°∵BE，CF是△ABC的兩條角平分線∴∠CBE+∠BCF==60°∴∠BPC=180°-∠CBE+∠BCF=120°；②PE=PF，理由如下：在BC上截取BD=BF，連接PD，則△BFP≌△BDP，∴PF=PD，∠BPF=∠BPD，由①知：∠BPC=120°∴∠BPE=60°，∠BPD=∠CPD=60°∵∠CPE=∠BPE=60°∴∠CPD=∠CPE∵CF是三角形ABC平分線∴∠DCP=∠ECP∵PC=PC∴△CDP≌△CEP∴PE=PD∴PE=PF．6．（2021·廣東雷州月考）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，平分，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②④ B．①②③④ C．②③④ D．①③【答案】A.【解析】解：過E作EF⊥AD于F，如圖，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，∴BE=EF，AE=AE，

∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)

∴AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

∴EC＝EF＝BE，∴③錯(cuò)誤；

∵EC＝EF，ED=ED，∴Rt△EFD≌Rt△ECD(HL)，

∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，∴②正確；

∴AD＝AF＋FD＝AB＋DC，∴④正確；

∴∠AED＝∠AEF＋∠FED＝∠BEC＝90°，∴①正確，綜上：①②④正確，故答案為：A.7．（2021·黑龍江香坊期末）如圖，四邊形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，連接AE，AE平分∠DAB，∠D＝∠C＝90°，AD＝4BC＝8，則線段AB的長為__________．【答案】10.【解析】解：如圖，延長AE、BC交于點(diǎn)F，∵E是DC的中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△FEC中，∴△ADE≌△FEC（ASA），∴CF＝AD＝8，∠DAE＝∠F，∵AD＝4BC＝8∴BC=2∴BF=BC+CF=2+8=10∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠F＝∠BAE，∴AB＝BF，∴BF＝AB＝10，故答案為：10．【知識點(diǎn)4：證兩線段和是第三條線段】8．（2021·遼寧臺安月考）如圖，四邊形中，，，，M、N分別為AB、AD上的動點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析.【解析】證明：延長AB至點(diǎn)E，使得BE=DN，連接CE，在四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBE=180°∴∠CBE=∠CDN，在△CBE和△CDN中，，∴△CBE≌△CDN，∴∠BCE=∠DCN，CN=CE∵∠BCD=150°，∠MCN=75°∴∠MCE=∠MCB+∠BCE=∠MCB+∠DCN=75°∴∠MCN=∠MCE∵M(jìn)C=MC，CN=CE∴△ECM≌△NCM∴MN=ME=BM+BE=BM+DN.9．（2021·南通市月考）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，EF=BE－DF.【解析】解：（1）延長EB至G，使BG=DF，連接AG，∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF∴∠GAE=∠EAF，∵AE=AE∴△GAE≌△FAE∴EF=EG，∴EF=BE+DF（2）（1）中的結(jié)論仍成立，證明：延長CB至M，使BM=DF，可證，△ABM≌△ADF，△AME≌△AFE∴EF=ME，即EF=BE+BM．（3）EF=BE－DF，在BE上截取BG，使BG=DF，連接AG，可證：△ABG≌△ADF，△AEG≌△AEF∴EG=EF由EG=BE－BG知，EF=BE－DF.10．（2021·陜西西安月考）在四邊形中，，、分別是、上的點(diǎn)，并且，試探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．（問題提出）（1）如圖1，．小王同學(xué)探究的方法是：延長到點(diǎn)，使．連接，先證明，再證明，由此可得出結(jié)論（問題探究）（2）如圖2，若，上述結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．（問題解決）（3）如圖3，若，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在的延長線上，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由見解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明見解析．【解析】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由：如圖1，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵AB=AD，∠B=∠ADG=90°，DG=BE，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．故答案為：∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由：如圖2，延長FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連接AG，∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF=180°-∠DAB．證明：如圖3，在DC延長線上取一點(diǎn)G，使得DG=BE，連接AG，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠