八年級(jí)數(shù)學(xué)幾何重難點(diǎn)知識(shí)及數(shù)學(xué)方法：專題10 等邊三角形重難點(diǎn)知識(shí)（解析版）

專題10等邊三角形重難點(diǎn)知識(shí)典例解析【知識(shí)點(diǎn)1：與動(dòng)點(diǎn)及直角三角形30°角相關(guān)】例題1．（2021·浙江諸暨期中）已知等腰三角形一腰上的高線等于另一腰長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角等于（）A．15°或75° B．15° C．75° D．15°或30°【答案】A.【解析】解：（1）當(dāng)?shù)妊切问卿J角三角形時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部，如圖，BD為等腰三角形ABC腰AC上的高，BD=AB，可知頂角為30°，此時(shí)底角為75°；（2）當(dāng)?shù)妊切问氢g角三角形時(shí)，腰上的高在三角形外部，如圖，可知頂角的鄰補(bǔ)角為30°，此時(shí)頂角是150°，底角為15°．故答案為：A．例題2．（2021·吉林臨江期末）如圖，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)P在邊OA上，OP＝10，點(diǎn)M、N在邊OB上，PM＝PN，若MN＝2，則OM＝______【答案】4.【解析】解：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=OP=5，∴OM=OH-MH=4，故答案為：4．例題3．（2021·遼寧興城期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E分別為三角形內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6cm，ED＝2cm，求BC的長(zhǎng)．【答案】8cm.【解析】解：如圖，延長(zhǎng)ED交BC于M，延長(zhǎng)AD交BC于N，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM為等邊三角形，∴∠EMB=60°，∵BE=6，DE=2∴BM=6，DM=4∵AN⊥BC，∠DNM=90°∴∠NDM=30°∴MN=2BN=4，CB=2BN=8cm.例題4．（2021·山東臨邑縣期中）如圖，在等邊中，E、F分別為CB、AB邊上的點(diǎn)，且，連接AE，CF，兩條線段交于點(diǎn)N，做，交CF于點(diǎn)M，若，，那么______________．【答案】7.【解析】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACE=∠B=60°，AC=BC，∴△ACE≌△CBF∴∠CAE=∠BCF∵∠ACN+∠BCF=60°∴∠ACN+∠CAE=60°∴∠ANM=∠ACE=60°∵AM⊥CF∴∠MAN=30°∴AN=2MN=6，∴AE=AN+NE=7故答案為：7．例題5．（2021·福建省羅源期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一動(dòng)點(diǎn)P從B向C以每秒2cm的速度移動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)____________秒時(shí)，PA與△ABC的腰垂直．【答案】5或10.【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B=∠C=30°．①如圖，當(dāng)PA⊥AC時(shí)，∵∠C=30°．∴PC=2AP，∠APC=60°，∴∠B=∠BAP=30°，∴AP=BP，∴PC=2BP，∴BP=BC=×30=10cm，即P點(diǎn)移動(dòng)了10÷2=5（秒）；②如圖，當(dāng)PA⊥AB時(shí)，∵∠B=30°．∴PB=2BP，∠APB=60°，∴∠C=∠CAP=30°，∴AP=CP，∴BP=2CP，∴BP=BC=×30=20cm，即P點(diǎn)移動(dòng)了20÷2=10（秒）．例題6．（2021·吉林寬城期末）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝4，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A－B－C－A以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿折線B－C－A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值．（2）當(dāng)△BPQ是以PQ為底邊的等腰三角形時(shí)，求t的值．（3）當(dāng)△BPQ是直角三角形時(shí)，直接寫出t的值．

【答案】（1）4；（2）或；（3），5，1，6.【解析】解：（1）由題意得：追上的時(shí)間為t=4÷（2-1）=4s；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，BP＝BQ，即4-2t=t，∴t=，如圖，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在邊AC上時(shí)，AP＝CQ，即12-2t=t-4，∴t=，綜上所述，t的值為或；（3）①如圖，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，∠PQB=30°∴BQ=2BP∴2（4-2t）=t解得：t=，②如圖，當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，點(diǎn)P、Q都在邊AC上時(shí)，同理，t=5③如圖，當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊BC上時(shí)，同理，4-2t=2t，解得：t=1，④如圖，當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，點(diǎn)P、Q都在邊AC上時(shí)，得：t=6綜上所述，滿足題意的t的值為，5，1，6．例題7．（2021·福建順昌期中）如圖，將一塊含有30°的直角三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠OAB=60°，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．點(diǎn)P、Q分別是x軸和線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，它們同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)A向x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）用含t的代數(shù)式表示AP=；AQ=．（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等邊三角形；（3）若△APQ是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）2t，6-t；（2）2；（3）P的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（，0）.【解析】解：（1）∵A(3，0)∴OA＝3，∵∠OAB＝60°，OA⊥OB，∴∠OBA＝30°，∴AB＝2OA＝6，由題意得：AP＝2t，BQ＝t，AQ＝AB－BQ＝6－t，故答案為：2t；6-t．（2）由（1）可知，AP＝2t，AQ＝6－t，若△APQ是等邊三角形，則AP＝AQ，∴2t＝6-t即t＝2∴當(dāng)t＝2時(shí)，△APQ是等邊三角形；（3）若△APQ是直角三角形①當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，∠QPA=30°，如圖AP＝2AQ，即2t=2(6-t)解得：t＝3，此時(shí)AP＝6＞3，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸，∴OP＝AP－OA＝6－3＝3，∴P（﹣3，0），②當(dāng)PQ⊥OA時(shí)，∠PQA＝30°，如圖AQ＝2AP，即6-t＝2?2t解得：t=，AP＝，點(diǎn)P在x的正半軸，OP＝OA－AP＝，此時(shí)P（，0），綜上所述：當(dāng)△APQ是直角三角形時(shí)，P的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（，0）．例題8．（2021·廣西河池市宜州區(qū)期中）如圖，在等邊△ABC中，AB=6cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次回到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（2）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在AC、BA邊上運(yùn)動(dòng)，△AMN的形狀會(huì)不斷發(fā)生變化．當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN是直角三角形.【答案】（1）6秒；（2）或；（3）8秒.【解析】解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，M、N兩點(diǎn)重合，T+6=2t，解得：t=6.（2）當(dāng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠AMN=90°，則2t=6-2t，解得：t=1.5若∠ANM=90°，2（6-2t）=t，解得：t=.【知識(shí)點(diǎn)2：與等邊三角形性質(zhì)、判定有關(guān)】例題9.（2021·浙江柯橋）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為10的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】5.【解析】解：過(guò)P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，

∴AE=EF，

∵AP=PF，AP=CQ，

∴PF=CQ．

在△PFD和△QCD中，，

∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=10，∴DE=5．故答案為：5．例題10．（2021·內(nèi)蒙古期中）如圖，O為△ABC的外心，△OCP是等邊三角形，OP與AC相交于點(diǎn)D，連接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，則∠ADP的度數(shù)為_(kāi)________．【答案】85°.【解析】解：∵O為△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC，∴∠OAC=35°，AO=CO，∴∠OAC=∠OCA=35°，∴∠AOC=110°，∵△OCP為正三角形，∴∠COP=60°，∴∠AOP=∠AOC-∠COP=50°，∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°．故答案為：85°．例題11．（2022·吉林樺甸期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的兩邊分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，且BD＝CF．（1）如圖1，若DE⊥BC，則∠DFC＝度；（2）如圖2，D是邊BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），求證：BE＝CD；（3）如圖3，若D是邊BC的中點(diǎn)，且AB＝2，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為．【答案】（1）90；（2）見(jiàn)解析；（3）4.【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵DE⊥BC，即∠BDE=90°，∠EDF=60°，∴∠BED=∠CDF=30°，∴∠DFC=90°，故答案為：90；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，且∠EDF=60°，∴∠CDF=∠BED，在△BDE和△CFD中，，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BE=CD；（3）∵△ABC是等邊三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=2，∵D為BC中點(diǎn)，且BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由（2）知△BDE≌△CFD，∴BE=CD=1，DE=DF，∵∠B=60°，∴△BDE是等邊三角形，∴DE=DF=1，則四邊形AEDF的周長(zhǎng)為AE+DE+DF+AF=4，故答案為：4．【知識(shí)點(diǎn)3：與旋轉(zhuǎn)相關(guān)】例題12．（2021·湖南邵陽(yáng)市）已知，在等邊?ABC中，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)，且∠ACE＝2∠ABE．圖（1）圖（2）（1）如圖（1）所示，求證：BC＝CE；（2）如圖（2）所示，延長(zhǎng)CE到點(diǎn)P，連接線段AP，BP，若AP＝AB，求∠BPC的度數(shù).【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）30°【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＝∠CBE－∠ABC＝∠CBE－60°，∵∠ACE＝2∠ABE，∴∠ACE＝2∠CBE－120°，∵∠EDB＝∠ADC，∠EDB＋∠E＋∠EBD＝∠ADC＋∠A＋∠ACD＝180°，∴∠E＋∠EBD＝∠A＋∠ACD，∴∠E＋∠CBE－60°＝60°＋2∠CBE－120°，∴∠E＝∠CBE，∴CB＝CE；（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB，∵AP＝AB，∴AP＝AC，∠APB＝∠ABP，∴∠APC＝∠ACP，設(shè)∠APC=∠ACP=2∠ABE=2x則∠BAP=120°－4x∠APB=∠ABP=30+2x∴∠BPC=∠APB－∠APC=30°.例題13．（2021·黑龍江期末）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．（1）求證：AD＝BE；（2）求∠AEB的度數(shù)；（3）探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM⊥DE于點(diǎn)M，連接BE①∠AEB的度數(shù)為②判斷線段DM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說(shuō)明理由）圖1圖2【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°；（3）①90°；②AE=BE+2DM.【解析】解：（1）∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED=60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°（3）①∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=∠BCE.在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC，∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED=45°，∴∠ADC＝∠BEC＝135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°故答案為：90°②∵△DCE為等腰直角三角形，CM⊥DE∴DE=2DM∵△ACD≌△BCE∴AD=BE∴AE=AD+DE=BE+2DM即AE=BE+2DM【知識(shí)點(diǎn)4：綜合題型】例題14．（2021·湖南郴州市）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10cm，點(diǎn)D在邊AB上，且AD=4cm，點(diǎn)P在線段BC上，以每秒2cm的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上，由點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，若某一時(shí)刻△BPD與△CQP全等，求此時(shí)t的值及點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度．【答案】見(jiàn)解析．【解析】解：由題意得：AD=4cm，BD=6cm，BP=2t，CP=10-2t，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°，當(dāng)BP=CQ，BD=CP時(shí)，△BPD≌△CQP（SAS），即CQ=2t，10-2t=6，解得t=2，∴CQ=4，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為2（cm/s）；當(dāng)BP=CP，BD=CQ時(shí)，△BPD≌△CPQ（SAS），即2t=10-2t，CQ=BD=6，解得t=2.5，∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為6÷2.5=2.4（cm/s）；綜上所述，當(dāng)t=2s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/s；當(dāng)t=2.5s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度為2.4cm/s時(shí)，△BPD與△CQP全等．例題15．（2021·山東汶上期中）重新定義：1．如圖1和圖2中，點(diǎn)P平面內(nèi)一點(diǎn)，如果或，稱點(diǎn)P是線段AB的強(qiáng)弱點(diǎn)．2．我們都知道，在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半．那么反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)直角三角形中，一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的角也為30°．啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)利用以上材料完成以下問(wèn)題：（1）如圖2，在Rt△APB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，判斷點(diǎn)B是否是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)？并說(shuō)明理由；（2）如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），BD是Rt△ABC的角平分線，求證：點(diǎn)D是線段AC上的強(qiáng)弱點(diǎn)．【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）解：點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)，理由是：如圖1中，在Rt△PAB中，∠APB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2PB，∴，∴點(diǎn)B是線段AP的強(qiáng)弱點(diǎn)；（2）證明：如圖2中，∵B是線段AC的強(qiáng)弱點(diǎn)（BA＞BC），∴AB＝2BC，∴Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ABC＝60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，Rt△BCD中，BD＝2CD，∴＝2，∴點(diǎn)D是線段AC上的強(qiáng)弱點(diǎn)．例題16．（2021·江蘇儀征期中）定義：過(guò)三角形的頂點(diǎn)作一條射線與其對(duì)邊相交，將三角形分成兩個(gè)三角形，若得到的兩個(gè)三角形中有等腰三角形，這條射線就叫做原三角形的“和諧分割線”．（1）下列三角形中，不存在“和諧分割線”的是（只填寫序號(hào)）．①等邊三角形；②頂角為150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接寫出△ABC被“和諧分割線”分得到的等腰三角形頂角的度數(shù)；（3）如圖2，△ABC中，∠A＝30°，CD為AB邊上的高，BD＝4，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線l交AC于點(diǎn)F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射線CD為△ABC的“和諧分割線”．求CM+DN的最大值．【答案】（1）①；（2）20°，40°，60°，80°或100°；（3）8.【解析】解：（1）根據(jù)“友好分割線”的定義可知，如圖，等腰直角三角形，頂角為150°的等腰三角形存在“友好分割線”．等邊三角形不存在“友好分割線”．故答案為：①；（2）如圖，當(dāng)EC＝EA時(shí)，∠AEC＝60°，當(dāng)FC＝FB時(shí)，∠BFC＝100°，當(dāng)BC＝BG時(shí)，∠B＝40°．如圖，當(dāng)AC＝AR時(shí)，∠CAR＝20°，當(dāng)CA＝CW時(shí)，∠C＝80°，如圖，當(dāng)BC＝BQ時(shí)，∠CBQ＝20°，綜上所述，滿足條件的等腰三角形的頂角的度數(shù)為：20°，40°，60°，80°或100°；（3）解：如圖2中，作AG⊥l于點(diǎn)G．∵CD為AB邊上的高，∴∠CDB＝∠CDA＝90°．∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°．∴△CDA不是等腰三角形．∵CD為△ABC的“友好分割線”，∴△CDB和△CDA中至少有一個(gè)是等腰三角形．∴△CDB是等腰三角形，且CD＝BD＝4．∵∠BAC＝30°，∴AC＝2CD＝8．∵DN⊥l于N，∴∠DNE＝∠AGE＝90°．∵E為AD的中點(diǎn)，∴DE＝AE．在△DNE和△AGE中，∴△DNE≌△AGE（ASA），∴DN＝AG．在Rt△AGF和Rt△CMF中，∠CMF＝∠AGF＝90°，∴CM≤CF，AG≤AF，∴CM+AG≤CF+AF，即CM+AG≤AC，∴CM+DN≤8，∴CM+DN的最大值為8．例題17．（2021