443不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)443不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異學(xué)習(xí)目標(biāo)UEIMUBIAO1了解常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長(zhǎng)規(guī)律的函數(shù)模型2了解直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等增長(zhǎng)含義3能根據(jù)具體問題選擇合適函數(shù)模型內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE知識(shí)點(diǎn)三種常見函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異性質(zhì)

函數(shù)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝kx(k>0)在(0，＋∞)上的增減性__________________________________圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨x的增大勻速上升增長(zhǎng)速度y＝ax的增長(zhǎng)

y＝kx的增長(zhǎng)，y＝kx的增長(zhǎng)

y＝logax的增長(zhǎng)增長(zhǎng)后果會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有___________單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增快于快于a>>loga思考在區(qū)間0，＋∞上，當(dāng)a>1，n>0時(shí)，是否總有l(wèi)oga<n<a成立？答案不是，但總存在0，使得當(dāng)a>1，n>0，>0時(shí)，loga<n<a成立每增加一個(gè)單位時(shí)，y增加或減少的量為定值不為0，則y是的一次函數(shù)＝log2增長(zhǎng)的速度越來越慢，使得當(dāng)>m時(shí)，>1004由于指數(shù)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度最快，所以對(duì)于任意∈R恒有a>2a>1

思考辨析判斷正誤SIAOBIANIPANDUANHENGWU×√×√2題型探究PARTTWO例11下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的是Ay＝2020 By＝2020Cy＝log2020 Dy＝2020一、幾個(gè)函數(shù)模型增長(zhǎng)差異的比較解析比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度最快√2四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________y2解析以爆炸式增長(zhǎng)的變量呈指數(shù)函數(shù)變化從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，畫出它們的圖象圖略，可知變量y2關(guān)于呈指數(shù)型函數(shù)變化反思感悟常見的函數(shù)模型及增長(zhǎng)特點(diǎn)1線性函數(shù)模型線性函數(shù)模型y＝＋b>0的增長(zhǎng)特點(diǎn)是“直線上升”，其增長(zhǎng)速度不變2指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型y＝aa>1的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，即增長(zhǎng)速度急劇，形象地稱為“指數(shù)爆炸”3對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型y＝logaa>1的增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越慢，即增長(zhǎng)速度平緩可稱為“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”跟蹤訓(xùn)練1下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度越來越慢的是Ay＝6 By＝log6Cy＝2 Dy＝6解析D中一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度不變，A，C中函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越快，只有B中對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越慢，符合題意√例2某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t為了預(yù)測(cè)今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，需要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，＝f＝a2＋b＋ca，b，c均為待定系數(shù)，∈N*或函數(shù)y＝g＝pq＋rp，q，r均為待定系數(shù)，∈N*，現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？二、函數(shù)模型的選擇問題所以y＝f＝－52＋35＋70 ①同理y＝g＝－80×＋140 ②再將＝4分別代入①式與②式得f4＝－5×42＋35×4＋70＝130t，g4＝－80×054＋140＝135t與f4相比，g4在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量，所以②式作為模擬函數(shù)比①式更好，故選用函數(shù)y＝g＝pq＋r作為模擬函數(shù)較好反思感悟建立函數(shù)模型應(yīng)遵循的三個(gè)原則1簡(jiǎn)化原則：建立函數(shù)模型，原型一定要簡(jiǎn)化，抓主要因素、主要變量，盡量建立較低階、較簡(jiǎn)便的模型2可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計(jì)算、推理，且能得出正確結(jié)論3反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題跟蹤訓(xùn)練2某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)重，測(cè)得最近三年沙漠增加值分別為02萬公頃、04萬公頃和076萬公頃，則沙漠增加值y萬公頃關(guān)于年數(shù)的函數(shù)關(guān)系式大致可以是√解析對(duì)于A，＝1,2時(shí)，符合題意，＝3時(shí)，y＝06，與076相差016；對(duì)于B，＝1時(shí)，y＝03；＝2時(shí)，y＝08；＝3時(shí)，y＝15，相差較大，不符合題意；對(duì)于C，＝1,2時(shí)，符合題意，＝3時(shí)，y＝08，與076相差004，與A比較，更符合題意；對(duì)于D，＝1時(shí)，y＝02；＝2時(shí)，y＝045；＝3時(shí)，y≈06<07，相差較大，不符合題意三、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型的比較例3函數(shù)f＝2和g＝1，y1，B2，y2，且1<21請(qǐng)指出圖中曲線C1，C2分別對(duì)應(yīng)的函數(shù)；解C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g＝3，C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f＝22結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f6，g6，f2020，g2020的大小解因?yàn)閒1>g1，f2<g2，f9<g9，f10>g10，所以1<1<2,9<2<10，所以1<6<2,2020>2，從圖象上可以看出，當(dāng)1<<2時(shí)，f<g，所以f6<g6當(dāng)>2時(shí)，f>g，所以f2020>g2020又因?yàn)間2020>g6，所以f2020>g2020>g6>f6反思感悟指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)增長(zhǎng)差異的判斷方法1根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對(duì)函數(shù)增長(zhǎng)模型進(jìn)行判斷2根據(jù)圖象判斷增長(zhǎng)型的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)時(shí)，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)跟蹤訓(xùn)練3甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，其路程fii＝1,2,3,4關(guān)于時(shí)間≥0的函數(shù)關(guān)系式分別為f1＝2－1，f2＝2，f3＝，f4＝log2＋1有以下結(jié)論：①當(dāng)>1時(shí)，甲走在最前面；②當(dāng)>1時(shí)，乙走在最前面；③當(dāng)0<<1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)>1時(shí)，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它們一直運(yùn)動(dòng)下去，最終走在最前面的是甲其中，正確結(jié)論的序號(hào)為___________③④⑤解析四個(gè)函數(shù)的大致圖象如圖所示，根據(jù)圖象易知，③④⑤正確3隨堂演練PARTTHREE1下列函數(shù)中，在0，＋∞上增長(zhǎng)速度最快的是Ay＝2 By＝log2Cy＝2Dy＝212345√則，y的函數(shù)關(guān)系與下列哪類函數(shù)最接近？其中a，b為待定系數(shù)Ay＝a＋b By＝a＋bCy＝a2＋b Dy＝a＋123452在一次數(shù)學(xué)試驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：√x－2.0－1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02解析在坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)，知模擬函數(shù)為y＝a＋b地，途中前一半路程的行駛速度是v1，后一半路程的行駛速度是v2v1<v2，則下圖中能正確反映甲從A地到B地走過的路程s與時(shí)間t的關(guān)系的是12345√12345解析把＝1,2,3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)模型甲較好4現(xiàn)測(cè)得，y的兩組對(duì)應(yīng)值分別為1,2，2,5，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型：甲：y＝2＋1，乙：y＝3－1，若又測(cè)得，y的一組對(duì)應(yīng)值為3,102，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型甲12345解析根據(jù)題意，逐年歸納，總結(jié)規(guī)律建立關(guān)于年份的指數(shù)型函數(shù)模型，設(shè)經(jīng)過年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，依題意有y＝3000×，因?yàn)?014年年底到2021年年底經(jīng)過了7年，故把＝7代入，即可求得y＝3000×1067≈45005隨著我國經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，2014年年底某偏遠(yuǎn)地區(qū)農(nóng)民人均年收入為3000元，預(yù)計(jì)該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6%的年平均增長(zhǎng)率增長(zhǎng)，那么2021年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入約為_______元精確到個(gè)位附：1066≈142,1067≈150,1068≈1594500課堂小結(jié)ETANGIAOJIE1知識(shí)清單：三種函數(shù)模型：線性函數(shù)增長(zhǎng)模型、指數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)模型、對(duì)數(shù)型函數(shù)增長(zhǎng)模型2方法歸納：轉(zhuǎn)化法3常見誤區(qū)：不理解三種函數(shù)增長(zhǎng)的差異4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1多選當(dāng)a>1時(shí)，下列結(jié)論正確的有＝a，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值增長(zhǎng)越快＝a，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值增長(zhǎng)越快＝loga，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值增長(zhǎng)越快＝loga，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值增長(zhǎng)越快基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√解析結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象可知AD正確√則關(guān)于分別呈對(duì)數(shù)型函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)變化的變量依次為Ay1，y2，y3 By2，y1，y3Cy3，y2，y1 Dy1，y3，y21，y2，y3隨著變量的變化情況如下表：123456789111213141516√10x1357911y1525456585105y2529245218919685177149y356.106.616.957.27.4解析通過指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、直線型函數(shù)的增長(zhǎng)規(guī)律比較可知，對(duì)數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來越慢，變量y3隨的變化符合此規(guī)律；指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，y2隨的變化符合此規(guī)律；直線型函數(shù)的增長(zhǎng)速度穩(wěn)定不變，y1隨的變化符合此規(guī)律12345678911121314151610123456789111213141516√103小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間后，為了趕時(shí)間加快速度行駛與以上事件吻合得最好的圖象是12345678911121314151610解析小明勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故排除A因交通堵塞停留了一段時(shí)間，與學(xué)校的距離不變，故排除D后來為了趕時(shí)間加快速度行駛，故排除B4如圖所示，向放在水槽底部的燒杯注水流量一定，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽，水槽中水面上升高度h與注水時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系大致是123456789111213141516√10解析開始的一段時(shí)間，水槽底部沒有水，燒杯滿了之后水槽中水面上升速度先快后慢，與B圖象相吻合5漁民出海打魚，為了保證獲得的魚新鮮，魚被打上岸后，要在最短的時(shí)間內(nèi)將其分揀、冷藏，若不及時(shí)處理，打上來的魚很快地失去新鮮度以魚肉內(nèi)的三甲胺量的多少來確定魚的新鮮度三甲胺是一種揮發(fā)性堿性氨，是氨的衍生物，它是由細(xì)菌分解產(chǎn)生的三甲胺量積聚就表明魚的新鮮度下降，魚體開始變質(zhì)進(jìn)而腐敗已知某種魚失去的新鮮度h與其出海后時(shí)間t分滿足的函數(shù)關(guān)系式為ht＝m·at若出海后10分鐘，這種魚失去的新鮮度為10%，出海后20分鐘，這種魚失去的新鮮度為20%，那么若不及時(shí)處理，打上來的這種魚在多長(zhǎng)時(shí)間后開始失去全部新鮮度已知lg2≈03，結(jié)果取整數(shù)A33分鐘 B40分鐘C43分鐘 D50分鐘√1234567891112131415161012345678911121314151610解得a＝

，m＝0.05，故h(t)＝0.05×，令h(t)＝0.05×＝1，得

＝20，＝2與函數(shù)y＝ln在區(qū)間0，＋∞上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是______12345678911121314151610y＝2解析當(dāng)增加時(shí)，比ln增長(zhǎng)要快，∴2要比ln增長(zhǎng)的要快＝3，g＝，當(dāng)∈R時(shí)，f與g的大小關(guān)系為__________12345678911121314151610f>g解析在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f＝3，g＝的圖象，如圖所示，由于函數(shù)f＝3的圖象在函數(shù)g＝圖象的上方，則f>g123456789111213141516108生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，當(dāng)水注入容器設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的變化而變化，在圖中請(qǐng)選擇與容器相匹配的圖象，A對(duì)應(yīng)_______；B對(duì)應(yīng)________；C對(duì)應(yīng)________；D對(duì)應(yīng)________241312345678911121314151610解析A容器下粗上細(xì)，水高度的變化先慢后快，故與4對(duì)應(yīng)；B容器為球形，水高度變化為快—慢—快，應(yīng)與1對(duì)應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的變化速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的變化為：C容器快，與3對(duì)應(yīng)，D容器慢，與2對(duì)應(yīng)1234567891112131415169同一坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y＝＋5≥0和y＝2≥0的圖象，并比較當(dāng)≥0時(shí)，＋5與2的大小10解函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)函數(shù)y＝＋5與y＝2的圖象增長(zhǎng)差異得：當(dāng)0≤<3時(shí)，＋5>2，當(dāng)＝3時(shí)，＋5＝2，當(dāng)>3時(shí)，＋5<21234567891112131415161010某債券市場(chǎng)發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為514元；C種面值為100元，但買入價(jià)為97元，一年到期本息和為100元作為購買者，分析這三種債券的收益，如果只能購買一種債券，你認(rèn)為應(yīng)購買哪種？12345678911121314151610解A種債券的收益是每100元一年到期收益3元；通過以上分析，應(yīng)購買B種債券綜合運(yùn)用123456789111213141516√10＝2－2的圖象大致是解析分別畫出y＝2，y＝2的圖象，由圖象可知圖略，有3個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)y＝2－2的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，故排除B，C；當(dāng)<－1時(shí)，y<0，故排除D12近幾年由于北京房?jī)r(jià)的上漲，引起二手房市場(chǎng)交易火爆，房子幾乎沒有變化，但價(jià)格卻上漲了，小張?jiān)?013年以180萬的價(jià)格購得一套新房子，假設(shè)這10年來價(jià)格年膨脹率不變，那么到2023年，這套房子的價(jià)格y萬元與價(jià)格年膨脹率之間的函數(shù)關(guān)系式是______________12345678911121314151610解析1年后的價(jià)格為180＋180·＝1801＋萬元，2年后的價(jià)格為1801＋＋1801＋·＝1801＋·1＋＝1801＋2萬元，由此可推得10年后的價(jià)格為1801＋10萬元y＝1801＋101234567891112131415161013若已知16<<20，利用圖象可判斷出和log2的大小關(guān)系為________>log2x解析作出f(x)＝

和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內(nèi)，

>log2x；x＝4或x＝16時(shí)，

＝log2x；在(4,16)內(nèi)，

<log2x；在(16,20)