第二章 三類典型的偏微分方程課件

三類典型的偏微分方程第二章三類典型的偏微分方程

一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、L兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小橫向振動(dòng)時(shí)，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。OLxy2.1波動(dòng)方程☆

一維波動(dòng)方程

最典型的一維波動(dòng)問題是均勻弦的橫向振動(dòng)問題。第二章三類典型的偏微分方程

討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動(dòng)方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)。不受外力影響。研究對象：線上某點(diǎn)在t

時(shí)刻沿垂直方向的位移。第二章三類典型的偏微分方程簡化假設(shè)：

由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。在弦上任取一小段它的弧長為：由于假定弦在平衡位置附近做微小振動(dòng)，很小，從而

可以認(rèn)為這段弦在振動(dòng)中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變，與時(shí)間無關(guān)。即點(diǎn)處的張力記為。

由于振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。第二章三類典型的偏微分方程橫向：其中：

作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。

也就是說，張力

是一個(gè)常數(shù)。橫向：第二章三類典型的偏微分方程由中值定理：縱向：第二章三類典型的偏微分方程………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)------齊次方程忽略重力作用：a就是弦的振動(dòng)傳播速度第二章三類典型的偏微分方程假設(shè)外力在處外力密度為：方向垂直于軸。等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點(diǎn)處所受外力。當(dāng)存在外力作用時(shí)：等號兩邊除以第二章三類典型的偏微分方程

弦振動(dòng)方程中只含有兩個(gè)自變量：。由于它描寫的是弦的振動(dòng)，因而它又稱為一維波動(dòng)方程。類似可以導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（如膜振動(dòng)）和三維波動(dòng)方程，它們的形式分別為：二維波動(dòng)方程：三維波動(dòng)方程：第二章三類典型的偏微分方程

建立數(shù)學(xué)物理方程是一個(gè)辯證分析的過程。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對所研究的對象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化?？偨Y(jié)：第二章三類典型的偏微分方程☆均勻桿的縱振動(dòng)

考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振動(dòng)。假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況(即偏移平衡位置位移)完全相同。試寫出桿的振動(dòng)方程。在任一時(shí)刻t，此截面相對于平衡位置的位移為u(x,t)。在桿中隔離出一小段(x,x+dx)，分析受力：第二章三類典型的偏微分方程通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用通過截面x+dx受到彈性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力)，沿x方向?yàn)檎鶕?jù)Newton第二定律，就得到：根據(jù)胡克定律第二章三類典型的偏微分方程☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動(dòng)力學(xué)方程連續(xù)性方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，u是一階小量，是二階小量第二章三類典型的偏微分方程代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。第二章三類典型的偏微分方程☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動(dòng)方程式中：水面波高為ξ為聲波速度

水波速度為第二章三類典型的偏微分方程2.2擴(kuò)散方程

問題：一根長為l的均勻?qū)峒?xì)桿，截面為一個(gè)單位面積。側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。AB☆一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。第二章三類典型的偏微分方程所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向?yàn)閤

軸，考慮桿上從到的一段(代表)，設(shè)桿中溫度分布為滿足的物理規(guī)律：均勻物體：物體的密度為常數(shù)各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)假設(shè)條件：第二章三類典型的偏微分方程利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方程。

由Fourier熱力學(xué)定律，單位時(shí)間內(nèi)通過A端面的熱量為：單位時(shí)間內(nèi)通過B端面的熱量為：第二章三類典型的偏微分方程在dt

時(shí)段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時(shí)段內(nèi)，同時(shí)在此時(shí)段內(nèi),微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由流入微元的熱量

升高為

第二章三類典型的偏微分方程為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：

由和的任意性可得第二章三類典型的偏微分方程即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中

分析：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt。第二章三類典型的偏微分方程根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱場☆三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)第二章三類典型的偏微分方程流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：

溫度發(fā)生變化需要的熱量為：三維熱傳導(dǎo)方程熱場有熱源三維熱傳導(dǎo)方程第二章三類典型的偏微分方程☆一維濃度擴(kuò)散方程☆動(dòng)量輸運(yùn)方程C為物質(zhì)濃度，λ為擴(kuò)散系數(shù)。u為速度，fx為流體體積力，ν

為流體粘性系數(shù)。

顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動(dòng)量輸運(yùn)這些過程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程來描述。第二章三類典型的偏微分方程2.3穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程)

穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時(shí)間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。熱傳導(dǎo)問題，控制方程為：設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為f(x,y,z)

流場溫度不隨時(shí)間變化，即T=T(x,y,z)

則有第二章三類典型的偏微分方程這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。如果場內(nèi)無熱源，g(x,y,z,t)=0，則有：這個(gè)方程又稱為拉普拉斯方程。其中：第二章三類典型的偏微分方程

又如在理想勢流場中，存在速度勢φ(x,y,z)，速度與φ(x,y,z)的關(guān)系為：帶入連續(xù)方程中